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| A054589号 |
| 与标记的根树、循环树和二叉树相关的表。 |
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6
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1, 1, 1, 2, 4, 3, 6, 18, 25, 15, 24, 96, 190, 210, 105, 120, 600, 1526, 2380, 2205, 945, 720, 4320, 13356, 26488, 34650, 27720, 10395, 5040, 35280, 128052, 305620, 507430, 575190, 405405, 135135
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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左栏为（n-1）！，右栏是（2n-3）！！，每行的总和是n^（n-1）。
与Ramanujan psi多项式相关的多项式常数项（见Zeng参考）。
微分n乘以Lambert函数W（x）=Sum_{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！关于x，得出（d/dx）^n W（x）=exp（n*W（x））/（1-W（x））^n*R（n，1/（1-W（x））），其中R（n，x）是这个三角形的第n行多项式。前几个值是R（1，x）=1，R（2，x）=1+x，R（3，x）=2+4*x+3*x^2。Ramanujan多项式R（n，x）是强x-log-convex[Chen等人]。
Shor和Dumont-Ramamonjisoa独立地证明了R（n，x）中的x^k系数计算了n个顶点上具有k条不适当边的有根标记树。德雷克，例1.7.3，给出了这个三角形的另一个组合解释，即计算一系列标记树。
（结束）
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013-2014。
Dominique Dumont和Armand Ramamonjisoa，拉马努扬语法与凯莱语法，电气。J.组合数学，第3卷，第2期（1996）R17（见第16页）。
Josuat Vergès先生，树函数的导数，arXiv预印本arXiv:1310.7531[math.CO]，2013。
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配方奶粉
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多项式p_n=Sum a[n，k]x^k满足p_1=1和p_（n+1）=x*x*dp_n/dx+n*（1+x）*p_n。
例如：关于（1-t+（t-1+x*t）*exp（-x））=x+（1+t）*x^2/2！+的x的级数反转（2+4*t+3*t^2）*x^3/3！+。。。。
移位行多项式{p_n（1+t）}n>=1的序列从[1,2+t，9+10*t+3*t^2，…]开始。这些是的行多项式A048160型。
（结束）
设f（x）=exp（x）/（1-t*x）。例如，f.A（x，t）=x+（1+t）*x^2/2！+（2+4*t+3*t^2）*x^3/3！+。。。满足自治微分方程dA/dx=f（A）。第n行多项式（n>=1）等于在x=0时计算的D^（n-1）（f（x）），其中D是操作符f（x）*D/dx（应用[Dominici，定理4.1]）-彼得·巴拉2011年11月9日
设q_n=Sum_{k>=0}a（n，k）*t^（n-k），其中q_0=1。（所以q_1=t，q_2=t+t^2，q_3=3*t+4*t^2+2*t^3。）然后求和{n>=0}q_n*x^n/n！=t-W（（t-1-t^2*x）*exp（t-1）），其中W是Lambert函数-伊拉·盖塞尔（Ira M.Gessel）2012年1月6日
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例子
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三角形开始：
{1},
{1, 1},
{2, 4, 3},
{6, 18, 25, 15},
...
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数学
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p[1]=1；p[n]：=p[n]=展开[x^2*D[p[n-1]，x]+（n-1）（1+x）p[n-1]]；压扁[表[系数列表[p[n]，x]，{n，1，8}]](*Jean-François Alcover公司2011年7月22日*）
清除[a]；
a[1,0]=1；
a[n，k]/；k<0 | | k>=n：=0
a[n，k]/；0<=k<=n-1：=
a[n，k]=（n-1）a[n-1，k]+（n+k-2）a[n-1，k-1]
表[a[n，k]，{n，20}，{k，0，n-1}(*大卫·卡伦2012年10月14日*）
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交叉参考
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