T(n+2,k+2)=(1/k!)*和{i=0..k}(-1)^(k-i)*C(k,i)*(i+2)^n,n,k>=0。T(n,k)=搅拌2(n,k)-搅拌2(n-1,k),对于n,k>=2。
递归关系:对于n>2,T(n,k)=T(n-1,k-1)+k*T(n-1,k),对于所有n,T(2,2)=1,T(2,k)=0。特殊情况:T(n,2)=2^(n-2);T(n,3)=3^(n-2)-2^(n-2)。
作为度m的单项式函数之和:T(n+m,n)=sum_{2<=i_1<=…<=i_m<=n}(i_1*i_2*…*i_m)。例如,T(6,4)=Sum_{2<=i<=j<=4}(i*j)=2*2+2*3+2*4+3*3+3*4+4*4=55。
例如,列k+2(偏移量为2):1/k*经验(2*x)*(经验(x)-1)^k。
O.g.f.第k列:和{n=k.oo}T(n,k)*x^n=x^k/((1-2*x)*(1-3*x)*(1-k*x))。
例如:exp(2*t+x*(exp(t)-1))=和{n=0..oo}和{k=0..n}t(n+2,k+2)*x^k*t^n/n!=求和{n=0..oo}B_n(2;x)*t^n/n!=1+(2+x)*t/1!+(4+5*x+x^2)*t^2!+。。。,其中行多项式B_n(2;x):=和{k=0..n}T(n+2,k+2)*x^k表示2-Bell多项式。
Dobinski类型恒等式:行多项式B_n(2;x)=exp(-x)*Sum_{i=0..oo}(i+2)^n*x^i/i!。求和{k=0..n}k*T(n+2,k+2)*x^k=Sum_{i=0..oo}(i+2)^n*x^i/(1+x)^(i+1)。
T(n,k)是下降阶乘和移位单项式(x+2)^(n-2)之间的连接系数。例如,第4行有4+5*x+x*(x-1)=(x+2)^2,而第5行有8+19*x+9*x*(x-1)+x*。
数组的行和是2-Bell数B_n(2;1),等于A005493号(n-2)。交替的行和是互补的2-贝尔数B_n(2;-1),等于(-1)^n*A074051号(n-2)。
该数组是矩阵乘积P*S,其中P表示Pascal三角形,A007318号S表示第二类斯特林数的下三角数组,A008277号(应用[Neuwirth]的定理10)。
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