搜索： a005895-编号：a005895
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A003406号
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| 拉马努扬函数R（x）=1+Sum_{n>=1}{x^（n*（n+1）/2）/（1+x）（1+x^2）（1+x^3）…（1+x^n））}的展开式。
（原名M0206）
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14
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1, 1, -1, 2, -2, 1, 0, 1, -2, 0, 2, 0, -1, -2, 2, 1, 0, -2, 2, -2, 0, 0, 3, 0, -2, -2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, -1, 0, -2, -2, 0, 4, 0, 2, -2, 0, -2, -1, 2, 0, -2, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, -2, 4, 2, -1, 0, 0, -2, -2, -2, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 2, 0, 0, -2, 2, -2, -2, 0, 3, 0, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 1, -2, 0, -2, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Ramanujan证明R（x）=2*Sum{n>=0}（S（x）-P（n，x））-2*S（x。A000009号=P（oo，x）和D（x）=-1/2+和{n>=1}x^n/（1-x^n）=-1/2+g.f。A000005美元.-迈克尔·索莫斯
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参考文献
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G.E.Andrews，Ramanujan的“丢失”笔记本V：Euler的分区标识，数学高级。61（1986），第2期，156-164；数学。版本87i:11137。[（2.8）中的扩展不正确。]
F.J.Dyson，《漫步拉马努扬花园》，G.E.Andrews等人，编辑，《拉马努詹再访》，第7-28页。纽约学术出版社，1988年。
F.J.Dyson，《美国数学文选》。Soc.，1996年，第200页。
B.Gordon和D.Sinor，eta-products的乘法性质，数论，马德拉斯1987年，第173-200页，数学课堂讲稿。，1395年，柏林施普林格，1989年。见第182页。MR1019331（90k:11050）
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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G.E.安德鲁斯，我欠了一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年。
G.E.Andrews、F.J.Dyson和D.Hickerson，分区与不定二次型，发明。数学。91 (1988) 391-407.
亚历山大·帕特科夫斯基（Alexander E.Patkowski），关于秩奇偶函数的注记，离散数学。310 (2010), 961-965.
D.Zagier，量子模块形式，《数学量子：阿兰·康纳斯荣誉会议》示例1，《克莱数学学报11》，AMS和克莱数学研究所，2010年，659-675
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配方奶粉
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通用公式：1-和{n>0}（-x）^n*（1-x）*（1-x^2）*…*（1-x^（n-1））。
通用公式：1+Sum_{n>=1}（x^（n（n+1）/2）/Product_{j=1..n}（1+x^j））-Emeric Deutsch公司2006年3月30日
R（x）=-2+和{n>=0}（n+1）*x^（n（n-1）/2）/（乘积{k=1..n}（1+x^k））-保罗·D·汉纳2010年5月22日
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例子
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1+x-x^2+2*x^3-2*x^4+x^5+x^7-2*x ^8+2*x ^10-x^12-2*x ^13+。。。
q+q^25-q^49+2*q^73-2*q^97+q^121+q^169-2*q ^193+2*q ^241-。。。
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MAPLE公司
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g： =1+总和（x^（n*（n+1）/2）/乘积（1+x^j，j=1..n），n=1..20）：gser：=系列（g，x=0，110）：seq（系数（gser，x，n），n=0..104）#Emeric Deutsch公司2006年3月30日
t1:=加（（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2）*（1-q^；t2：=系列（t1，q，40）#N.J.A.斯隆2011年6月27日
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数学
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最大值=105；f[x_]：=1+和[x^（n*（n+1）/2）/积[1+x^j，{j，1，n}]，{n，1，max}]；系数列表[系列[f[x]，{x，0，max}]，x](*Jean-François Alcover公司2011年12月2日*）
最大值=105；s=1+和[2*q^（n*（n+1）/2）/q弦槌[-1，q，n+1]，{n，1，天花板[Sqrt[2 max]]}]+O[q]^max；系数列表[s，q](*Jean-François Alcover公司2015年11月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polceoff（和（k=1，n，t*=如果（k>1，x^k-x，x）+O（x^（n-k+2）），1），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年3月7日*/
（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polcoeff（和（k=1，（平方（8*n+1）-1）\2，t*=x^k/（1+x^k）+x*O（x^（n-（k^2-k）/2）），1），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e，x，y）；如果（n<0，0，n=24*n+1；a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]）；如果0；如果（p%24==1，对于步骤（i=1，平方（p），2，如果（issquare（（i^2+p）/2，&y），x=i；break）），对于（i=1，平方（p\2），如果（issquare（2*i^2+p，&x），y=i；断裂）；（e+1）*（-1）^（（x+if（（x-y）%6，y，-y））/6*e）））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
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签名,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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1, 2, 4, 5, 8, 10, 14, 16, 23, 26, 34, 40, 50, 58, 74, 83, 102, 120, 142, 164, 198, 226, 266, 308, 359, 412, 482, 548, 634, 730, 834, 950, 1094, 1240, 1416, 1609, 1826, 2068, 2350, 2648, 2994, 3382, 3806, 4280, 4826, 5408, 6070, 6806, 7619, 8522, 9534, 10632
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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G.f.：Sum_{n>=1}（-1+产品_k>=n}1+x^k）。
通用公式：和{n>=1}n*x^n*乘积{k>=n+1}（1+x^k）-乔格·阿恩特2011年1月29日
通用公式：和{k>=1}x^（k*（k+1）/2）/（1-x^k）/产品{i=1..k}（1-x*i）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年8月10日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（2*3^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月20日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，
