a（n）=上层（[-1-n，-n，1-n]，[2,3]，+2）。

1, 1, -1, -3, 13, 17, -241, 121, 5081, -13327, -106705, 609589, 1850661, -23392159, -6796193, 811545073, -1688514383, -25224774367, 123764707231, 650087614573, -6385330335427, -9591188592399, 279171512779759, -318526766092183, -10665705513959287, 40625771132796817

0,4

a（n）=（-1/2）*B（n，-2）其中B（n、x）是带系数的Baxter多项式A359363型，对于n>0-彼得·卢什尼2024年1月4日

a（0）=1，a（n）=（-1）^n*2^（n+1）/（n*（n+1）^2）*Sum_{k=1..n}（-1/2）^k*二项式（n+1，k-1）*二项式（n+1，k）*二项式（n+1，k+1）-Detlef Meya酒店2024年5月29日

表[HypergeometricPFQ[{-1-n，-n，1-n}，{2，3}，2]，{n，0，30}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月4日*）

a[0]：=1；a[n]：=（-1）^n*2^（n+1）/（n*（n+1；表[a[n]，｛n，0，25｝](*Detlef Meya酒店2024年5月29日*）

（SageMath）

定义A368709型（n） ：如果n>0，则返回PolyA359363（n，-2）//（-2），否则返回1

打印([A368709型（n） 对于范围（0，26）]中的n）#彼得·卢什尼2024年1月4日

（Python）

定义A368709型（n） 以下为：

如果n==0：返回1

返回和（（-2）**k*v代表枚举中的k，v（A359363Row（n）））//（-2）

打印([A368709型（n） 对于范围（26）中的n）#彼得·卢什尼2024年1月4日

囊性纤维变性。A368708型,A001181号,A007724号,A217800型,A359363型.

签名,改变

乔格·阿恩特2024年1月4日

经核准的

瓦茨拉夫·科特索维奇：正确，但二项式[n+1,1]*二项式[n+1,2]=n*（n+1）^2，我建议简化并放在求和之外。

a（n）=表层（[-1-n，-n，1-n]，[2,3]，-2）。

1, 1, 3, 13, 69, 417, 2763, 19609, 146793, 1146833, 9278595, 77292261, 659973933, 5756169681, 51137399979, 461691066417, 4228199347281, 39216540096993, 367890444302787, 3486697883136957, 33353178454762389, 321754445379041601, 3127955713554766923, 30624486778208481993, 301790556354721667769, 2991957347531210976817

0, 3

a（n）=（1/2）*B（n，2），其中B（n，x）是具有系数的Baxter多项式A359363型，对于n>0-彼得·卢什尼2024年1月4日

a（n）~3（n+7/6）*（2（2/3）+2（1/3）+1）^（n+5/3）/（2（4/3）*Pi*n^4）-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月4日

a（0）=1，a（n）=2^（n+1）/（n*（n+1-德特勒夫·梅亚2024年5月29日

表[HypergeometricPFQ[{-1-n，-n，1-n}，{2，3}，-2]，{n，0，30}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月4日*）

a[0]：=1；a[n]：=2^（n+1）/（n*（n+1；表[a[n]，{n，0，25}](*Detlef Meya酒店2024年5月28日*）

（SageMath）

定义A368708型（n） ：如果n>0，则返回PolyA359363（n，2）//2，否则返回1

打印([A368708型（n） 对于范围（23）内的n）#彼得·卢什尼2024年1月4日

（Python）

定义A368708型（n） 以下为：

如果n==0：返回1

返回和（2**k*v代表k，v在枚举中（A359363Row（n）））//2

打印([A368708型（n） 对于范围（26）中的n）#彼得·卢什尼，2024年1月4日

囊性纤维变性。A001181号,A007724号,A217800型,A359363型,A368709型.

非n,改变

乔格·阿恩特2024年1月4日

经核准的

瓦茨拉夫·科特索维奇：与A368709中的注释相同：二项式[n+1，1]*二项式[n+1，2]=n*（n+1）^2/2，我建议简化并排除在总和之外。

Riordan数的逆Euler变换(A005043号).

