搜索： a070945-编号：a070945
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A126074号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是具有最长循环长度k的n个元素的排列数。 |
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+10个
23
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 9, 8, 6, 1, 25, 40, 30, 24, 1, 75, 200, 180, 144, 120, 1, 231, 980, 1260, 1008, 840, 720, 1, 763, 5152, 8820, 8064, 6720, 5760, 5040, 1, 2619, 28448, 61236, 72576, 60480, 51840, 45360, 40320, 1, 9495, 162080, 461160, 653184, 604800, 518400, 453600, 403200, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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第n行的和是n个元素的所有排列数：和{k=1..n，T（n，k）}=n=A000142号（n） 如果k≤0或k＞n，我们可以扩展T（n，k）=0。
prod_{j=0..n-2}（k-n+j+2）与n！在k=-1时，用最大部分相等的部分求和（见卢什尼链接）。
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链接
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配方奶粉
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T（n，1）=1 T（n、2）=n！*求和{k=1..[n/2]，（1/（k！*（2！）^k*（n-2k）！）}T（n，k）=n/k*（1-1/（n-k）--1/（k+1）-1/2k），如果n/3<k<=n/2 T（n，k）=n/k、 如果n/2<k<=n T（n，n）=（n-1）=A000142号（n-1）
例如，对于第k列：exp（-x^k*LerchPhi（x，1，k））*（exp（x^k/k）-1）/（1-x）-弗拉德塔·约沃维奇2007年3月3日
T（n，0）=[n=0]（艾弗森记数法），对于n>0和1<=m<=n
T（n，m）=和{a}m（a）|f^a|其中a=a_1，。。，a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m，m（a）=n/（a_1！*…*a_n！），
f^a=（f_1/1！）^a_1**（f_n/n！）^a_n和f_n=product_{j=0..n-2}（j-n+1）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1;
1, 1;
1, 3, 2;
1, 9, 8, 6;
1, 25, 40, 30, 24;
1, 75, 200, 180, 144, 120;
1, 231, 980, 1260, 1008, 840, 720;
1, 763, 5152, 8820, 8064, 6720, 5760, 5040;
...
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MAPLE公司
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A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n<0，0，`如果`（n=0，1，
加（mul（n-i，i=1..j-1）*A（n-j，k），j=1..k））
结束时间：
T： =（n，k）->A（n，k）-A（n，k-1）：
seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1..10）#阿洛伊斯·海因茨，2013年2月11日
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数学
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表[系数列表[系列[（Exp[x^m/m]-1）Exp[Sum[x^k/k，{k，1，m-1}]]，{x，0，8}]，x]*表[n！，{n，0，8}]，{m，1，8}]//Transpose//Grid[From杰弗里·克雷策2009年5月23日]
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
f=阶乘（n）
P=分区（n，max_part=k，inner=[k]）
返回和（f//p.aut（），用于p中的p）
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交叉参考
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作者
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已批准
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1, 1, 2, 6, 18, 66, 276, 1212, 5916, 31068, 171576, 1014696, 6319512, 41143896, 281590128, 2007755856, 14871825936, 114577550352, 913508184096, 7526682826848, 64068860545056, 561735627038496, 5068388485760832, 47026385852423616, 447837548306401728
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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与序列相关A000085号因为可以显示序列A000085号表示只有长度为2或更少的圈的排列数（以n个字母表示）。让b（i）表示序列的第i项A000085号，我们得到了a（n）=和（二项式（n，3*j）*（3*j）*（1/3）^j*b（n-3*j）/j！，j=0..层（n/3）
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参考文献
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丹尼斯·沃尔什（Dennis P.Walsh），只有小循环的排列数，预印本。
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链接
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P.L.Krapivsky，J.M.Luck，影院模型中的覆盖范围波动，arXiv:1902.04365[第二阶段统计数据]，2019年。
R.Petuchovas，置换循环结构的渐近分析，arXiv:1611.02934[math.CO]，第6页，2016年。
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配方奶粉
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a（n）=和（二项式（（n，3*j）*（3*j）！*（1/3）^j/j！*求和（二项式（n-3*j，2*k）*（2*k）！*（1/2）^k/k！，k=0..层（（n-3*j）/2），j=0.层（n/3））
例如：exp（x+（x^2）/2+（x*3）/3）。在序列定义中，将3替换为“长度k或更小”，E.g.f.为exp（x+（x^2）/2+…+（x ^k）/k）沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月16日
a（n）=a（n-1）+（n-1）*a（n-2）+（n-1）（n-2）*a（n-3）。一般来说，对于只有长度k或更小的圈的n-置换，递归是：a（n）=Sum_i=0…k-1；P（n-1，i）*a（n-i-1），其中P（x，i）是下降阶乘-杰弗里·克雷策2009年5月23日
a（n）~n^（2*n/3）*exp（-2*n/3-5/18+5/6*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月15日
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例子
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例如，a（4）=18，因为有6个循环长度为4的排列被排除在4个字母的24个排列之外，即（1 2 3 4）、（1 2 4 3）、（3 2 4）、、（1 3 4 2）、（4 2 3）和（1 4 3 2）。
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<3，n！，
a（n-1）+（n-1
结束时间：
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数学
