配分函数P同余

奇数值的分数配分函数P(n个)约为50%，独立于，而奇数值为发生频率越来越低变大。科尔伯格（1959）证明了存在无穷大的许多奇偶值.

莱布尼茨指出是的素数、3、4、5、6，但不是7。事实上为此是首要的是2、3、4、5、，6, 13, 36, 77, 132, 157, 168, 186, ... （组织环境信息系统A046063型),对应于2、3、5、7、11、101、17977、10619863。。。（组织环境信息系统A049575号).不能写成产品属于是13、17、19、23、26、29、31、34、37、38、39。。。（组织环境信息系统A046064号),对应于非同构数阿贝尔群这对于任何组订单都是不可能的。

拉马努扬猜测了一些令人惊讶和意外的事情同余涉及特别是，他证明了

使用拉马努扬的身份（Darling 1919；Hardy and Wright 1979；Drost 1997；Hardy 1999，第87-88页；Hirschorn 1999）。Ramanujan（1919）也表明

克雷契玛（1933）证明了

Watson（1938）随后证明了一般一致性

（戈登和休斯，1981年；哈代，1999年，第89页）。对于, 2, ..., 对应的最小值是4、24、99、599、2474、14974、61849。。。（组织环境信息系统A052463号).然而，更一般的同余

看起来也挺不错。

拉马努扬表明

（Darling 1919），可以使用欧拉恒等式和雅可比三乘积（哈代1999年，第87-88页），以及

（哈代1999年，第90页）。他推测总的来说

（戈登和休斯1981年，哈代1999年），尽管古普塔（1936年）表明这是假什么时候.Watson（1938）随后提出并证明了修正后的关系式

对于.对于,2, ..., 对应的最小值是0、47、2301、112747。。。（组织环境信息系统A052464号).然而，更一般的同余

似乎保持住了。

拉马努扬表明

持有（戈登和休斯1981；哈代1999，第87-88页），并推测了一般关系

阿特金（1967）最终证明了这一点。对于, 2, ..., 对应的最小值是6、116、721、14031。。。（组织环境信息系统A052465号).

阿特金和奥布莱恩（1967）证明

哪里是一个整数，仅取决于（戈登和休斯，1981年）。对于, 2, ..., 对应的最小值是6、162、1007、27371。。。（组织环境信息系统A052466号).

Subbarao（1966）推测算术级数 （修订版)，有无穷多个整数为此是即使，无穷大多个整数为此是古怪的.

Dyson（1944）通过一个他称之为“秩”的数学工具解释了模5和模7的同余，并推测这种方法可以推广到其他模。该猜想（有时称为“曲柄猜想”）被扩展到模11的同余（安德鲁斯和加文1988）。Mahlburg（2005）随后以Dyson所描述的“美丽而完全出乎意料”的优雅证明彻底解决了这个猜想

在第四季的第一集“信任度量“（2007）犯罪电视剧NUMB3RS，数学天才查理Eppes以通知他的班级他们将讨论分区同余来结束开场白在下一节课上（尽管奇怪的是，现在正在上这节课纳什平衡).