1, 0, 1, 1, 2, 5, 11, 28, 68, 174, 445, 1166, 3068, 8190, 21994, 59585, 162360, 445145, 1226376, 3394654, 9434260, 26317865, 73661588, 206809307, 582255448, 1643536725, 4650250254, 13186484316, 37468566744, 106666821221, 304200399505, 868977304140, 2486163857424

0,5

OEIS Wiki，<a href=“https://oeis.org/wiki/Euler_transform网站“>欧拉变换</a>

a（n）~3^（n+1/2）/（4*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年6月15日

EulerInvTransform:=proc（f）local c，b；

c:=proc（n）选项记住；

ifelse（n=0，f（0），f（n）-b（n，n-1））结束：

b:=proc（n，k）选项记忆；

如果n=0，则返回1 elif k<1，然后返回0 fi；

加法（二项式（c（k）+j-1，j）*b（n-k*j，k-1），j=0..n/k）结束：

c端：

a:=EulerInvTransform(A005043号)：seq（a（n），n=0..32）；

EulerInvTransform[seq_List]：=模块[{final={}}，Do[AppendTo[final，i*seq[[i]]-总和[final[[d]]*seq[[i-d]]，{d，i-1}]]，}，{i，长度[seq]}]；表[Sum[MoebiusMu[i/d]*final[[d]]，{d，Divisors[i]}]/i，{i，Length[seq]}]]；

A005043号[n_]：=A005043号[n] =如果[n<=1，1-n，（n-1）*（2*A005043号[n-1]+3个*A005043号[n-2]）/（n+1）]；

联接[{1}，EulerInvTransform[Array[A005043号, 32]]] (*Jean-François Alcover公司2024年6月15日*）

（SageMath）

z=PowerSeriesRing（ZZ，'z'）.gen（）。O（33）

g=1+z+sqrt（1-2*z-3*z**2）

f=-z*g.导数（）/g

打印（[1]+[总和（莫比乌斯（n//d）*f[d]

对于除数（n）中的d）//n对于范围（1，33）中的n）

（Python）

键入import Callable

从functools导入缓存

从数学导入梳

#定义“二项式”以与Maple兼容。

定义二项式（n:int，k:int）->int：

如果0<=k<=n：返回梳（n，k）

如果k<=n<0：返回梳（-k-1，n-k）*（-1）**（n-k）

如果n<0<=k：返回梳（-n+k-1，k）*（-1）**k

返回0

def EulerInvTransform（f:可调用）->可调用：

@高速缓存

定义h（n:int，k:int）->int：

如果n=0：返回1

如果k<1：返回0

返回和（二项式（b（k）+j-1，j）*h（n-k*j，k-1）

对于范围（1+n//k）中的j）

@高速缓存

定义b（n:int）->int：

如果n==0：返回f（0）

返回f（n）-h（n，n-1）

返回b

a=欧拉InvTransform(A005043号)

打印（[a（n）代表范围（33）中的n]）

囊性纤维变性。A005043号.

非n,改变

彼得·卢什尼2022年11月20日

经核准的

（Pi/2-log（1+sqrt（2）））/（2*sqrt））=和{k>=0}（-1）^k/（4k+3）的十进制展开式。

2, 4, 3, 7, 4, 7, 7, 4, 7, 1, 9, 9, 6, 8, 0, 5, 2, 4, 1, 7, 9, 9, 7, 5, 0, 8, 3, 6, 3, 2, 3, 0, 2, 7, 1, 1, 0, 0, 1, 4, 8, 0, 0, 5, 4, 9, 9, 8, 6, 7, 7, 6, 5, 1, 4, 3, 6, 3, 1, 7, 0, 6, 2, 8, 2, 1, 4, 6, 9, 3, 4, 6, 8, 6, 3, 9, 2, 7, 1, 4, 8, 5, 8, 8, 0, 8, 1, 3, 3, 0, 2, 2, 7, 7, 8, 2, 3, 4, 0, 6, 3, 5, 6, 3, 4

