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五角数定理

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产品_（k=1）^（infty）（1-x^k）=sum_（k=-infty）^（infty）（-1）^kx^（k（3k+1）/2）
（1）
=1+sum_（k=1）^（infty）（-1）^k[x^（k（3k-1）/2）+x^
(2)
=（x） _（_F）
(3)
=1-x-x^2+x^5+x^7-x^（12）-x^。。。
（4）

（组织环境信息系统A010815号)，其中0、1、2、5、7、12、15、22、26。。。（组织环境信息系统A001318号)是广义的五角数和（x） _（_F）是一个q个-刺猬符号.

1775年8月14日，欧拉（1783）在提交给圣彼得堡学院的一篇论文中证明了这一身份。

相关等式为

产品_（k=1）^（infty）（1-x^kt）=sum_（n=0）^（infty）（（-1）^nx^（n（n+1）/2））/（product_（k=1）^（n）（1-x^k））t^n
(5)
=（（t；x）_infty）/（1-t）
(6)
产品_（k=1）^（infty）（1-x^kt）^（-1）=sum_（n=0）^（infty）（x^n）/（product_（k=1）^（n）（1-x^k））t^n
(7)
=（1-t）/（（t；x）_infty）。
(8)

另请参阅

配分函数P,配分函数Q,五角形编号,q个-Pochhammer符号,Ramanujan Theta函数,扎吉尔的身份

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参考文献

新泽西州贝利。广义超几何级数。英国剑桥：剑桥大学出版社，第72页，1935Bailey，D.H。；Borwein，J.M。；新泽西州卡尔金。；吉尔根森，右。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，第221-222页，2007年。博文，J·M·。和Borwein，P.B。圆周率&AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，第64页，1987年。Euler，L.“进化产品无穷大（1-x）（1-xx）（1-x^3）（1-x^4）（1-x ^5）等。"石油工业科学院学报1780第47-55页，1783年。Opera Omnia，Prima系列，第3卷。第472-479页。译为Bell，J.“无限乘积的扩展（1-x）（1-xx）（1-x^3）（1-x^4）（1-x ^5）（1-x ^6）等。"2004年12月4日。http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.哈代，G.H.公司。拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，第83-85页，1999年。新泽西州斯隆。答：。序列A001318号/M1336和A010815号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

五角数定理

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“五角数定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PentagonalNumberTheorem.html

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