搜索: a070947-编号:a070949
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A126074号
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| 行读取的三角形:T(n,k)是循环长度k最长的n个元素的排列数。 |
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+10 23
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 9, 8, 6, 1, 25, 40, 30, 24, 1, 75, 200, 180, 144, 120, 1, 231, 980, 1260, 1008, 840, 720, 1, 763, 5152, 8820, 8064, 6720, 5760, 5040, 1, 2619, 28448, 61236, 72576, 60480, 51840, 45360, 40320, 1, 9495, 162080, 461160, 653184, 604800, 518400, 453600, 403200, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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第n行的和是n个元素的所有排列数:和{k=1..n,T(n,k)}=n=A000142号(n) 如果k≤0或k>n,我们可以扩展T(n,k)=0。
prod_{j=0..n-2}(k-n+j+2)与n!在k=-1时,用最大部分相等的部分求和(见卢什尼链接)。
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链接
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配方奶粉
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T(n,1)=1 T(n、2)=n!*求和{k=1..[n/2],(1/(k!*(2!)^k*(n-2k)!)}T(n,k)=n/k*(1-1/(n-k)--1/(k+1)-1/2k),如果n/3<k<=n/2 T(n,k)=n/k、 如果n/2<k<=n T(n,n)=(n-1)=A000142号(n-1)
第k列的E.g.f.:exp(-x^k*LerchPhi(x,1,k))*(exp(x^k/k)-1)/(1-x)-弗拉德塔·乔沃维奇2007年3月3日
T(n,0)=[n=0](艾弗森记数法),对于n>0和1<=m<=n
T(n,m)=和{a}m(a)|f^a|其中a=a_1,。。,a_n这样
1*a_1+2*a_2++n*a_n=n和最大值{a_i}=m,m(a)=n/(a_1!*…*a_n!),
f^a=(f_1/1!)^a_1**(f_n/n!)^a_n和f_n=product_{j=0..n-2}(j-n+1)。(结束)
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例子
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三角形T(n,k)开始于:
1;
1, 1;
1, 3, 2;
1, 9, 8, 6;
1, 25, 40, 30, 24;
1, 75, 200, 180, 144, 120;
1, 231, 980, 1260, 1008, 840, 720;
1, 763, 5152, 8820, 8064, 6720, 5760, 5040;
...
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MAPLE公司
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A: =proc(n,k)选项记忆`如果`(n<0,0,`如果`(n=0,1,
加(mul(n-i,i=1..j-1)*A(n-j,k),j=1..k))
结束时间:
T: =(n,k)->A(n,k)-A(n,k-1):
seq(seq(T(n,k),k=1..n),n=1..10)#阿洛伊斯·海因茨,2013年2月11日
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数学
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表[系数列表[系列[(Exp[x^m/m]-1)Exp[Sum[x^k/k,{k,1,m-1}]],{x,0,8}],x]*表[n!,{n,0,8}],{m,1,8}]//Transpose//Grid[From杰弗里·克雷策2009年5月23日]
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
f=阶乘(n)
P=分区(n,max_part=k,inner=[k])
返回和(f//p.aut(),用于p中的p)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 6, 18, 66, 276, 1212, 5916, 31068, 171576, 1014696, 6319512, 41143896, 281590128, 2007755856, 14871825936, 114577550352, 913508184096, 7526682826848, 64068860545056, 561735627038496, 5068388485760832, 47026385852423616, 447837548306401728
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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与序列相关A000085号因为可以显示序列A000085号表示只有长度为2或更少的圈的排列数(以n个字母表示)。让b(i)表示序列的第i项A000085号,我们得到了a(n)=和(二项式(n,3*j)*(3*j)*(1/3)^j*b(n-3*j)/j!,j=0..层(n/3)
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参考文献
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丹尼斯·沃尔什(Dennis P.Walsh),只有小循环的排列数,预印本。
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链接
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P.L.Krapivsky,J.M.Luck,影院模型中的覆盖范围波动,arXiv:1902.04365[第二次统计机械],2019。
R.Petuchovas,置换循环结构的渐近分析,arXiv:1611.02934[math.CO],第6页,2016年。
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配方奶粉
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a(n)=和(二项式((n,3*j)*(3*j)!*(1/3)^j/j!*求和(二项式(n-3*j,2*k)*(2*k)!*(1/2)^k/k!,k=0..层((n-3*j)/2),j=0.层(n/3))
例如:exp(x+(x^2)/2+(x*3)/3)。在序列定义中,将3替换为“长度k或更小”,E.g.f.为exp(x+(x^2)/2+…+(x ^k)/k)沙伦·塞拉(sharonsela(AT)hotmail.com),2002年5月16日
a(n)=a(n-1)+(n-1。一般来说,对于只有长度k或更小的圈的n-置换,递归是:a(n)=Sum_i=0…k-1;P(n-1,i)*a(n-i-1),其中P(x,i)是下降阶乘-杰弗里·克雷策2009年5月23日
a(n)~n^(2*n/3)*exp(-2*n/3-5/18+5/6*n^-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月15日
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例子