0,1

设N是可被4整除的正整数。我们有渐近展开式2*（（Pi/2-log（1+sqrt（2）））/（2*sqrt）-和{k=0..N/4-1}（-1）^k/（4*k+3））~1/N-1/N^2-3/N^3+11/N^4+57/N^5--。。。，其中系数序列[1，-1，-3，11，57，…]为A212435型这源于Borwein等人，引理2，f（x）=1/x，然后设置x=N/4和h=3/4。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A181048号. -彼得·巴拉2016年9月23日

Gheorghe Coserea，<a href=“/A181049号/b181049.txt“>n，a（n）表，n=0..2015</a>

J.M.Borwein、P.B.Borween和K.Dilcher，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2324715“>Pi，Euler数和渐近展开式，Amer.Math.Monthly，96（1989），681-687。

Eric W.Weistein，<a href=“https://mathworld.wolfram.com/EulersSeriesTransformation.html“>Euler级数变换。

等于积分{x=0..1}（x^2dx）/（1+x^4）。

等于（1/2）*积分{x=0..Pi/4}平方（tan（x））dx。囊性纤维变性。A247719号. -彼得·巴拉，2016年9月23日

等于和{n>=0}2^（n-1）*n/（乘积{k=0..n}4*k+3）=Sum_{n>=0}2^（n-1）*n/A008545号（n+1）（将欧拉级数变换应用于求和{k>=0}（-1）^k/（4*k+3））-彼得·巴拉2021年12月1日

发件人彼得·巴拉，2024年3月3日：（开始）

续分数：1/（3+3^2/（4+7^2/（4+11^2/（4+15^2/（4+…））））由于欧拉。

等于（1/3）*超几何（[3/4，1]，[7/4]，-1）。

高斯连分式：1/（3+3^2/（7+4^2/。（结束）

等于Integral_{x=1..oo，y=1..oo}1/（x^4+y^4）dx-瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年6月13日

0.2437477471996805241799750836323027110...

发件人彼得·巴拉2016年9月23日：（开始）

当N=100000时，截断的数列和{k=0..N/4-1}（-1）^k/（4*k+3））=0.4874（8）5494（4）9936（4）048（24）99（444）67（625）6…到32位。括号内的数字表示此十进制展开式与2的不同之处*A181049号.必须将数字1、-1、-3、11、57、-361加到括号内的数字上，以将十进制展开式正确地扩展到32位：2*（Pi/2-log（1+sqrt（2））/（2*sqrt）=0.4874（9）5494（3）9936（1）048（35）99（501）67（264）6….（结束）

第一个@RealDigits[N[（Pi/2-Log[1+Sqrt@2]）/（2Sqrt@2），105]](*迈克尔·德弗利格2015年10月7日*）

（PARI）

默认值（realprecision，106）；

eval（vecextract（向量（总和（n=0，（-1）^（n）/（4*n+3））），“3..-2”））\\Gheorghe Coserea公司2015年10月6日

（PARI）（Pi/2-log（1+sqrt（2）））/（2*sqrt\\G.C.格鲁贝尔2017年11月28日

（岩浆）C<i>：=复合场（）；[（Pi（C）/2-对数（1+Sqrt（2）））/（2*Sqrt//G.C.格鲁贝尔2017年11月28日

囊性纤维变性。A113476号,A001586号,A093954号,A181048号,A212435型,1974年2月19日.

欺骗,非n,改变

乔纳森·D·B·霍奇森，2010年10月1日，2010年11月5日

经核准的

a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（4*n，k）*binominal（2*n-k-1，n-k）。

1, 5, 47, 500, 5615, 65005, 767396, 9183144, 110995695, 1351922495, 16566597047, 204010570296, 2522556212228, 31298015910140, 389458822888280, 4858487926378000, 60742838865326319, 760901358321592611, 9547848458062427405, 119990407515367475700

0,2

a（n）=[x^n]（（1+x）^4/（1-x））^n。

g.f.exp（Sum_{k>=1}a（k）*x^k/k）具有整数系数，等于（1/x）*Series_Reversion（x*（1-x）/（1+x）^4）。请参见A365754型.

