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根据OEIS政策，包括已发布但错误的序列，以提供正确版本的链接。
带有n个节点的带标签的根Greg树的数量。
（原名M3096）
+10
13
1, 3, 22, 262, 4336, 91984, 2381408, 72800928, 2566606784, 102515201984, 4575271116032, 225649908491264, 12187240730230528, 715392567595403520, 45349581052869924352, 3087516727770990992896, 224691760916830871873536
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有根的Greg树可以描述为具有2个彩色节点的有根树，其中只有黑色节点被计数和标记，白色节点至少有2个子节点-克里斯蒂安·鲍尔1999年11月15日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
J.Felsenstein，进化树的数量《系统动物学》，27（1978），27-33。
J.Felsenstein，进化树的数量《系统动物学》，27（1978），27-33。（带注释的扫描副本）
C.航班，有多少茎瘤？《手稿》，34（1990），122-128。（带注释的扫描副本）
L.R.Foulds和R.W.Robinson，确定系统发育树的渐近数量《组合数学VII》（纽卡斯尔，1979年8月）第110-126页，R.W.Robinson、G.W.Southern和W.D.Wallis编辑。莱克特。数学笔记。，施普林格，1980年。
L.R.Foulds和R.W.Robinson，确定系统发育树的渐近数目，数学课堂笔记。，829 (1980), 110-126. （带注释的扫描副本）
阿明·霍恩（Armin Hoenen）、斯特芬·埃格尔（Steffen Eger）和拉尔夫·盖尔克（Ralf Gehrke），有多少根度数为k的茎？《第十五届语言数学会议记录》，第11-21页，2017年。
D.J.Jeffrey、G.A.Kalugin和N.Murdoch，拉格朗日反演和Lambert W，预印本，2015年第17届科学计算符号和数字算法国际研讨会（SYNASC）。
M.Josuat-Vergès，树函数的导数，arXiv预印本arXiv:1310.7531[math.CO]，2013。
配方奶粉
奇数[1,3,5,7,9,11，…]的REVEGF变换是[1，-3，22，-262，4336，-91984，2381408，…]-N.J.A.斯隆2017年5月26日
例如，A（x）=y满足y’=（1+2*y）/（（1-2*y）*（1+x））-迈克尔·索莫斯2011年3月26日
例如，A（x）满足（1+x）*exp（A（x。
A（x）满足A（0）=0的可分离微分方程A'（x）=exp（A（x。因此，反函数A^-1（x）=int{t=0..x}（1-2*t）/exp（t）=exp（-x）*（2*x+1）-1=x-3*x^2/2+5*x^3/3-7*x^4/4！+。。。。A（x）=-1/2-LambertW（-exp（-1/2）*（x+1）/2）。
A（x）的展开式可以通过使用[Dominici，定理4.1]的方法将上述积分求反得到在x=0时计算的结果A（n）=D^（n-1）（1），其中D表示算子g（x）->D/dx（exp（x）/（1-2*x）*g（x”））。与[Dominici，示例9]进行比较。
（结束）
a（n）=总和（k=1..n-1，（n+k-1）*总和（j=1..k，1/（k-j）*总和（l=1..j，1/（l！*（j-l）！）*总和（i=0..n+j-1，（（-1）^（i+l）*l^i*二项式（l，n+j-i-1）*2^（n+j-i-1）））），n> 1，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年5月4日
设T（n，k）=1，如果k=0且（n=0或n=1）；如果k<0或k>n，T（n，k）=0；否则T（n，k）=（n-1）*T（n-1，k-1）+（3*n-k-4）*T。定义多项式p（n，w）=w^n*sum_{k=0..n-1}（T（n，k）*w^k）/（1+w）^（2*n-1），然后a（n）=（-1）^n*p（n），-1/2）-彼得·卢什尼2012年11月10日
a（n）~n^（n-1）/（sqrt（2）*exp（n/2）*（2-exp（1/2））^（n-1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年7月9日
例如：-W（-（1+x）*exp（-1/2）/2）-1/2，其中W是Lambert W函数-罗伯特·伊斯雷尔2017年3月28日
例子
G.f.=x+3*x ^2+22*x ^3+262*x ^4+4336*x ^5+91984*x ^6+2381408*x ^7+。。。
MAPLE公司
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0且（n=0或n=1），则返回（1）fi；如果k<0或k>n，则返回（0）fi；
（n-1）*T（n-1，k-1）+（3*n-k-4）*T
A005264号：=过程（n）加（T（n，k）*（-1）^k*2^（n-k-1），k=0..n-1）结束；
数学
最大值=17；f[x_]：=-1/2-产品日志[-E^（-1/2）*（x+1）/2]；Rest[系数列表[系列[f[x]，｛x，0，max｝]，x]*范围[0，max]！](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年5月23日，在Peter Bala之后*）
