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| A001599号 |
| 调和数或Ore数：数字k，使得k的除数的调和平均数是一个整数。
（原名M4185 N1743）
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114
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1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480, 950976, 1089270, 1421280, 1539720
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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注意，k=k*tau（k）/sigma（k）除数的调和平均值。
等价地，k的除数的平均值除以k。
矿石显示，每一个完美的数字(A000396号)是谐波。反之则不然：140是和谐的，但并不完美。Ore推测1是唯一的奇调和数。
Kanold（1957）证明了调和数的渐近密度为0-阿米拉姆·埃尔达尔，2020年6月1日
Zachariou和Zachariau（1972）将这些数字称为“矿石编号”，以挪威数学家伊斯坦·奥尔（1899-1968）的名字命名，伊斯坦·奥雷是第一个研究这些数字的人。Ore（1948）和Garcia（1954）将其称为“除数的积分调和平均数”。Pomerance（1973）使用了术语“谐波数”。它们有时被称为“调和因子数”或“Ore调和数”，以区别于调和级数的部分和-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
猜想：所有>1的项都有一个梅森素数作为因子-伊凡·鲍里修克2024年1月28日
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参考文献
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G.L.Cohen和Deng Moujie，关于Ore调和数的推广，Nieuw Arch。威斯克。(4), 16 (1998) 161-172.
Richard K.Guy，《数论中未解决的问题》，第3版，施普林格出版社，2004年，B2节，第74-75页。
W.H.Mills，《关于矿石的猜想》，Proc。《数论会议》，Boulder CO，1972年，第142-146页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马可·阿布拉特（Marco Abrate）、斯特凡诺·巴贝罗（Stefano Barbero）、翁贝托·塞鲁蒂（Umberto Cerruti）和纳迪尔·穆鲁（Nadir Murru），双调和平均，arXiv:1601.03081[math.NT]，2016年。
阿比奥顿·阿德耶米，关于@-数的研究，arXiv:1906.05798[math.NT]，2019年。
Graeme L.Cohen和Ronald M.Sorli，谐波种子，斐波纳契夸脱。，第36卷，第5期（1998年），第386-390页；errata，39（2001）4。
格雷姆·科恩（Graeme L.Cohen）和罗纳德·索利（Ronald M.Sorli），奇谐波数超过10^24，数学。公司。，第79卷，第272号（2010年），第2451-2460页。
玛丽亚诺·加西亚，关于积分调和平均数阿默尔。数学。《月刊》，第61卷，第2期（1954年），第89-96页。
Oystein矿石，关于数字除数的平均值阿默尔。数学。《月刊》，第55卷，第10期（1948年），第615-619页。
卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance），《矿石问题：调和数》（On a Problem of Ore：Harmonic Numbers），未出版手稿，1973年；文摘*709-A5，美国数学学会通告，第20卷，1973年，A-648页，整个体积.
Andreas和Eleni Zachariou，完全数、半完全数和矿石数，公牛。社会数学。Grèce（新编），第13卷，第13A号（1972年），第12-22页；备用链路.
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配方奶粉
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例子
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k=140有sigma0（140）=12个除数，sigma_1（140）=336。平均除数是336/12=28，这是一个整数，然后除以k:k=5*28，因此序列中有140。
k=496具有sigma 0（496）=10，sigma 1（49）=992：平均除数99.2不是整数，但k/（sigma 1/sigma _0）=496/99.2=5是整数，因此496在序列中。
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MAPLE公司
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q： =（p，k）->p^k*（p-1）*（k+1）/（p^（k+1
过滤器：=proc（n）局部t；mul（q（op（t）），t=ifactors（n）[2]）：：integer结束进程：
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数学
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Do[If[IntegerQ[n*DivisorSigma[0，n]/DivisorSigma[1，n]，打印[n]]，{n，1，1550000}]
选择[Range[1600000]，IntegerQ[HarmonicMean[Divisors[#]]&](*哈维·P·戴尔，2012年10月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n=a（n-1））；直到（0==（σ（n，0）*n）%σ（n,1），n++）；n）/*迈克尔·索莫斯2004年2月6日*/
（哈斯克尔）
导入数据比率（分母）
导入数据。列表（genericLength）
a001599 n=a001599_列表！！（n-1）
a001599_list=过滤器（==1）。分母。hm）[1..]其中
hm x=genericLength ds*recip（总和$map（recip.fromIntegral）ds）
其中ds=a027750_低x
（GAP）级联（[1]，过滤（[2,4..2000000]，n->IsInt（n*Tau（n）/Sigma（n）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月26日
（Python）
从symy导入divisorsigma到sigma
定义ok（n）：返回（n*σ（n，0））%sigma（n，1）==0
打印（[n代表范围（1，10**4）中的n，如果正常（n）]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月6日
（Python）
从itertools导入计数，islice
从functools导入reduce
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A001599号_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue
对于计数中的n（max（startvalue，1））：
f=因子int（n）
s=prod（（p**（e+1）-1）//（p-1）用于f中的p，e（））
如果不减少（λx，y:x*y%s，（e+1代表f.values（）中的e），1）*n%s：
产量n
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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经核准的
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