搜索： a193657-编号：a193657
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A193649号
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| （n+1）st Fibonacci多项式的Q剩余，其中Q是t（i，j）=1给出的三角形数组（t（i），j）。（见注释。） |
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+10
19
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1, 1, 3, 5, 15, 33, 91, 221, 583, 1465, 3795, 9653, 24831, 63441, 162763, 416525, 1067575, 2733673, 7003971, 17938661, 45954543, 117709185, 301527355, 772364093, 1978473511
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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假设p=p（0）*x^n+p（1）*x~（n-1）++p（n-1）*x+p（n）是一个正次多项式，Q是多项式序列：Q（k，x）=t（k，0）*x^k+t（k、1）*x^（k-1）++t（k，k-1）*x+t（k，k），对于k=0,1,2，。。。p的Q-下降步长是由D（p）=p（0）*Q（n-1，x）+p（1）*Q（n-2，x）++p（n-1）*q（0，x）+p（n）。
由于度（D（p））<度（p），D的n次应用的结果是一个常数，我们称之为p的Q-剩余。如果p是一个常量，我们定义D（p）=p。
示例：设p（x）=2*x^3+3*x^2+4*x+5和q（k，x）=（x+1）^k。
D（p）=2（x+1）^2+3（x+1）+4（1）+5=2x^2+7x+14
D（D（p））=2（x+1）+7（1）+14=2x+23
D（D（D）（p））=2（1）+23=25；
p的Q残基为25。
我们可以将多项式序列Q视为由系数形成的三角形阵列：
t（0,0）
t（1,0）。。。。t（1,1）
t（2,0）。。。。t（2,1）。。。。t（2,2）
t（3,0）。。。。t（3,1）。。。。t（3,2）。。。。t（3,3）
并将p视为向量（p（0），p（1），。。。，p（n））。如果P是多项式序列[或具有（第n行）=（P（0），P（1），…，P（n））的三角形数组]，则多项式的Q残数形成一个数字序列。
以下示例中，Q是t（i，j）=1表示0<=i<=j的三角形：
Q…..P…………..P的Q残留物
1（x+1）^n。。。。。。。。。。。。。。A007051号，（1+3^n）/2
1（x+2）^n。。。。。。。。。。。。。。A034478号，（1+5^n）/2
1….（x+3）^n。。。。。。。。。。。。。。A034494号，（1+7^n）/2
更多示例：
Q…………..P……….Q P的残留物
（k+1）。。。。。（k+1）。。。。。。。。。。。A001906号（均匀感应纤维数）
（在最后四个中，（k+1）表示三角形t（n，k）=k+1，0<=k<=n。）
稍稍改变符号，就会得到下面的Mathematica程序和下面的p的Q下降公式：首先，将t（n，k）写成Q（n，k）。定义r（k）=和{q（k-1，i）*r（k-1-i）：i=0,1，…，k-1}然后D（p）的行n由v（n）=和（p（n，k）*r。
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链接
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配方奶粉
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推测：G.f.：-（1+x）*（2*x-1）/（（x-1）*（4*x^2+x-1））-R.J.马塔尔2015年2月19日
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例子
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1
1…0
1...0...1
1...0...2...0
1...0...3...0...1
为了获得a（4）=15，向下阶跃四次：
D（x^4+3*x^2+1）=（x^3+x^2+x+1）+3（x+1）+1:（1,1,4,5）[系数]
DD（x^4+3*x^2+1）=D（1,1,4,5）=（1,2,11）
DDD（x^4+3*x^2+1）=D（1,2,11）=（1,14）
DDDD（x^4+3*x^2+1）=D（1,14）=15。
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数学
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q[n，k]：=1；
r[0]=1；r[k_]：=和[q[k-1，i]r[k-1-i]，{i，0，k-1}]；
f[n_，x_]：=斐波那契[n+1，x]；
v[n]：=和[p[n，k]r[n-k]，{k，0，n}]
表格形式[表格[q[i，k]，{i，0，4}，{k，0，i}]]
表[r[k]，{k，0，8}]（*2^k*）
表格形式[表格[p[n，k]，{n，0，6}，{k，0，n}]]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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193668英镑
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| a（n）=Sum_{i=0..n-1}（n+i）*a（n-1-i）对于n>1，a（0）=1，a（1）=1。 |
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+10
三
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1, 1, 5, 24, 134, 866, 6392, 53198, 493628, 5057522, 56741240, 692118422, 9122245508, 129220379978, 1958059133552, 31607140330670, 541515698082332, 9814691158604258, 187629572002767848, 3773371262361852422, 79636835475910932020
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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递归：a（n）=（n+2）*a（n-1）-（n-2）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月20日
当n>0时，a（n）=（n-n^2-1）*伽马（n）+e*（n*Gamma（n+1，1）-（n-1）*伽玛（n，1））-彼得·卢什尼2014年5月30日。
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MAPLE公司
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a:=n->`如果`（n=0，1，（n-n^2-1）*GAMMA（n）+exp（1）*（（1-n）*GAMM（n，1）+n*GAMMA（n+1，1）））：seq（简化（a（n）），n=0..20）#彼得·卢什尼2014年5月30日
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数学
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扁平[{1，递归表[{（n-2）*a[n-2]-（n+2）*a[0-1]+a[n]==0，a[1]==1，a[2]==5}，a，{n，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月20日*）
系数列表[级数[Log[x-1]+E*Gamma[0，1-x]-E*Gamma[0，1]+1-I*Pi+（E^x*x-x^2）/（x-1）^2，{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<2，1，和（i=0，n-1，（n+i）*a（n-1-i））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年5月30日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A345887型
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| 具有任意大小矩形瓷砖的n单元圆形阵列的瓷砖数量，其中瓷砖的可能颜色数量由覆盖的最大单元给出。 |
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0
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1, 6, 30, 164, 1030, 7422, 60620, 554248, 5611770, 62353010, 754471432, 9876716940, 139097096918, 2097156230470, 33704296561140, 575219994643472, 10389911153247730, 198019483156015578, 3971390745517868000, 83608226221428800020, 1843561388182505040462
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔，彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》，第24卷（2021年），第21.10.4条。
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配方奶粉
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a（n）=n*Sum_｛k=1..n｝n/k！。
例如：（exp（x）-x）/（x-1）^2-exp（x）。
D-有限，递归a（n）+（-n-2）*a（n-1）+（n-1-R.J.马塔尔2024年1月11日
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MAPLE公司
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a： =进程（n）a（n）：=`if`（n=1，1，a（n-1）*n^2/（n-1，+n）结束：
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数学
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带[｛r=范围[21]｝，r*休息@折叠列表[Times@@｛##｝+1&，0，r]](*迈克尔·德弗利格，2021年6月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*和（k=1，n，n！/k！）\\米歇尔·马库斯2021年6月29日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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