a[n_]：=如果[n<1，0，n！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[Exp[-x]（1+2 x）-1，{x，0，n}]]，n]]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，for（k=1，n，a+=x*O（x^k）；a=截断（（1+x）*exp（a）-1-a））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2007年4月2日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，n！*polceoff（serreverse（exp（-x+x*O（x^n）））*（1+2*x）-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月26日*/
（极大值）a（n）：=如果n=1，则1其他和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（1/（l！*（j-l）！）*和（（（-1）^（i+l）*l^i*二项式（l，n+j-i-1）*2^（n+j-i-1））/i！，i、 0，n+j-1），l，1，j），j，1，k），k，1，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年5月4日*/
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果k==0且（n==0或n==1）：返回1
如果k<0或k>n：返回0
返回（n-1）*T（n-1，k-1）+（3*n-k-4）*T
A005264号=λn：加（T（n，k）*（-1）^k*2^（n-k-1），对于（0..n-1）中的k）
三角表示T（n，k）=（n，k）标记有根Greg树的数量（n>=1，0<=k<=n-1）。
+10
11
1, 2, 1, 9, 10, 3, 64, 113, 70, 15, 625, 1526, 1450, 630, 105, 7776, 24337, 31346, 20650, 6930, 945, 117649, 450066, 733845, 650188, 329175, 90090, 10395, 2097152, 9492289, 18760302, 20925065, 14194180, 5845455, 1351350, 135135, 43046721
评论
（n，k）根Greg树可以描述为具有n个黑色节点和k个白色节点的根树，其中只有黑色节点被标记，白色节点至少有2个子节点-克里斯蒂安·鲍尔1999年11月15日
链接
C.航班，有多少根茎叶？《手稿》，34（1990），122-128。（带注释的扫描副本）
Josuat Vergès先生，树函数的导数，arXiv预印本arXiv:1310.7531[math.CO]，2013。
配方奶粉
T（n，0）=n^（n-1），T（n、k）=（n+k-2）*T（n-1，k-1）+（2*n+2*k-2）*T（n-1，k）+（k+1）*T。
例如：关于t*的x的成分逆（exp（-x）-1）+（1+t）*x*exp（-x）=关于（x-（2+t）*x^2/2！+的x的组成逆（3+2*t）*x^3/3！-（4+3*t）*x^4/4！+…）=x+（2+t）*x^2/2！+（9+10*t+3*t^2）*x^3/3！+。。。。
行生成多项式R（n，t）满足递归R（n+1，t）=（1+t）^2*R'（n，t）+n*（2+t）*R（n、t），其中R（1，t）=1。
（结束）
似乎k=1列中的条目由T（n，1）=（n+1）^n-2*n^n给出（检查到n=15）-请参见A176824号.
假设如此，我们可以使用递推方程来获得列k=2,3，…的显式公式，。。。。
例如，T（n，2）=1/2*{（n+2）^（n+1）-4*（n+1”^（n+1）+（4*n+3）*n^n}。（结束）
例子
1;
2, 1;
9, 10, 3;
64, 113, 70, 15; ...
数学
t[n/；n>=1，k_/；k>=0]/；0<=k<=n-1：=t[n，k]=（n+k-2）t[n-1，k-1]+（2n+2k-2）*t[n-1，k]+（k+1）t[n 1，k+1]；t[1,0]=1；t[_，_]=0；扁平[表[t[n，k]，{n，1，9}，{k，0，n-1}]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年7月20日，配方后*）
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年4月7日
三角形表示a（n，k）=标记的Greg树（n>=2，0<=k<=n-2）的数量。
+10
9
1, 3, 1, 16, 13, 3, 125, 171, 85, 15, 1296, 2551, 2005, 735, 105, 16807, 43653, 47586, 26950, 7875, 945, 262144, 850809, 1195383, 924238, 412650, 100485, 10395, 4782969, 18689527, 32291463, 31818045, 19235755, 7113645, 1486485, 135135
评论
（n，k）Greg树可以描述为具有n个黑色节点和k个白色节点的树，其中只有黑色节点被标记，白色节点的度至少为3。
链接
C.飞行，有多少根茎叶？《手稿》，34（1990），122-128。（带注释的扫描副本）
Josuat Vergès先生，树函数的导数，arXiv预印本arXiv:1310.7531[math.CO]，2013。
配方奶粉
a（n，0）=n^（n-2），a（n、k）=（n+k-3）*a（n-1，k-1）+（2n+2k-3）*1（n-1、k）+（k+1）*a。
例子
三角形开始
1;
3, 1;
16, 13, 3;
125, 171, 85, 15;
...
