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楼层功能


楼层功能

楼层功能|_x个_|,也称为最大整函数或整数值(Spanier和Oldham 1987),给出了最大的整数小于或等于x个.楼层功能的名称和符号由K.E.创造。艾弗森(格雷厄姆等。1994).

不幸的是,在许多早期和当前的作品中(例如,Honsberger 1976,第30页;Steinhaus 1999,第300页;Shanks 1993;Ribenboim 1996;Hilbert和Cohn-Vossen1999年,第38页;哈代1999年,第18页),符号【x】使用而不是|_x个_|(格雷厄姆等。1994年,第67页)。事实上,这个这种符号可以追溯到高斯在1808年对二次互易的第三次证明。然而,由于地板功能和天花板功能符号|_x个_|【x】,而且因为【x】当解释为艾弗森支架,使用【x】表示楼层功能应弃用。在本作品中,符号【x】用于表示最近的整数函数因为它自然介于|_x个_|【x】符号。

地板ReImAbs
分钟 马克斯
重新
伊姆河 由webMathematica提供支持

楼层功能在Wolfram语言作为地板[z(z)],其中,它被推广到复值z(z)如上所示。

由于分数部分/值和整数部分/值的用法可能会混淆,下表给出了所用名称和符号的摘要。这里,S&O指的是Spanier和Oldham(1987)。

符号名称服务与运营Graham等人。沃尔夫拉姆语言
【x】天花板功能--上限,最小整数天花板【x】
模数(m,n)同余----国防部[米,n)
|_x个_|地板功能内部(x)楼层,最大整数,整数部分地板【x】
x-|_x_|分数压裂(x)分数的部分或{x}锯齿波【x】
sgn(x)(|x|-|_|x|_|)分数的部分Fp(x)没有名字分数部分【x】
sgn(x)|_|x|_|整数部分Ip(x)没有名字整数部分【x】
九(x)最近的整数函数----圆形【x】
米\n----[米,n)

楼层函数满足恒等式

 |_x+n|=|x_|+n
(1)

对于所有整数n个.

分子中具有楼层函数的许多几何类序列可以用解析方法来实现。例如,形式的总和

 sum_(n=1)^infty(|_nx_|)/(k^n)
(2)

可以进行理性分析x个。对于x=1/m单位分数,

 sum_(n=1)^inftyk^(-n)|_n/m|=k/((k-1)(k^m-1))。
(3)

此形式的总和导致魔鬼楼梯-像行为。

对于非理性alpha>0,连分式收敛p_n/q_n,以及epsilon_n=q_nalpha-p_n,

 |_nalpha+epsilon_N_|={|_nalpha_|表示N<q_(N+1);|_nalfa_|+(-1)^N表示N=q_(N+1)
(4)

(博尔文等。2004年,第12页)。这导致了一个相当惊人的结果,即与阿尔法连分数属于阿尔法通过

 sum_(n=1)^infty|_nalpha_|z^n=(p_0z)/((1-z)^2)+sum_
(5)

(马勒1929;博尔文等。2004年,第12页)。


另请参见

天花板功能,魔鬼楼梯,分数部分,整数零件,艾弗森支架,国防部,最近整数函数,电源地板,,班次转型,楼梯功能

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/Floor(整数函数/楼层)/

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参考Wolfram | Alpha

楼层功能

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“楼层功能”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FloorFunction.html

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