Dedekind eta函数是在上半平面 通过
(组织环境信息系统A010815号),其中是的平方诺姆 ,是半周期比率,和是一个q个-系列(韦伯1902年,第85和112页;Atkin和Morain,1993年;伯恩特1994年,第139页)。
Dedekind eta函数在沃尔夫拉姆语言作为德德金德等[陶].
重写定义明确表示为半衰期比率 提供产品
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(7)
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如上图所示复平面.
是一个模块化形式Dedekind于年首次介绍1877年,与模判别式的Weierstrass椭圆函数通过
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(8)
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(《使徒行传》1997年,第47页)。
导数的紧致闭形式由下式给出
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哪里是Weierstrass zeta函数和和是对应于半周期的不变量.的导数满足
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(10)
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哪里是一个艾森斯坦级数、和
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(11)
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特殊值由以下公式给出
(组织环境信息系统A091343号),其中是伽马函数.另一个特殊情况是
哪里是塑性常数,表示多项式的根、和.
出租成为统一的根源,满足
哪里是一个整数(韦伯1902年,第113页;阿特金和莫林1993年;阿波斯托1997年,第47页)。Dedekind eta函数与雅各比θ函数 通过
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(20)
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(韦伯1902年,第3卷,第112页)和
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(21)
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(《使徒行传》1997年,第91页)。
麦克唐纳(1972)讲述了大多数扩张表单的 仿射根系统麦克唐纳治疗中不包括的例外包括由赫克和罗杰斯发现,Ramanujan发现的由Atkin(Leininger和Milne,1999)发现。使用Dedekindeta函数雅可比三乘积身份
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(22)
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可以写入
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(雅各比1829年,哈代和赖特1979年,赫施霍恩1999年,莱宁格和米尔恩1999年)。
Dedekind的函数方程表明,如果,其中是模群伽马射线,,和(其中是上半平面),然后
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(24)
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哪里
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和
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(26)
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是一个Dedekind总和(《使徒行传》1997年,第52-57页)这个楼层功能.
另请参见
Dirichlet Eta函数,Dedekind总和,椭圆形不变式,椭圆Lambda函数,无限乘积,雅各比Theta函数,克莱因绝对不变量,q个-产品,q个-系列,Rogers-Ramanujan连分式,Tau函数,韦伯功能
相关Wolfram站点
http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/DedekindEta/
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阿波斯托·T·M·。《Dedekind Eta函数》第3章模块化数论中的函数和狄里克莱级数,第二版。纽约:Springer-Verlag,第47-73页,1997年。A.O.阿特金。L。和F.Morain“椭圆曲线和素数证明。"数学。计算。 61, 29-68, 1993.伯恩特,公元前。拉马努扬的笔记本,第四部分。纽约:Springer-Verlag,1994年。巴加瓦,S.和Somashekara,D.“可从Ramanujan推导的一些Eta函数恒等式总结。"数学杂志。分析。申请。 176, 554-560, 1993.哈代,G.H.公司。和Wright,E.M。安数字理论导论,第5版。英国牛津:克拉伦登出版社,1979年。医学博士Hirschorn。“拉马努扬的另一个简短证明Mod 5分区同余等。"阿默尔。数学。每月 106,580-583, 1999.雅各比,C.G。J。新神学基础椭圆囊功能。哥尼斯堡,德国:里贾蒙蒂,萨姆提布斯兄弟会Borntraeger,第90页,1829年。雷宁格,V.E。和Milne,S.C。“扩展和中的基本超几何级数."离散。数学。 204,第281-317页,1999年a。莱宁格,V.E.公司。和Milne,S.C。“一些新的无限族-功能标识。"方法应用。分析。 6,225-2481999年b。Köhler,G.“一些Eta恒等式产生于Theta系列。"数学。扫描。 66, 147-154, 1990.麦克唐纳,I.G.公司。“仿射根系统和Dedekind’s-功能。"发明。数学。 15, 91-143,1972Ramanujan,S.“关于某些算术函数”事务处理。剑桥菲洛斯。Soc公司。 22, 159-184, 1916.西格尔,C.L。“一个简单的证明."马塞马提卡 1,4, 1954.新泽西州斯隆。答:。序列A010815号,A091343号、和A116397号在“整数序列在线百科全书”中韦伯,小时。勒布赫代数,卷。一、三、。1902.重印为勒尔布赫der代数,Vols。I-III,第三版。纽约:切尔西,1979年。引用的关于Wolfram | Alpha
Dedekind Eta函数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Dedekind Eta函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
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