数学
a[n，0]：=n^（n-2）；a[n/；n>=2，k]/；0<=k<=n-2：=a[n，k]=（n+k-3）*a[n-1，k-1]+（2*n+2*k-3）*a[n-1，k]+（k+1）*a[n-1，k+1]；a[n，k]=0；表[a[n，k]，{n，2，9}，{k，0，n-2}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年10月3日*）
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2000年4月7日
1, 1, 2, 8, 64, 832, 15104, 352256, 10037248, 337936384, 13126565888, 577818263552, 28425821618176, 1545553369366528, 92034646352592896, 5956917762776367104, 416397789920380321792, 31262503202358260924416
评论
树的每个节点都是标记集{1，…，n}的子集。如果子集节点为空，则其阶数必须至少为3。
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.26。
链接
L.R.Foulds和R.W.Robinson，确定系统发育树的渐近数量《组合数学VII》（纽卡斯尔，1979年8月）第110-126页，R.W.Robinson、G.W.Southern和W.D.Wallis编辑。数学课堂笔记。，829 (1980), 110-126. （带注释的扫描副本）
数学
a[n/；n>2]：=2^（n-1）*（n-2）*求和[二项式[n+k-2，n-2]*求和[（-1）^j*二项式[k，j]*求和]（（-1）|l*2^（j-l）*二项法[j，l]*（j-1）*斯特林S1[n+j-l-2，j-l]）/（n+j-1-2）！，{l，0，j}]，{j，1，k}]，{k，1，n-2}]；a[0]=a[1]=1；a[2]=2；表[a[n]，{n，0，17}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年4月10日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
1, 2, 6, 21, 78, 313, 1306, 5653, 25088, 113685, 523522, 2443590, 11533010, 54949539, 263933658, 1276652682, 6213207330, 30402727854, 149486487326, 738184395770, 3659440942282, 18205043615467, 90856842218506, 454770531433586, 2282393627458496, 11483114908752959
评论
有根的Greg树可以描述为具有2个彩色节点的有根树，其中只计算黑色节点，而白色节点至少有2个子节点。
配方奶粉
满足a=欧拉（a）+SHIFT_RIGHT（欧拉（b））-a。
a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=5.33997181362574740496306748406038585859910694551382103293340704…和c=0.18146848896228947680031964348358794225205-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月11日
MAPLE公司
b： =proc（n，i）选项记住`如果`（n＝0，1，`如果`（i＜1，0，
加法（二项式（a（i）+j-1，j）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束：
a： =n->`如果`（n<1，0，b（n-1$2）+b（n，n-1））：
数学
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[二项式[a[i]+j-1，j]b[n-ij，i-1]，{j，0，n/i}]]；
a[n_]：=如果[n<1，0，b[n-1，n-1]+b[n，n-1]；
1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 12, 42, 137, 452, 1491, 4994, 16831, 57408, 197400, 685008, 2395310, 8437830, 29917709, 106724174, 382807427, 1380058180, 4998370015, 18181067670, 66393725289, 243347195594, 894959868983, 3301849331598, 12217869541117, 45335177297876
评论
格雷格树可以描述为一棵具有2个彩色节点的树，其中只计算黑色节点，白色节点的度数至少为3。
MAPLE公司
b： =proc（n，i）选项记住`如果`（n＝0，1，`如果`（i＜1，0，
加法（二项式（g（i），j）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束：
g： =n->`如果`（n<1，0，b（n-1$2）+b（n，n-1））：
a： =n->`如果`（n=0，1，g（n）-加（g（j）*g（n-j），j=0..n））：
数学
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[二项式[g[i]，j]b[n-ij，i-1]，{j，0，n/i}]]；
g[n_]：=如果[n<1，0，b[n-1，n-1]+b[n，n-1]；
a[n_]：=如果[n==0，1，g[n]-和[g[j]g[n-j]，{j，0，n}]]；
