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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A005172号 n-集子集的标记根树的数目。
(原M3648)
10
1、4、32、416、7552、176128、5018624、168968192、6563282944、28890931776、14212910809088、772776684683264、46017323176296448、2978458881388183552、208198894960190160896、1563125179130462208、1254492810303112820555776、107174403941453434687463424、9711022458989438255300083712 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

每个节点都是标记集{1,…,n}的子集。如果子集节点为空,则它必须至少有两个子节点。

约翰·W·外行观察到这是A005264号.

参考文献

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

R、 斯坦利,计数组合学,剑桥,第2卷,1999年;见问题5.26。

链接

T、 D.Noe和Vaclav Kotesovec,n=1..240的n,a(n)表(术语1..30来自T.D.Noe)

F、 博格伦,弗莱约特博士和萨尔维博士,生长树种,计算机科学讲义第581卷,J.-C.Raoult版,斯普林格1992年,第24-48页。

F、 查波顿,F.Hivert,J.-C.Novelli,由形式分数和树状子操作数组成的集合操作数,arXiv预印本arXiv:1307.0092[math.CO],2013年。

D、 多米尼克,嵌套导数:求逆函数级数展开式的一种简单方法,arXiv:math/0501052[math.CA],2005年。

五十、 鲁滨逊和鲁滨逊,确定系统发生树的渐近数,第110-126页组合数学第七章(纽卡斯尔,1979年8月),编辑R.W.Robinson,G.W.Southern和W.D.Wallis。选择。数学笔记,829。斯普林格,1980年。

五十、 福兹和罗宾逊,确定系统发生树的渐近数,数学课堂讲稿,829(1980),110-126。(带注释的扫描副本)

J、 海耶斯,无扇出布尔函数的枚举,J.ACM,23(1976),700-709。

F、 R.McMorris和T.Zaslavsky,分支字符数,数学。生物科学,54(1981),3-10。

F、 R.McMorris和T.Zaslavsky,分支字符数,数学。生物科学,1981年第10期,第3期。[带注释的扫描副本]

与树相关的序列的索引项

与根树相关的序列的索引项

公式

E、 :λ-2.0倍/2倍。

E、 g.f.:A(x)=1+积分A(x)*(1+A(x))^2 dx。-保罗·D·汉娜2008年9月6日

母函数A(x)=x+4*x^2/2!+32*x^3/3!+... 满足自治微分方程A'(x)=(1+2*A)/(1-2*A),A(0)=0。因此反函数A^-1(x)=int{t=0..x}(1-2*t)/(1+2*t)=log(1+2*x)-x。

A(x)的展开式可以通过使用[Dominici,定理4.1]的方法将上述积分倒置,得到结果A(n)=D^(n-1)(1),在x=0处求值,其中D表示算子g(x)->D/dx((1+2*x)/(1-2*x)*g(x))。与…比较A032188号.

将[Bergeron等人,定理1]应用于结果x=int{t=0..A(x)}1/phi(t),其中phi(t)=(1+2*t)/(1-2*t)=1+4*t+8*t^2+16*t^3+32*t^4+。。。给出了这个序列的如下组合解释:a(n)给出了n个顶点上的平面增长树的个数,其中每个出度k>=1的顶点可以用2^(k+1)的方式着色。下面给出了一个例子。-彼得·巴拉2011年9月6日

a(n)=和(k=1..n-1,(n+k-1)!*总和(j=1..k,(-1)^j/(k-j)!*和(i=0..j,(-1)^i*2^(n-i+j-1)*斯特林1(n-i+j-1,j-i)/((n-i+j-1)!*)i!)),n>1,a(1)=1。-弗拉基米尔·克鲁基宁2012年1月30日

设p(n,w)=w*和{k=0..n-1}((-1)^k*E2(n-1,k)*w^k)/(1+w)^(2*n-1),E2由Knuth定义的二阶欧拉数,然后a(n)=-p(n,-1/2)。-彼得·卢什尼2012年11月10日

a(n)~(2/(2*log(2)-1))^(n-1/2)*n^(n-1)/exp(n)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月5日

