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半长n+2的所有Dyck路径中第二次上升的长度之和。
+10 8
1, 5, 19, 67, 232, 804, 2806, 9878, 35072, 125512, 452388, 1641028, 5986993, 21954973, 80884423, 299233543, 1111219333, 4140813373, 15478839553, 58028869153, 218123355523, 821908275547, 3104046382351, 11747506651599
评论
第二次上升长度等于三的半长n+4的Dyck路径数。示例:a(1)=5,因为我们有UD(UUU)DUDDD、UD(UUU)DDUDD、UD(UUU)DDDUD、UUD(UUU)DDDD和UUDD(UUU)DDD(括号之间显示第二个升序)。的部分总和A002057号.第3列,共列A114276号.a(n)=的绝对值A104496号(n+3)。
另外,不以金字塔开始的半长n+3的Dyck路径数(Dyck道路中的金字塔是U^j D^j(j>0)形式的因子,从x轴开始;其中U=(1,1)和D=(1,-1);此定义与中的定义不同A091866号). 等价地,a(n)=A127156号(n+3.0)。例如:a(1)=5,因为我们有UUDUDD、UUDUD、UUUDUDDD、UUDUUDDD和UUUDDUDD-Emeric Deutsch公司,2007年2月27日
配方奶粉
a(n)=4*Sum_{j=0..n}二项式(2*j+3,j)/(j+4)。
G.f.:C^4/(1-z),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。
带递归的D-有限:n*(n+4)*a(n)=(5*n^2+14*n+6)*a(n-1)-2*(n+1)*(2*n+3)*b(n-2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日
a(n)~2^(2*n+7)/(3*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日
a(n)=exp((2*i*Pi)/3)-4*二项式(2*n+5,n+1)*超几何([1,3+n,n+7/2],[n+2,n+6],4)/(n+5)-彼得·卢什尼2017年2月26日
a(n-1)=和{i+j+k+l<n}C(i)C(j)C(k)C(l),其中C=A000108号加泰罗尼亚数字-宇春记2019年1月10日
例子
a(3)=5,因为UD(U)DUD、UD(UU)DD、UUDD(U)D、UUD(U)DD和UUUDDD(显示在括号中)中第二次上升的总长度为5。
MAPLE公司
a: =n->4*和(二项式(2*j+3,j)/(j+4),j=0..n):seq(a(n),n=0..28);
数学
表[4*和[二项式[2j+3,j]/(j+4),{j,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日*)
黄体脂酮素
(Python)
从functools导入缓存
@高速缓存
定义B(n,k):
如果n<=0或k<=0:返回0
如果n==k:返回1
返回B(n-1,k)+B(n,k-1)
1, -1, 1, 1, -2, 1, -1, 3, -4, 1, 1, -4, 12, -5, 1, -1, 5, -34, 17, -7, 1, 1, -6, 98, -51, 32, -8, 1, -1, 7, -294, 149, -124, 40, -10, 1, 1, -8, 919, -443, 448, -164, 61, -11, 1, -1, 9, -2974, 1362, -1576, 612, -298, 72, -13, 1, 1, -10, 9891, -4336, 5510, -2188, 1294, -370, 99, -14, 1, -1, 11, -33604, 14227, -19322, 7698
配方奶粉
G.f.:A(x,y)=(1+x*y/(1+x))/(1+x-x^2*y^2*加泰罗尼亚语(-x)^2),也可以是G.f。A000108号).
例子
行开始:
1;
-1,1;
1,-2,1;
-1,3,-4,1;
1,-4,12,-5,1;
-1,5,-34,17,-7,1;
1,-6,98,-51,32,-8,1;
-1,7,-294,149,-124,40,-10,1;
1,-8,919,-443,448,-164,61,-11,1;
-1,9,-2974,1362,-1576,612,-298,72,-13,1; ...
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=局部(X=X+X*O(X^n),Y=Y+Y*O(Y^k));极坐标(极坐标((1+X*Y/(1+X))/(1+X-Y^2*(1-(1+4*X)^(1/2)))^2/4),n,X),k,Y)}
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