1, 1, 2, 5, 14, 43, 138, 455, 1540, 5305, 18546, 65616, 234546, 845683, 3072350, 11235393, 41326470, 152793376, 567518950, 2116666670, 7924062430, 29765741831, 112157686170, 423809991041, 1605622028100, 6097575361683, 23207825593664, 88512641860558
评论
有根的Greg树可以描述为具有2个彩色节点的有根树，其中只计算黑色节点，而白色节点至少有2个子节点。
配方奶粉
满足a=WEIGH（a）+SHIFT_RIGHT（重量（a））-a。
a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中d=4.0278584853515190803008179085023154…，c=0.14959176868229550510957320468-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月12日
MAPLE公司
b： =proc（n，i）选项记住`如果`（n＝0，1，`如果`（i＜1，0，
加法（二项式（a（i），j）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束：
a： =n->`如果`（n<1，1，b（n-1$2））+b（n，n-1）：
数学
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[二项式[a[i]，j]*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；
a[n]：=如果[n<1，1，b[n-1，n-1]+b[n，n-1]；
1, 1, 1, 2, 5, 12, 37, 116, 412, 1526, 5995, 24284, 101619, 434402, 1893983, 8385952, 37637803, 170871486, 783611214, 3625508762, 16906577279, 79395295122, 375217952457, 1783447124452, 8521191260092, 40907997006020, 197248252895597, 954915026282162
评论
格雷格树可以描述为一棵具有2个彩色节点的树，其中只计算黑色节点，白色节点的度数至少为3。
MAPLE公司
b： =proc（n，i）选项记住`如果`（n＝0，1，`如果`（i＜1，0，
加法（二项式（g（i）+j-1，j）*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束：
g： =n->`如果`（n<1，0，b（n-1$2）+b（n，n-1））：
a： =n->`如果'（n=0，1，g（n）-add（g（j）*g（n-j），j=0.n）：
数学
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，
求和[二项式[g[i]+j-1，j]*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；
g[n_]：=如果[n<1，0，b[n-1，n-1]+b[n，n-1]；
a[n_]：=如果[n==0，1，g[n]-和[g[j]*g[n-j]，{j，0，n}]]；
0, 1, 12, 151, 2545, 54466, 1417318, 43472780, 1536228588, 61466251616, 2746907348768, 135619260805568, 7331022129923648, 430638151053316480, 27315015477709844352, 1860627613021322933248, 135465573609158928964096, 10498038569346091127451136, 862792664850194915870874112
评论
给定m个标记节点（超前索引），根下有2个子树的根Greg树的数量。在所有索引相同的树中（参见序列A005264号)根分叉树在重建手稿谱系的文献学话语中起着核心作用。标记节点表示幸存的手稿，未标记节点表示假想的手稿。另见词源学/词源学，贝迪尔悖论。
参考文献
J.Bédier。Lai de l‘Ombre的传统手册：古代文本艺术的灵活性。罗马尼亚394（1928），161-196/321-356。
C.航班。有多少根茎叶？《手稿》34（2），1990年，第122-128页。
W.Hering，Zweispatige Stemmata。《文学与文学文献》111（1-2），（1967），170-185。
P.玛斯。文本克里蒂克。4.作伪。莱比锡：特伯纳。1960
配方奶粉
T_{m，2}=Sum_{n>=0}T_{m、n、2}，其中T_{m和n，k}=（m/k！（g（s_i，p_i）），这里g（m，n）=有根Greg树的数量，请参见(A005264美元)带有m个标记节点和n个未标记节点。s和p是包含k个元素的元组，其中每个si>=1，对于每个pi:0<=pi<si；T_{m，n，k}中的第一项给出了带有标记根的树的数量，第二项给出了未标记根的数量。
例子
对于n=3，T_{3,2}是T_{3,1,2}+T_{31,2}+T{3,2,2}，其中T_{30,2}=（3/2）*（二项式（2，（1,1））*乘积（g（1,0）*g（1,O）））+0=3；T_{3,1,2}=0+1/2*（（二项式（3，（2,1））*乘积（g（2,0）*g（1,0））+（二项法（3，）=3；3 + 6 + 3 =12.
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