发件人彼得·巴拉，2024年6月8日：（开始）

2*n*（n-1）*（2*n-1）x（51*n^2-144*n+100）*a（n）=-（n-1。

高斯同余成立：对于所有素数p和正整数n和r，a（n*p^r）==a（n*p^（r-1））（mod p^ r）。

猜想：超同余a（n*p^r）==a（n*p^（r-1））（mod p^A352373型以获得更一般的推测。（结束）

a（n）~平方（3+5/平方（17））*（51*sqrt（17）-107）^n/（平方（Pi*n）*2^（3*n+3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年6月12日

表[和[二项式[4*n，k]*二项式[2*n-k-1，n-k]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年6月12日*）

（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（4*n，k）*二项式，2*n-k-1，n-k））；

囊性纤维变性。A001448号,A352373型,A370101型,A370102型.

囊性纤维变性。A365754型.

非n,容易的,改变

Seiichi Manyama先生2024年2月10日

经核准的

产品扩展{k>=1}（1+x^k）/（1-x^k。

1, 2, 5, 12, 26, 54, 110, 214, 409, 764, 1400, 2520, 4475, 7828, 13532, 23124, 39102, 65472, 108658, 178786, 291883, 472984, 761119, 1216696, 1932898, 3052462, 4793464, 7487122, 11634771, 17991760, 27692230, 42431778, 64737414, 98360742, 148853817, 224405254

0,2

的卷积A000219号和A000009号.

瓦茨拉夫·科特索维奇（Vaclav Kotesovec），<a href=“/A262803型/b262803.txt“>n=0..2000的n，a（n）表</a>

瓦茨拉夫·科特索维奇（Vaclav Kotesovec），<a href=“http://arxiv.org/abs/1509.08708“>一种基于生成函数卷积求q序列渐近性的方法，arXiv:1509.08708[math.CO]，2015-2016。

a（n）~exp（1/12-Pi^4/（1728*泽塔（3） ）+Pi^2*n^（1/3）/（3*2^（7/3）*泽塔(3)^(1/3)) + 3*泽塔（3） ^（1/3）*n^（2/3）/2^（3/3））*泽塔（3） ^（7/36）/（A*sqrt（3*Pi）*2^（29/36）*n^（25/36）），其中zeta（3）=A002117号和A=A074962号是Glaisher-Kinkelin常数。

[2,2,4,4,6,6，…]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2015年10月2日

G.f.：产品{k>0}（1-x^k）^-（k+（k mod 2））-迈克尔·索莫斯2015年10月2日

卷积平方A003293号. -迈克尔·索莫斯2015年10月2日

G.f.=1+2*x+5*x^2+12*x^3+26*x^4+54*x^5+110*x^6+214*x^7+409*x^8+。。。

nmax=40；系数列表[系列[乘积[（1+x^k）/（1-x^k）^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，（1-x^k）^-（k%2+k），1+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2015年10月2日*/

囊性纤维变性。A000009号,A000219号,A003293号,A262667型.

非n,改变

瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月2日

经核准的

Product_{k>=1}Gamma（2k/（2k-1））/Gama（1+1/（2k））的十进制展开式。

1, 0, 6, 2, 1, 5, 0, 9, 0, 5, 5, 7, 1, 0, 5, 7, 2, 8, 0, 6, 9, 6, 8, 3, 7, 3, 6, 2, 9, 3, 8, 0, 9, 9, 9, 0, 4, 2, 5, 2, 0, 7, 9, 5, 5, 2, 0, 0, 4, 5, 6, 9, 3, 3, 3, 4, 0, 7, 9, 8, 7, 0, 0, 9, 0, 5, 3, 7, 9, 8, 9, 3, 7, 0, 7, 7, 1, 4, 0, 8, 2, 9, 1, 9, 3, 6, 1, 8, 2, 5, 3, 6, 8, 6, 6, 9, 3, 1, 7, 7, 6, 0, 2, 1, 9, 7

1,3

Henri Cohen、Fernando Rodriguez Villegas和Don Zagier，<a href=“https://dx.doi.org/101080/10586458.2000.10504632“>交替级数的收敛加速，实验数学9（1）（2000）3-12。

瓦茨拉夫·科特索维奇（Vaclav Kotesovec），<a href=“https://mathematica.stackexchange.com/questions/304035/why-do-i-get-difference-results-for-the-products-of-two-idential-expressions“>为什么两个相同表达式的乘积得到不同的结果？</a>，Mathematica Stack Exchange，2024年6月10日。

1.06215090557105728069683736293...

evalf（乘积（2*k*GAMMA（1/（2*k-1））/#瓦茨拉夫·科特索维奇2024年6月10日

（PARI）默认值（realprecision，200）；exp（总和（k=1，对数（2*k）+对数（伽马（1/（2*k-1）））-对数（2xk-1）-对数\\瓦茨拉夫·科特索维奇2024年6月10日

囊性纤维变性。A303670型.

