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超阶乘的

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超阶乘的

超阶乘（Sloane和Plouffe 1995）是由以下公式定义的函数

H（n）=K（n+1）
(1)
=产品_（k=1）^（n）k^k，
(2)

哪里K（n）是K函数.

超阶乘在Wolfram公司语言作为超阶乘的[n个].

对于整数值n=1,2, ... 是1，4，108，27648，86400000，4031078400000，3319766398771200000。。。（组织环境信息系统A002109年).

HyperfactorialReIm公司超阶乘等高线

超阶乘也可以推广到复数，如上所示。

这个巴恩斯G函数和超阶乘H（z）满足关系

H（z-1）G（z）=e^（（z-1，logGamma（z））
(3)

适用于所有复杂情况z（z）.

超阶乘由积分给出

H（z）=（2pi）^（-z/2）经验[（z+1；2）+积分_0^zln（t！）dt]
(4)

和封闭式表达式

K（z）=exp[zeta^'（-1，z+1）-zeta^'（-1）]
(5)

对于R[z]>0,哪里泽塔（z）是黎曼ζ函数,泽塔^'（z）它的导数,ζ（a，z）是赫尔维茨zeta函数、和

zeta^'（a，z）=[（dzeta（s，z））/（ds）]_（s=a）。
(6)

H（z）还有一个斯特林-像系列

H（z）～Ae^（-z^2/4）z^（z（z+1）/2+1/12）×（1+1/（720z^2）-（1433）/（7257600z^4）+…）
(7)

（组织环境信息系统A143475型和A143476号).

H（-1/2）具有特殊价值

H（-1/2）=e^（-[（ln2）/3+12zeta^'（-1）]/8）
(8)
=2^（1/12）pi^（1/8）e^（[gamma-1-zeta^'（2）/zeta（2）]/8）
(9)
=（A^（3/2））/（2^（1/24）e^（1/18）），
(10)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数和A类是Glaisher-Kinkelin公司常数.

这个导数由提供

（dH（x））/（dx）=H（x”{1/2[1-ln（2pi）]+ln（γ（x+1））+x}。
(11)

另请参见

巴恩斯G函数,Glaisher-Kinkelin公司常量,K函数,超阶乘

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弗莱彻，A。；J.C.米勒。体育。；罗森黑德，L。；和Comrie，L.J。一个数学表索引，第1卷，第2版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第50页，1962年。格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和Patashnik，O。混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第477页，1994年。新泽西州斯隆。答：。序列A002109年/M3706，A143475型、和A143476号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

超阶乘的

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“超阶乘。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hyperfactorial.html

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