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| A002057号 |
| 加泰罗尼亚数的第四卷积：a（n）=4*二项式（2*n+3，n）/（n+4）。
（原名M3483 N1415）
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67
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1, 4, 14, 48, 165, 572, 2002, 7072, 25194, 90440, 326876, 1188640, 4345965, 15967980, 58929450, 218349120, 811985790, 3029594040, 11338026180, 42550029600, 160094486370, 603784920024, 2282138106804, 8643460269248, 32798844771700, 124680849918352
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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a（n）是通过以下迭代获得的（扁平）列表的和：将每个整数k替换为列表0，。。。，起始值0上的k+1。此列表的长度为加泰罗尼亚语（n）或A000108号. -沃特·梅森2001年11月11日
a（n）=加泰罗尼亚数字（n+3）-2*加泰罗尼亚语数字（n+2）。证明。根据其作为加泰罗尼亚语数卷积的定义，a（n）计数总大小（半长）=n的4个Dyck路径的列表。通过3个向上步（U）连接4个路径，并附加3个向下步（D）。这是一个可逆过程。因此，a（n）也是结束DDD的Dyck（n+3）路径数（D表示downstep）。让C（n）表示加泰罗尼亚数字（n）(A000108号). 因为C（n+3）是Dyck（n+3）-路径的总数，C（n+2）是结束UD的数字，所以我们有（*）C（n/3）-C。从（*）中减去（**）得出a（n）=C（n+3）-2C（n+2）-大卫·卡伦2006年11月21日
没有初始“1”之一的加泰罗尼亚语序列的卷积平方：（1+4x+14x^2+48x^3+…）=（1/x^2）*平方（x+2x^2+5x^3+14x^4+…）
a（n）是具有n+3个内部节点的二叉树的数目，其中根的两个子树都是非空的。囊性纤维变性。A068875号[Sedgewick和Flajolet]-杰弗里·克雷策，2013年1月5日
在偏移量为4的情况下，a（n）是{1,2，…，n}上123无效的置换数，即不包含三项单调子序列，其中第一个上移位于位置（4,5）；例如，在n＝7上有48个123避免排列，其中第一次上升是在点（4,5）处。请参阅Connolly链接。一般来说，第k次加泰罗尼亚卷积是123个无效排列的数量，其中第一次上升是在（k，k+1）。（对于n=k，如果排列是没有上升的递减排列，则第一个上升被定义为位置（k，k+1）。）-阿南特·戈德博尔2014年1月17日
偏移量为4时，a（n）是{1,2，…，n}上123无效的排列数，整数n位于第四位；请参阅Connolly链接-阿南特·戈德博尔2014年1月17日
a（n）是从（0,0）到（n+2，n+2。有关详细信息，请参阅Pan and Remmel链接中的第3.1节-冉·潘，2016年2月4日
a（n）是从（0,0）到（n+2，n+2）的东北晶格路径数，这些路径从对角线y=x向右反弹一次，但不会从y=x向左反弹。有关详细信息，请参阅Pan and Remmel链接中的第4.2节-冉·潘，2016年2月4日
a（n）是从（0,0）到（n+2，n+2），水平穿过对角线y=x一次，但不垂直穿过对角线上的东北晶格路径数。有关详细信息，请参阅Pan and Remmel链接中的第4.3节-冉·潘，2016年2月4日
显然，（非分割）形状的Young tableaux[n+1，1，1，n+1]，参见示例文件-乔格·阿恩特2023年12月30日
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参考文献
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Pierre de la Harpe，《几何群论专题》，芝加哥大学出版社，2000年，第11页，p_4（z）系数。
C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao，元素为欧拉的行列式，编制了伯努利和其他数字，J.印度数学。Soc.，第14卷（1922年），第55-62、122-138和143-146页。
Robert Sedgewick和Phillip Flajolet，《算法分析》，Addison Wesley，1996年，第225页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Andrei Asinowski和Cyril Banderier，从几何到生成函数：矩形和排列，arXiv:2401.05558[cs.DM]，2024。参见第2页。
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朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
Gi-Sang Cheon、Hana Kim和Louis W.Shapiro，有序树中的突变效应，arXiv预印arXiv:1410.1249[math.CO]，2014（见第4页）。
塞缪尔·康诺利（Samuel Connolly）、扎卡里·加博（Zachary Gabor）和阿南特·戈博尔（Anant Godbole），123-无效排列中第一次上升的位置，arXiv:1401.2691[math.CO]，2014年。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，J.化学。Inf.计算。科学。，第35卷，第4期（1995），第743-751页。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，J.化学。Inf.计算。科学。，第35卷，第4期（1995），第743-751页。[带注释的扫描副本]
哈罗德·爱德华兹，椭圆曲线的规范形式《A.M.S.公报》，第44卷，第3期（2007年），第393-422页。
C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao，元素为欧拉数、预备伯努利数和其他数的行列式，J.印度数学。Soc.，第14卷（1922年），第55-62页、第122-138页和第143-146页。[带注释的扫描副本]
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L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，第14卷，第1期（1976年），第83-90页。
