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生成函数

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生成函数f（x）是一个形式幂级数

f（x）=总和_（n=0）^inftya_nx^n
(1)

谁的系数给予序列 {a_0，a_1，…}.

这个Wolfram语言命令生成函数[快递,n个,x个]给出了变量中的生成函数x个对于其序列n个第个学期是快递.给定一系列术语，查找生成函数[{一1,一2, ...},x个]试图在中找到一个简单的生成函数x个谁的n个第个系数为a_n（名词）.

给定一个生成函数n个相应系列中的第个项可以使用系列系数[快递,{x个,x0个,n个}].生成函数f（x）有时会说“列举"a_n（名词）（哈代1999年，第85页）。

下表给出了给出非负整数前几个幂的生成函数。

n ^p（平方英寸）f（x）系列
1x/（1-x）x+x^2+x^3+。。。
n个x/（（1-x）^2）x+2x^2+3x^3+4x^4+。。。
n ^2个（x（x+1））/（1-x）^3）x+4x^2+9x^3+16x^4+。。。
n ^3个（x（x^2+4x+1））/（（1-x）^4）x+8x^2+27x^3+。。。
n ^4个（x（x+1）（x^2+10x+1））/（（1-x）^5）x+16x^2+81x^3+。。。

在数论中，对于特殊函数有许多美丽的生成函数。一些特别好的例子是

f（x）=1/（（x）_infty）
(2)
=sum_（n=0）^（infty）P（n）x^n
(3)
=1+x+2x^2+3x^3+。。。
(4)

对于配分函数P，其中（q） _（_F）是一个q个-刺猬符号、和

f（x）=x/（1-x-x^2）
(5)
=sum_（n=0）^（infty）F_nx^n
(6)
=x+x^2+2x^3+3x^4+。。。
(7)

对于斐波那契数 表格（_n）.

生成函数在组合枚举问题中非常有用。例如子集和问题，询问号码的方式c（米，秒）选择米由于M（M）给定整数，使其和等于秒，可以使用生成函数求解。

的生成函数G（吨）数字序列的f（n）由Z变换属于f（n）在变量中1吨（Germundsson 2000）。

另请参见

累积生成函数,枚举,指数生成函数,形式幂级数,力矩生成函数,重复关系,子集和问题,Z变换 探索这个数学世界课堂上的主题

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Bender，E.A.和Goldman，J.R.《生成函数的枚举用法》印第安纳大学数学。J。 20, 753-765,1970/1971.Bergeron，F。；标签，G。；和Leroux，P.“Théoriedes espèces er Combinatoire des Structures树木中心。“出版物杜拉西姆。加拿大蒙特利尔魁北克大学，1994Cameron，P.J.“一些整数序列”光盘。数学。 75, 89-102, 1989.Doubilet，P。；罗塔岛，G.-C。；和斯坦利，R.P.《生成函数的思想》第3章有限算子微积分（编辑G.-C.Rota）。纽约：学术出版社，第83-134页，1975Germundsson，R.“数学软件版本4.”数学软件J。 7, 497-524, 2000.格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik。混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994Harary，F.和Palmer，E.M。图形化枚举。纽约：学术出版社，1973年。G.H.哈代。拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，第85页，1999年。南卡罗来纳州兰多。讲座关于生成函数。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，2003年。勒鲁，P.和Miloudi，B.《水獭的道德规范》科学年鉴。数学。魁北克省 16, 53-80, 1992.里尔丹，J。组合身份。纽约：威利出版社，1979年。J·里奥丹。安组合分析导论。纽约：威利出版社，1980年。罗森，K.H.公司。离散的数学及其应用，第4版。纽约：McGraw-Hill，1998年。斯隆，N.J.A.和Plouffe，S.“递归和生成函数”§2.4英寸这个整数序列百科全书。加州圣地亚哥：学术出版社，第9-10页，1995斯坦利，R.P。枚举组合数学，第1卷。英国剑桥：剑桥大学出版社，第63页，1996年。Viennot，G.“Une Théorie Combinatoire des”Polynómes Orthogonaux Généraux。“LACIM出版物。加拿大蒙特利尔魁北克大学，1983年。威尔夫，H.S.公司。生成功能学，第2版。纽约：学术出版社，1994年。

参考Wolfram | Alpha

生成函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“生成函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GeneratingFunction.html

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