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Dedekind-Eta函数


德德金德雷亚尔
分钟 马克斯
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Dedekind eta函数是在上半平面 H={tau:I[tau]>0}通过

eta(τ)=q^_^(1/24)(q^_)_infty
(1)
=q^_^(1/24)产品_(k=1)^(数量)(1-q^_^k)
(2)
=q^_^(1/24)和(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^_qu(n(3n-1)/2)
(3)
=sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^nq^_^((6n-1)^2/24)
(4)
=q^^(1/24){1+sum_(n=1)
(5)
=q^_^(1/24)(1-q^_-q^_2+q^__5+q^_27-q^__(12)-…)
(6)

(组织环境信息系统A010815号),其中q^_=e^(2piitau)是的平方诺姆 q个陶半周期比率(q) _(_F)是一个q个-系列(韦伯1902年,第85和112页;Atkin和Morain,1993年;伯恩特1994年,第139页)。

Dedekind eta函数在沃尔夫拉姆语言作为德德金德等[].

重写定义q个^_明确表示为半衰期比率 陶提供产品

 eta(tau)=e^(piitau/12)产物_(k=1)^infty(1-e^(2piiktau))。
(7)
Dedekind EtaReImAbs公司
分钟 马克斯
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如上图所示复平面.

eta(τ)是一个模块化形式Dedekind于年首次介绍1877年,与模判别式Weierstrass椭圆函数通过

 Delta(tau)=(2pi)^(12)[埃塔(τ)]^(24)
(8)

(《使徒行传》1997年,第47页)。

导数的紧致闭形式由下式给出

 (deta(tau))/(dtau)=i/pieta(tauzeta)(1;g2,g3),
(9)

哪里zeta(z;g2,g3)Weierstrass zeta函数第二代g_3是对应于半周期的不变量(1,τ).的导数eta(τ)满足

 -4piid/(dtau)ln[eta(tau)]=G_2(tau,
(10)

哪里G_2(τ)是一个艾森斯坦级数、和

 d/(dtau)ln[eta(-1/tau)]=d/(dtau)lin[eta。
(11)

特殊值由以下公式给出

eta(i)=(伽马(1/4))/(2pi^(3/4))
(12)
=0.7682254...
(13)

(组织环境信息系统A091343号),其中伽马(z)伽马函数.另一个特殊情况是

P(P)=(x^3-x-1)_1
(14)
=(e^(ipi/24)eta(tau_0))/(sqrt(2)eta
(15)
=1.3247179572...
(16)

哪里P(P)塑性常数(P(x))_n表示多项式的、和tau0=(1+isqrt(23))/2.

出租齐塔_(24)=e^(2pii/24)=e ^(pii/12)成为统一的根源eta(τ)满足

eta(τ+1)=齐塔(24)eta(τ)
(17)
eta(τ+n)=齐塔人(24)^内塔人(陶)
(18)
eta(-1/tau)=平方英尺(-itau)eta(tau)
(19)

哪里n个是一个整数(韦伯1902年,第113页;阿特金和莫林1993年;阿波斯托1997年,第47页)。Dedekind eta函数与雅各比θ函数 θ_2通过

 eta(q^_)=(θ_2(1/6pi,q^_^(1/6)))/(sqrt(3))
(20)

(韦伯1902年,第3卷,第112页)和

 θ3(0,e^(piitau))=(eta^2(1/2(tau+1)))/(eta(tau+1))
(21)

(《使徒行传》1997年,第91页)。

麦克唐纳(1972)讲述了大多数扩张表单的 (q,q)_自由^c仿射系统麦克唐纳治疗中不包括的例外包括c=2由赫克和罗杰斯发现,c=4Ramanujan发现的c=26由Atkin(Leininger和Milne,1999)发现。使用Dedekindeta函数雅可比三乘积身份

 (q,q)_infty^3=sum_(n=0)^infty(-1)^n(2n+1)q^(n(n+1)/2)
(22)

可以写入

 eta^3(τ)=sum_(n=0)^infty(-1)^n(2n+1)q^_^((2n+1)^2/8)
(23)

(雅各比1829年,哈代和赖特1979年,赫施霍恩1999年,莱宁格和米尔恩1999年)。

Dedekind的函数方程表明,如果伽马射线中的[a b;c d],其中伽马射线模群伽马射线c> 0个H中的τ(其中H(H)上半平面),然后

 eta((atau+b)/(ctau+d))=ε(a,b,c,d)[sqrt(-i(ctau+d))]eta(tau),
(24)

哪里

 ε(a,b,c,d)=exp[pii((a+d)/(12c)+s(-d,c))],
(25)

 s(h,k)=总和(r=1)^(k-1)r/k((hr)/k-(hr)/k|-1/2)
(26)

是一个Dedekind总和(《使徒行传》1997年,第52-57页)|_x个_|这个楼层功能.


另请参见

Dirichlet Eta函数Dedekind总和椭圆形不变式椭圆Lambda函数无限乘积雅各比Theta函数克莱因绝对不变量q个-产品q个-系列Rogers-Ramanujan连分式Tau函数韦伯功能

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Dedekind Eta函数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Dedekind Eta函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html

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