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有限差分

有限差分是导数.有限远期差额函数的fp（荧光粉）定义为

增量f_p=f_（p+1）-f_p，
(1)

和有限的反向差作为

del fp=fp-f（p-1）。
（2）

正向有限差分在Wolfram语言作为差异增量[（f）,我].

如果值是按间距制表的小时，然后是符号

f_p=f（x0+ph）=f（x）
(3)

使用。这个k个第个远期差额然后写为增量^kf_p类似地k个第个反向差作为删除^kf_p.

然而，当fp（荧光粉）被视为连续函数的离散化f（x），则有时会写出有限差分

增量（x）=f（x+1/2）-f（x-1/2）
(4)
=2调整框[I，方框边距->{0.101266，-0.101266}，{0.375，-0.375}}，方框基线偏移->-0.375]调整框[I，方框边长->{{0，0}，}-0.25，0.25}}、方框基线偏移->0.25]（x）*f（x），
(5)

哪里*表示卷积和调整框[I，方框边距->{0.101266，-0.101266}，{0.375，-0.375}}，方框基线移位->-0.375]调整框[I，方框边长->{{0，0}，}-0.25，0.25}，BoxBaselineShift->0.25]（x）是奇怪的吗脉冲对有限差分算子因此可以写入

Delta ^~=2AdjustmentBox[I，BoxMargins->{{0.101266，-0.101266}，{0.375，-0.375}}，BoxBaselineShift->-0.375]调整框[I，框边距->{{0，0}，}-0.25，0.25}}、BoxBaselineShift->0.25]*。
(6)

一个n个第个权力有一个常数n个第个有限差分。例如，以n=3并制作一个差异表,

x；1; 2; 三；4；5x^3；1; 8; 27; 64; 125三角洲；7; 19; 37; 61三角洲^2；12; 18; 24三角洲^3；6; 6三角洲^4；0
(7)

这个增量^3列是常数6。

有限差分公式对于外推有限数量的数据以试图找到一般项非常有用。具体来说，如果函数f（n）只有少数离散值n=0, 1, 2, ... 并且需要确定分析的形式（f）,如果（f）假设为多项式的功能。表示n个第个中的值序列利息由a_n（名词）。然后定义b_n（b_n）作为远期差额 增量n=a_（n+1）-a_n,cn（立方厘米）作为第二个向前地差异 增量_n^2=b_（n+1）-b_n,等等，构建如下表

a_0=f（0）a_1=f（1）a_2=f（2）。。。a_p=f（p）
(8)
b_0=a_1-a_0 b_1=a_2-a_1。。。b（p-1）=a_p-a（p-1
(9)
c_0=b_1-b_0。。。
(10)
...
(11)

继续计算d_0（0）,e_0（电子_ 0）,等，直到获得0值。然后多项式的给出值的函数a_n（名词）由提供

f（n）=sum_（k=0）^（p）alpha_k（n；k）
(12)
=a0+b0n+（c0n（n-1））/2+（d0n（n-1）（n-2））/（2.3）+。。。。
(13)

当符号增量_0=a_0,增量_0^2=b_0,等，则此美丽的方程式称为牛顿的正向差分公式。要查看特定示例，请考虑序列前几个值为1、19、143、607、1789、4211和8539。差异表然后由给出

1 19 143 607 1789 4211 853918 124 464 1182 2422 4328106 340 718 1240 1906234 378 522 666144 144 1440 0
(14)

读出每行中的第一个数字a_0=1,b_0=18,c0=106,d_0=234,e_0=144。将这些插入即可得出方程式

f（n）=1+18n+1/2106n（n-1）+1/6234n（n-l）（n-2）+1/（24）144n（n-1）（n-2）（n-3）
(15)
=6n^4+3n^3+2n^2+7n+1，
(16)

