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二项式定理


根据来源不同,有几个密切相关的结果被称为二项式定理。更令人困惑的是,其中有许多(和其他)相关结果被称为二项式公式、二项式展开式、,二项式恒等式以及身份本身有时被简单地称为“二项式级数"而不是“二项式定理”

二项式定理最常见的情况是二项式系列身份

 (x+a)^nu=sum_(k=0)^infty(nu;k)x^ka^(nu-k),
(1)

哪里(努;k)是一个二项式系数努是一个实数。此序列收敛于nu>=0整数,或|x/a |<1这是Graham的一般形式等。(1994,第162页)。Arfken(1985年,第307页)将此公式的特殊情况称为a=1二项式定理。

什么时候?努是一个正整数 n个,序列终止于n=nu可以写在表格中

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n;k)x^ka^(n-k)。
(2)

这种形式的恒等式被Abramowitz和Stegun称为二项式定理(1972年,第10页)。

下表总结了不同的术语。

“二项式定理”来源
(x+a)^nu=sum_(k=0)^(infty)(nu;k)x^ka^(nu-k)格雷厄姆等人(1994年,第162页)
(x+1)^nu=sum_(k=0)^(infty)(nu;k)x^k阿夫肯(1985年,第307页)
(x+a)^n=sum_(k=0)^(n)(n;k)x^ka^(n-k)阿布拉莫维茨和斯特根(1972年,第10页)

二项式定理在这种情况下是众所周知的n=2约公元前300年由欧几里德创作,并以现代形式由帕斯卡在1665年出版的一本遗书中写道。帕斯卡的小册子,连同他于1654年开始与费马就这一问题进行通信(并于1679)是为纪念他而命名算术三角形的基础。

牛顿(1676)证明了这个公式也适用于负整数 -n个,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^inff(-n;k)x^ka^(n-k),
(3)

这就是所谓的负二项级数并收敛于|x |<a.

事实上,概括

 (1+z)^a=sum_(k=0)^infty(a;k)z^k
(4)

为所有综合体保留z(z)具有|z |<1.

在他众多的天赋中,吉尔伯特的斯坦利少将和沙利文的轻歌剧彭赞斯海盗他的二项式知识给海盗们留下了深刻印象《少将之歌》中的定理如下:“我就是榜样作为一名现代少将,我知道我有蔬菜、动物和矿物方面的信息英格兰的国王们,我引用了历史上的战斗,从马拉松到滑铁卢,按顺序分类;我对数学问题也很熟悉,我理解关于二项式定理的简单和二次方程许多好消息——关于斜边的正方形有许多令人愉快的事实。"


另请参阅

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工具书类

Abramowitz,M.和Stegun,I.A。(编辑)。带公式、图形和数学表的数学函数手册,第9版。纽约:多佛,1972年。阿夫肯,G。数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第307-308页,1985Boros,G.和Moll,V.“二项式定理”§1.4在里面不可抗拒的积分:积分评估中的符号学、分析和实验。英国剑桥:剑桥大学出版社,第10-16页,2004年。博伊尔,C.B.公司。和美国默兹巴赫。“二项式定理。”A类数学史,第二版。纽约:Wiley,第393-394页,1991年。康威,J.H。和盖伊·R·K。“选择数是二项式系数。”这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第72-74页,1996年。柯立芝,J·L·。“二项式定理的故事。”阿默尔。数学。每月 56,147-157, 1949.Courant,R.和Robbins,H.“二项式定理”§1.6英寸什么数学吗思想和方法的基本方法,第2版。牛津,英国:牛津大学出版社,第16-18页,1996年。格雷厄姆·R·L。;Knuth,D.E。;和O.Patashnik。混凝土数学:计算机科学基础,第二版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1994巴斯卡,B。三角运算特征奎尔奎斯·奥特雷斯(quelques autres petits traitez sur la mesme matière)。巴黎:纪尧姆德斯普雷兹,1665年。http://www.lib.cam.ac.uk/cgi-bin/PascalTriangle/browse.http://www.lib.cam.ac.uk/RareBooks/PascalTraite/pascalintro.pdf.惠塔克,E.T.公司。和Robinson,G.《二项式定理》第10节这个观测微积分:数值数学论文,第4版。新建约克:多佛,第15-19页,1967年。Zwillinger,D.(编辑)。CRC公司标准数学表和公式,第30版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第35页,1996年。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“二项式定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/二项式定理.html

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