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nn=20；范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[x+x^2/2+x^3/3]，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2012年10月28日*）
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非n
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作者
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已批准
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A334570
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| 例如：exp（-（x+x^2/2+x^3/3+x^4/4））。 |
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三
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1, -1, 0, 0, 0, 24, -24, -120, -720, -5040, 32256, 169344, 743040, -380160, -91048320, -408710016, -174230784, 29842525440, 455765667840, 1061427732480, -18914141343744, -379628241094656, -3305984467691520, 10588546824468480, 458522651844956160, 5722461010387021824
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
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链接
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配方奶粉
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a（0）=1和a（n）=-（n-1）！*求和{k=1..min（4，n）}a（n-k）/（n-k）！。
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数学
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m=25；范围[0，m]！*系数列表[级数[Exp[-（x+x^2/2+x^3/3+x^4/4）]，{x，0，m}]，x](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）N=40；x='x+O（'x^N）；Vec（塞拉普拉斯语（exp（-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4））
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交叉参考
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作者
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A330858型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是S_n中所有循环长度小于等于k的排列数。 |
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1, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 10, 18, 24, 1, 26, 66, 96, 120, 1, 76, 276, 456, 600, 720, 1, 232, 1212, 2472, 3480, 4320, 5040, 1, 764, 5916, 14736, 22800, 29520, 35280, 40320, 1, 2620, 31068, 92304, 164880, 225360, 277200, 322560, 362880, 1, 9496, 171576, 632736
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=n！如果n<=k，否则T（n，k）=n*T（n-1，k）-A068424号（n-1，k）*T（n-k-1，k。
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例子
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对于n=3和k=2，所有循环长度小于或等于2的S_3中的T（3,2）=4置换为：
（1） （2）第（3）、（12）（3），（13）（2）和（1）（23）条。
表格开始：
否|1 2 3 4 5 6 7 8 9
---+------------------------------------------------------
1| 1
2| 1 2
3| 1 4 6
4| 1 10 18 24
5 | 1 26 66 96 120
6| 1 76 276 456 600 720
7| 1 232 1212 2472 3480 4320 5040
8| 1 764 5916 14736 22800 29520 35280 40320
9| 1 2620 31068 92304 164880 225360 277200 322560 362880
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[n<=k，n！，n*T[n-1，k]-阶乘[n-1、k]*T[n-k-1，k]；
表[T[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2020年4月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T4（n，k）=如果（k<1 | | k>n，0，n！/（n-k）！）\\A068424号
T（n，k）=如果；
tabl（nn）=表示（n=1，nn，表示（k=1，n，print1（T（n，k），“，”））；打印）\\米歇尔·马库斯2020年5月9日
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交叉参考
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作者
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已批准
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A355294型
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| 扩展，例如f/（1-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4）。 |
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+10个
2
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1, 1, 3, 14, 88, 670, 6170, 66360, 815640, 11272800, 173132400, 2925014400, 53909394000, 1076365290000, 23144112591600, 533193460800000, 13102608591072000, 342105146182800000, 9457689380931792000, 275988880808825184000, 8477631163592791200000, 273430368958004818560000, 9238944655686318693120000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*a（n-1）+n*（n-1。
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数学
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nmax=22；系数列表[系列[1/（1-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4），{x，0，nmax}]，x]范围[0，nmax]！
a[0]＝a[1]＝1；a[2]=3；a[3]=14；a[n]：=a[n]=n a[n-1]+n（n-1）a[n-2]/2+n（n-1）（n-2）a[n-3]/3+n（n-1）（n-3）（n-4）/4；表[a[n]，{n，0，22}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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