这确实与原始数据完全吻合。

导数的公式如下所示

f^'（x_0）=1/h[f（x_0+h）-f（x_0）]-1/2hf^（''）（xi）
(17)
=1/（2小时）[-3f（x_0）+4f（x0+h）-f（x0+2h）]+1/3h^2f^（（3））（xi）
(18)
=1/（2小时）[f（x_0+h）-f（x_0-h）]-1/6h^2f^（（3））（xi）
(19)
=1/（12小时）（f（-2）-8f（-1）+8f1-f2）+1/（30）h^4f^（（5））（xi）
(20)
=1/（12h）（-25f_0+48f_1-36f_2+16f_3_3f_4）+1/5h^4f^（（5））（xi）
(21)
f^（''）（x_0）=1/（h^2）（f（-1）-2f0+f1）-1/（12）h^2f^（（4））（xi）
(22)
=1/（h^2）（f0-2f1+f2）+1/6h^2f^（（4））（xi_1）-hf^
(23)
f^（（3））（x0）=1/（h^3）（f_3_3f_2+3f_1-f_0）+O（h）
(24)
=1/（2h^3）（f_2-2f_1+2f_（-1）-f_（-2））+O（h^2）
(25)
f^（（4））（x0）=1/（h^4）（f_4-4f_3+6f_2-4f_1+f_0）+O（h）
(26)
=1/（h^4）（f_2-4f_1+6f_0-4f_（-1）+f_（-2））+O（h^2）
(27)

（Beyer 1987年，第449-451页；Zwillinger 1995年，第705页）。

有限差分积分公式

int_（x_0）^（x_n）f（x）dx=hint_0^nf_pdp
(28)

由Beyer（1987年，第455-456页）给出。

有限的差异导致差分方程，的有限模拟微分方程.事实上，本影演算显示出许多优雅连续函数的已知恒等式的类比。普通有限差分的方案偏微分方程包括所谓的Crank-Nicolson、Du Fort-Frankel和Laasonen方法。

另请参见

向后差异,贝塞尔有限差分公式,导数,差异方程式,差异表,埃弗雷特的公式,有限元法,福沃德差异,高斯反向公式,高斯正演公式,插值,杰克逊的Difference Fan,牛顿的反向差分公式,柯特斯公式,牛顿的分差插值公式,牛顿的正向差分公式,商-差表,递归方程,斯特芬森氏公式,斯特林有限差分公式,脑微积分

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“差异”第25.1条手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第877-878页，1972年。Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第429-515页，1987Boole，G.和Moulton，J.F。A类《有限差分微积分论》，第2版。纽约：多佛，1960康威，J.H。和Guy，R.K。“牛顿有用的小知识公式。“输入这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第81-83页，1996年。福恩伯格，B.“有限差分公式中权重的计算”SIAM版本。 40,685-691, 1998.Iyanaga，S.和Kawada，Y.（编辑）。“插值。”附录A，表21百科全书数学词典。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院出版社，第1482-1483页，1980约旦，C。微积分有限差分，第三版。纽约：切尔西，1965年。征收，H.和Lessman，F。有限差分方程。纽约：多佛，1992年。米尔内·托姆森，L.M。这个有限差分法。伦敦：麦克米伦出版社，1951年。理查森，C.H.公司。一个有限差分微积分导论。纽约：Van Nostrand，1954明镜，M。微积分有限差分和微分方程。纽约：McGraw-Hill，1971J·斯特林。Methodus公司微分、微分和插值无穷级数。伦敦，1730年。Holliday，J.的英文翻译。微分法：一篇论文无穷级数的求和和插值。1749特威德，C、。詹姆斯斯特林：他的生活和作品的素描以及他的科学通讯。英国牛津：牛津大学出版社，第30-45页，1922年。魏斯坦，东-西。“关于有限差分方程的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FiniteDifferenceEquations.html.兹威林格，D.（编辑）。“差分方程”和“数值微分”§3.9和8.3.2英寸CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第228-235页和705-7051995年。

参考Wolfram | Alpha

有限差分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“有限差分。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FiniteDifference.html

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