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例如,a(4)=18,因为有6个循环长度为4的排列被排除在4个字母的24个排列之外,即(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(3 2 4)、、(1 3 4 2)、(4 2 3)和(1 4 3 2)。
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MAPLE公司
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a: =proc(n)选项记忆`如果`(n<3,n!,
a(n-1)+(n-1
结束时间:
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数学
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nn=20;范围[0,nn]!系数列表[级数[Exp[x+x^2/2+x^3/3],{x,0,nn}],x](*杰弗里·克雷策2012年10月28日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 6, 24, 96, 456, 2472, 14736, 92304, 632736, 4661856, 36364032, 297668736, 2583425664, 23550535296, 224086162176, 2221083839232, 22976670905856, 246829966447104, 2745834333566976, 31605782067081216, 376290722808502272
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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参考文献
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Dennis P.Walsh,仅有小循环的置换数,预印本[来自杰弗里·克雷策2009年5月24日]
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链接
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P.L.Krapivsky,J.M.Luck,影院模型中的覆盖范围波动,arXiv:1902.04365[第二阶段统计数据],2019年。
R.Petuchovas,置换循环结构的渐近分析,arXiv:1611.02934[math.CO],第6页,2016年。
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配方奶粉
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例如:exp(x+1/2*x^2+1/3*x^3+1/4*x^4)。
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MAPLE公司
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使用(combstruct):a:=proc(m)[ZL,{ZL=Set(Cycle(Z,m>=card))},标记];结束:A:=A(4):seq(计数(A,大小=n),n=0..22)#零入侵拉霍斯2008年6月11日
G:=exp(x+(1/2)*x^2+(1/3)*x|3+(1/4)*x*4):seq(阶乘(n)*coeftayl(G,x=0,n),n=0。。22); #Emeric Deutsch公司2009年6月21日
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数学
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表[Sum[二项式[n,4i]*(4i)/(i!*4^i)*求和[二项式[n-4i,3j]*(3j)/(j!*3^j)*求和[二项式[n-4i-3j,2k]*(2k)/(k!*2^k),{k,0,n}],{j,0,n}](*杰弗里·克雷策2009年5月24日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A330858型
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| 按行读取的三角形:T(n,k)是S_n中所有循环长度小于等于k的排列数。 |
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+10 2
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1, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 10, 18, 24, 1, 26, 66, 96, 120, 1, 76, 276, 456, 600, 720, 1, 232, 1212, 2472, 3480, 4320, 5040, 1, 764, 5916, 14736, 22800, 29520, 35280, 40320, 1, 2620, 31068, 92304, 164880, 225360, 277200, 322560, 362880, 1, 9496, 171576, 632736
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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链接
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配方奶粉
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T(n,k)=n!如果n<=k,否则T(n,k)=n*T(n-1,k)-A068424号(n-1,k)*T(n-k-1,k。
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例子
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对于n=3和k=2,所有循环长度小于或等于2的S_3中的T(3,2)=4置换为:
(1) (2)第(3)、(12)(3),(13)(2)和(1)(23)条。
表格开始:
否|1 2 3 4 5 6 7 8 9
---+------------------------------------------------------
1| 1
2| 1 2
3| 1 4 6
4| 1 10 18 24
5| 1 26 66 96 120
6| 1 76 276 456 600 720
7| 1 232 1212 2472 3480 4320 5040
8 | 1 764 5916 14736 22800 29520 35280 40320
9| 1 2620 31068 92304 164880 225360 277200 322560 362880
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数学
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T[n_,k_]:=T[n,k]=如果[n<=k,n!,n*T[n-1,k]-阶乘[n-1、k]*T[n-k-1,k];
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黄体脂酮素
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(PARI)T4(n,k)=如果(k<1 | | k>n,0,n!/(n-k)!)\\A068424号
T(n,k)=如果;
tabl(nn)=表示(n=1,nn,表示(k=1,n,print1(T(n,k),“,”));打印)\\米歇尔·马库斯,2020年5月9日
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交叉参考
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作者
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