`如果`（i>n，0，b（n，i+1）+b（n-i，i+1
结束时间：
a： =n->添加（j*b（n-j，j+1），j=1..n）：
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数学
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关键词
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容易的,非n
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作者
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更多条款来自Pab Ter（pabrlos（AT）yahoo.com），2004年5月25日
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经核准的
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0, 1, 2, 5, 6, 11, 18, 25, 32, 53, 84, 107, 156, 205, 302, 497, 618, 863, 1206, 1597, 2228, 3569, 4440, 6191, 8256, 11329, 14642, 20477, 30390, 38555, 52578, 69625, 92696, 122141, 160500, 211955, 310476, 386941, 521102, 678617, 901386, 1155383, 1529742, 1940749
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）==n（mod 2）。
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例子
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a（6）=18=1+1+1+1+1+1+2+1+1+1+6:（1）23，（1）32，2（1）3，23（1），3（1）2，32（1），（2）4，4（2），（1）5，5（1），（6）。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，p）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n或i<1，0，
`如果`（i=n，i*p！，b（n-i，min（n-i、i-1），p+1））+b（n，i-1，p））
结束时间：
a： =n->b（n$2,1）：
seq（a（n），n=0..50）；
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数学
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b[n_，i_，p_]：=b[n，i，p]=如果[i（i+1）/2<n|i<1，0，
如果[i==n，i*p！，b[n-i，Min[n-i、i-1]，p+1]]+b[n，i-1，p]]；
a[n]：=b[n，n，1]；
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非n
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作者
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0, 1, 2, 7, 10, 19, 42, 61, 98, 151, 304, 403, 654, 925, 1400, 2431, 3328, 4903, 7056, 10117, 13952, 23419, 30406, 44683, 61308, 87289, 116822, 164359, 247774, 327715, 457542, 624445, 855062, 1148023, 1559188, 2058643, 3043506, 3906637, 5375732, 7111975, 9679852
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）==n（mod 2）。
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例子
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a（6）=42=3+3+3+3+3+4+5+6:12（3），1（3）2，21。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，p）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n，0，
`如果`（n=0，p！，b（n-i，min（n-i、i-1），p+1）*
`如果`（p=0，i，1）+b（n，i-1，p））
结束时间：
a： =n->`如果`（n=0，0，b（n$2，0））：
seq（a（n），n=0..50）；
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数学
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b[n_，i_，p]：=b[n，i，p]=如果[i（i+1）/2<n，0，
如果[n==0，p！，b[n-i，Min[n-i、i-1]，p+1]*
如果[p==0，i，1]+b[n，i-1，p]]]；
a[n_]：=如果[n==0，0，b[n，n，0]]；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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1, 0, 3, 3, 5, 5, 7, 12, 14, 16, 18, 27, 29, 33, 42, 55, 59, 65, 78, 95, 110, 118, 137, 167, 188, 200, 236, 274, 303, 330, 376, 435, 485, 522, 591, 677, 741, 803, 903, 1022, 1115, 1210, 1345, 1505, 1650, 1784, 1964, 2201, 2393, 2578, 2843, 3143, 3409, 3685, 4034
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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配方奶粉
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通用公式：和{n>=1}（2*n-1）*x^（2xn-1）*积{k=1..n-1}（1+x^，2*k-1））。
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例子
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a（13）=29，因为13分成不同的奇数部分的分区是[13]、[9,3,1]和[7,5,1]，最大项之和为13+9+7=29。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`if`（n=0，1，`if`（i<1或i^2<n，
0，b（n，i-1）+（t->`如果`（t>n，0，b[n-t，i-1]））（2*i-1））
结束时间：
a： =n->加（`if`（j:：奇数，j*b（n-j，（j-1）/2），0），j=1..n）：
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数学
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nmax=50；Rest[系数列表[级数[和[（2*k-1）*x^（2*k-1）*Product[1+x^(*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年6月28日*）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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更多条款来自Pab Ter（pabrlos（AT）yahoo.com），2004年5月25日
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 1, 3, 4, 7, 9, 14, 19, 26, 34, 45, 59, 76, 96, 121, 153, 189, 234, 288, 353, 428, 519, 625, 752, 900, 1073, 1274, 1512, 1784, 2101, 2470, 2894, 3382, 3946, 4590, 5330, 6179, 7144, 8246, 9505, 10931, 12552, 14396, 16476, 18831, 21495
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
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参考文献
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安德鲁斯，乔治·E·拉马努扬“丢失”的笔记本。V.欧拉的分区恒等式。数学高级。61（1986），第2期，156-164。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：和{n=0..无穷}{S（q）-1/（（1-q）（1-q^3）…（1-qq^（2n+1）））}，其中S（qA000009号.