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，第14卷，第1期（1976年），第83-90页。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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G.f.:c（x）^4，其中c（x）G.f.为A000108号（加泰罗尼亚语）。
的行总和A145596号.第4列，共列A033184号。通过专门化中给出的行多项式的恒等式145596年我们得到了结果a（n）=Sum{k=0..n}（-1）^k*二项式（n+1，k+1）*a（k）*4^（n-k）和a（n。从后一个恒等式中，我们可以导出同余a（2n+1）==0（mod 4）和a（2n）==Catalan（n+1）（mod四）。因此，对于某些m>=2，a（n）是奇的当且仅当n=（2^m-4）-彼得·巴拉2008年10月14日
设A为n阶Toeplitz矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i，j]=Catalan（j-i），（i<=j），A[i，j]=0，否则。然后，对于n>=3，a（n-3）=（-1）^（n-3”）*系数（charpoly（a，x），x^3）-米兰Janjic2010年7月8日
总面积：（1平方（1-4*x）+2*x*（-2+平方（1-4*x）+x））/（2*x^4）-哈维·P·戴尔2011年5月5日
递归D-有限：（n+4）a（n）=8*（2*n-1）*a（n-3）-20*（n+1）*a-林风2014年1月29日
递归D-有限：（n+4）*a（n）-2*（3*n+7）*a-R.J.马塔尔2014年6月3日
渐近：a（n）~4^（n+3）/sqrt（4*Pi*n^3）-林风2014年3月31日
a（n）=32*4^n*伽马（5/2+n）*（1+n）/（平方码（Pi）*伽玛（5+n））-彼得·卢施尼2015年12月14日
a（n）=C（n+1）-2*C（n），其中C是加泰罗尼亚数字A000108号.宇春记，2017年10月18日[注：抵销2]
例如：d/dx（2*exp（2*x）*BesselI（2.2*x）/x）-伊利亚·古特科夫斯基2017年11月1日
K（x）=（1+sqrt（xi（x）））*K（xi（x））。
2*K（1-x）=（1+sqrt（xi（x）））*K（1-xi（x））。
q（x）=sqrt（q（xi（16*x）/16））=q’。（结束）
求和{n>=0}1/a（n）=5/4+Pi/（18*sqrt（3））。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=183*log（phi）/（25*sqrt（5））-77/100，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
a（n）=Integral_{x=0..4}x^n*W（x）dx其中W（x）=-x^（3/2）*（1-x/2）*sqrt（4-x）/Pi，定义在开区间（0,4）上-卡罗尔·彭森2022年11月13日
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例子
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这个序列出现在广义加泰罗尼亚三角形的主对角线上。通过在第一列中放置序列[0,0,0,1,1,1，…]，然后使用规则T（n，k）=T（n、k-1）+T（n-1，k）填充数组中的其余条目，构造一个下三角数组（T（n（k）），n，k>=0。结果数组开始
\n\k |0 1 2 3 4 5 6 7。。。
---+-------------------------------
0 | 0
1 | 0 0
2 | 0 0 0
3 | 1 1 1 1
4 | 1 2 3 4 4
5 | 1 3 6 10 14 14
6 | 1 4 10 20 34 48 48
7 | 1 5 15 35 69 117 165 165
。。。
（参见Tedford 2011；这本质上是Lee和Oh符号中的数组C_4（n，k））。与进行比较A279004号.（结束）
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MAPLE公司
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a:=n->32*4^n*γ（5/2+n）*（1+n）/（平方（Pi）*γ（5+n））：
seq（a（n），n=0..23）#彼得·卢施尼2015年12月14日
A002057列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1]；P:=[1,1,1]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（P），P[-1]]）；
A:=[op（A），P[-1]]od；A端：A002057列表（27）#彼得·卢施尼2022年3月26日
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数学
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表[Plus@@Flatten[Nest[#/.a_Integer:>Range[0，a+1]&，{0}，n]]，{n，0，10}]
表[4二项式[2n+3，n]/（n+4），{n，0，30}]（*或*）系数表[级数[（1-Sqrt[1-4x]+2x（-2+Sqrt[1-4x]+x））/（2x^4），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年5月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n+=2；2*二项式（2*n，n-2）/n）}/*迈克尔·索莫斯，2005年7月31日*/
（PARI）x='x+O（'x^100）；Vec（（1-（1-4*x）^（1/2）+2*x*（-2+（1-4**x）^（1/2）+x））/（2*x^4））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月14日
（岩浆）[4*二项式（2*n+3，n）/（n+4）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2016年2月4日*）
（GAP）列表（[0..25]，n->4*二项式（2*n+3，n）/（n+4））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年3月5日
（SageMath）[2*（n+1）*catalan_number（n+2）/（n+4）for n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔，2022年5月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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