G、 f.:1/Q(0),式中Q(k)=1-2*(k+1)*x-2*x*(k+1)/Q(k+1);(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日

a(n)=2*a(n-1)+和{j=1..n-1}二项式(n,j)*a(j)*a(n-j)对于n>1,a(1)=1。-彼得·卢什尼2017年5月24日

a(1)=1;a(n)=n!*[x^n]扩展(x+Sum{k=1..n-1}a(k)*x^k/k!)。-伊利亚·古特科夫斯基2017年10月18日

例子

x+4*x^2+32*x^3+416*x^4+7552*x^5+176128*x^6+5018624*x^7+。。。

D^3(1)=32*(12*x^2+28*x+13)/(2*x-1)^6。在x=0时计算得到a(4)=416。

a(3)=32:3个顶点上的32个递增平面树,其顶点的出度为2^(k+1)颜色为

.

1(x4色)1(x8色)1(x8色)

           |                / \               / \

2(x4色)2 3 3 2

           |

.

总计:16 8 8

枫木

带(组合);A005172号:=n->add(欧拉2(n-1,k)*2^(2*n-k-2),k=0..n-1):序列(A005172号(n) ,n=1..16)#彼得·卢什尼2012年11月10日

A005172号_list:=proc(len)局部A,n;A[1]:=1;对于n从2到len do

A[n]:=2*A[n-1]+加法(二项式(n,j)*A[j]*A[n-j],j=1..n-1)外径:

转换(A,列表)结束:A005172号_清单(19)#彼得·卢什尼2017年5月24日

数学

max=16;g[x\]:=-1/2-ProductLog[-E^(-1/2+x)/2];Drop[CoefficientList[Series[g[x],{x,0,max}],x]*范围[0,max]!,1](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年11月17日,第一次e.g.f.*之后)

a[n_x]:=如果[n<0,0,n!SeriesCoefficient[-1/2-ProductLog[-Exp[-1/2+z]/2],{z,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2012年6月7日*)

a[1]=1;a[n_x]:=(和[(n+k-1)!*总和[(-1)^j/(k-j)!*和[(-1)^i*2^(n-i+j-1)*StirlingS1[n-i+j-1,j-i]/((n-i+j-1)!*我!),{i,0,j}],{j,1,k}],{k,1,n-1}]);

阵列[a,20](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2018年6月24日,之后弗拉基米尔·克鲁基宁*)

Eulerian2[n_u,k_u]:=Eulerian2[n,k]=如果[k==0,1,如果[k==n,0,Eulerian2[n-1,k](k+1)+Eulerian2[n-1,k-1](2n-k-1)];A005172号[n_u]:=Sum[Eulerian2[n-1,k]2^(2n-k-2),{k,0,n-1}];表[A005172号[n] ,{n,19}](*彼得·卢什尼2018年6月24日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=1+x);对于(i=0,n,a=1+intformal(a*(1+a+x*O(x^n))^2));n!*波尔科夫(A,n)}\\保罗·D·汉娜2008年9月6日

(最大值)a(n):=如果n=1,则1其他值(和((n+k-1)!*总和((-1)^j/(k-j)!*和((-1)^i*2^(n-i+j-1)*斯特林1(n-i+j-1,j-i)/((n-i+j-1)!*我!),i,0,j),j,1,k),k,1,n-1)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2012年1月30日*/

(圣人)

@缓存函数

定义欧拉2(n,k):

如果k==0:返回1

elif k==n:返回0

返回eulerian2(n-1,k)*(k+1)+eulerian2(n-1,k-1)*(2*n-k-1)

A005172号=lambda n:加(eulerian2(n-1,k)*2^(2*n-k-2)表示k in(0..n-1))

[A005172号(n) 对于n in(1..16)]#彼得·卢什尼2012年11月10日

(PARI)N=66;x='x+O('x^N);

k*1*2(如果k+2)*(k+2);

gf(Q)(平方英尺/平方英尺)\\乔尔阿恩特2013年5月1日

交叉引用

囊性纤维变性。A005640号,A032188号.

看到了吗A225170换个版本。

上下文顺序:A191459号 A184359号 A229548号*A298694号 A222685号 A322735飞机

相邻序列:A005169号 A005170型 A005171号*A005173号 A005174号 A005175号

关键字

,美好的,容易的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月9日14:08。包含335543个序列。(运行在oeis4上。)