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例子
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G.f.=x ^3+x ^4+3*x ^5+4*x ^6+7*x ^7+9*x ^8+14*x ^9+19*x ^10+-迈克尔·索莫斯2018年10月21日
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数学
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最大值=48；f[n_，x_]：=乘积[1/（1-x^（2k+1）），{k，0，n}]；g[x_]=总和[f[max/2，x]-f[n，x]，{n，0，max/2}]；系数列表[系列[g[x]，{x，0，max}]，x](*Jean-François Alcover公司2011年11月17日，在g.f.*之后）
a[n]：=与[{a=1/QPochhammer[q，q^2]}，级数系数[Sum[a-1/QPochharmer[q、q^2、k]，{k，1，n/2}]，{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年10月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）/*设置最大值*/MM=50；/*具有奇数部分的分区的G.f.：*/（Q（n，Q）=prod（k=0，n，1/（1-Q^（2*k+1）），1+Q*O（Q^MM））；/*G.f.用于A000009号：*/Sq=Q（MM/2，Q）；/*G.f.用于A005896号：*/Sq0=总和（n=0，MM/2，Sq-Q（n，Q））；对于（n=0，48，print1（polcoeff（Sq0，n）“，”）；
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Michael Somos提供更多条款。
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状态
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经核准的
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A117455号
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| 将n划分为不同部分的所有分区中最大部分和最小部分之间的差异之和。 |
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2
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0, 0, 1, 2, 4, 8, 12, 19, 27, 41, 54, 76, 99, 133, 171, 223, 279, 357, 443, 554, 682, 841, 1022, 1247, 1504, 1814, 2174, 2603, 3092, 3676, 4346, 5127, 6030, 7076, 8275, 9669, 11254, 13078, 15167, 17556, 20270, 23377, 26899, 30902, 35448, 40592, 46403
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.：总和（x^（i（i+1）/2）*总和（1/（1-x^j），j=1..i-1）/乘积（1-x ^j，j=1..i），i=1..无穷大）（通过对A117454号设t=1）。
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例子
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a（7）=12，因为7分成不同的部分是[7]、[6,1]、[5,2]、[4,3]和[4,2,1]以及（7-7）+（6-1）+（5-2）+。
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MAPLE公司
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g： =总和（x^（i*（i+1）/2）*总和（1/（1-x^j），j=1..i-1）/乘积（1-x ^j，j=1..i），i=1..15）：gser:=系列（g，x=0，55）：seq（系数（gser，x^n），n=1.50）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（i=n，n，0）+`如果`（i>0，b（n，i-1）+
`如果`（i<n，b（n-i，i-1），0），0
结束时间：
g： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（i=n，n，0）+`如果`（i<n，g（n，i+1）+g（n-i，i+1），0）
结束时间：
a： =n->g（n，1）-b（n，n）：
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数学
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b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[i=n，n，0]+如果[i>0，b[n，i-1]+如果[i<n，b[n-i，i-1]，0]，0]；g[n_，i_]：=g[n，i]=如果[i==n，n，0]+如果[i<n，g[n；i+1]+g[n-i，i+1]，0]；a[n]：=g[n，1]-b[n，n]；表[a[n]，{n，1，60}](*Jean-François Alcover公司2015年3月24日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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