欺骗,非n,改变

R.J.马塔尔2023年6月15日

更多术语来自瓦茨拉夫·科特索维奇2024年6月10日

经核准的

扩展，例如f.exp（x*（1+x^2）^2）。

1, 1, 1, 13, 49, 241, 2401, 13021, 128353, 1346689, 10615681, 140431501, 1544877841, 17576665393, 264566466529, 3226728670621, 48376006929601, 766753039205761, 11052669865900033, 197019825098096269, 3271213100827557361, 56597110823949654001

0,4

瓦茨拉夫·科特索维奇（Vaclav Kotesovec），<a href=“/A373578型/b373578_1.txt“>n表，n=0..500时为a（n）</a>

a（n）=n！*求和{k=0..floor（2*n/5）}二项式（2*n-4*k，k）/（n-2*k）！。

a（n）==1(12年款).

a（n）=a（n-1）+6*（n-1。

a（n）~5^（n/5-1/2）*exp（7*5^）（-11/5）*n^（1/5）+2*5（-3/5）*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年6月11日

nmax=20；系数列表[系列[E^（x*（1+x^2）^2），{x，0，nmax}]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年6月11日*）

（PARI）a（n）=n*和（k=0，2*n\5，二项式（2*n-4*k，k）/（n-2*k）！）；

囊性纤维变性。A118395号,A190863号,A373577型.

囊性纤维变性。A361278型.

非n,新的

Seiichi Manyama先生2024年6月10日

经核准的

OEIS服务器：安装的第一个b文件为b373578.txt。

分配给Seiichi Manyama

扩展例如f.exp（x/（1-x^2）^2）。

1, 1, 1, 13, 49, 481, 3841, 38221, 464353, 5368609, 82042561, 1151767981, 20242097041, 342921513793, 6705416722369, 133590317946541, 2880298682358721, 65597610230669761, 1556262483879791233, 39569880403136366029, 1030778206965403668721

0,4

a（n）=n！*求和{k=0..floor（n/2）}二项式（2*n-3*k-1，k）/（n-2*k）！。

a（n）==1模块12。

a（n）~2^（-1/6）*3^（-1-2）*exp（1/48+2^（-5/3）*n^（1/3）+3*2^（-4/3）*n（2/3）-n）*n ^（n-1/6）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年6月11日

（PARI）a（n）=n*和（k=0，n\2，二项式（2*n-3*k-1，k）/（n-2*k）！）；

囊性纤维变性。A012150型,A088009型,A373619.

囊性纤维变性。A082579号,A373578型.

分配

非n,新的

Seiichi Manyama先生，2024年6月11日

经核准的

分配给Seiichi Manyama

扩展例如f.exp（x/（1-x^2）^（3/2））。

1, 1, 1, 10, 37, 316, 2341, 21736, 237385, 2611792, 35911081, 476570656, 7654975021, 121021831360, 2196593121997, 40464132512896, 817485662059921, 17159299818547456, 382733978898335185, 8982388245979044352, 219867829220866999861, 5684505550914409716736

0,4

a（n）=n！*求和{k=0..floor（n/2）}二项式（3*n/2-2*k-1，k）/（n-2*k）！。

a（n）==1修改版9。

a（n）~3^（1/5）*5^（-1/2）*exp（3^（-1-5）*n^（1/2）/4+5*3^-瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年6月11日

（PARI）a（n）=n*和（k=0，n\2，二项式（3*n/2-2*k-1，k）/（n-2*k）！）；

囊性纤维变性。A012150型,A088009型,A373620型.

囊性纤维变性。A373577型.

分配

非n,新的

Seiichi Manyama先生，2024年6月11日

经核准的