阶乘多项式
降阶乘和升阶乘
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x k个 : = k个 − 1 ∏ 我 = 0 ( x − 我 ), k个 ∈ ℕ,
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x k个 : = k个 − 1 ∏ 我 = 0 ( x + 我 ), k个 ∈ ℕ,
阶乘多项式
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x ( k个 ) : = x k个 , k个 ∈ ℕ,
-
x ( − k个 ) : = [ x k个 ] − 1 , k个 ∈ ℕ,
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P(P) ( x ) : = n个 ∑ k个 = 0 一 k个 x ( k个 ) , n个 ∈ ℕ,
广义阶乘多项式
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L(左) ( x ) : = n个 ∑ k个 = 米 一 k个 x ( k个 ) , 米 ∈ ℤ, n个 ∈ ℤ, 米 ≤ n个 .
有限差分算子
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Δ (f) ( x ) : = ( E类 − 我 ) (f) ( x ) = (f) ( x + 1) − (f) ( x )
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从多项式表示转换为阶乘多项式表示,反之亦然
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( b条 0 , b条 1 , ..., b条 n个 ) T型 = F类 n个 + 1 × ( 一 0 , 一 1 , ..., 一 n个 ) T型 ,
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( 一 0 , 一 1 , ..., 一 n个 ) T型 = ( F类 n个 + 1 ) − 1 × ( b条 0 , b条 1 , ..., b条 n个 ) T型 ,
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A000012号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 0, n个 ) . {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...} -
A000217号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 1, n个 ) . {0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, ...} -
A001296号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 2, n个 ) . {0, 1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, 750, 1155, 1705, 2431, 3367, 4550, 6020, 7820, 9996, ...} -
A001297号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 3, n个 ) . {0, 1, 15, 90, 350, 1050, 2646, 5880, 11880, 22275, 39325, 66066, 106470, 165620, 249900, ...} -
A001298号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 4, n个 ) . {0, 1, 31, 301, 1701, 6951, 22827, 63987, 159027, 359502, 752752, 1479478, 2757118, ...} -
A112494号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 5, n个 ) . {0, 1, 63, 966, 7770, 42525, 179487, 627396, 1899612, 5135130, 12662650, 28936908, 62022324, ...} -
A144969号 第二类斯特林数 S公司 ( n个 + 6, n个 ) . {0, 1, 127, 3025, 34105, 246730, 1323652, 5715424, 20912320, 67128490, 193754990, ...}
斯特林数
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x ( n个 ) : = x n个 = n个 ∑ k个 = 0 秒 ( n个 , k个 ) x k个 = n个 ∑ k个 = 0 S公司 1 ( n个 , k个 ) x k个 = n个 ∑ k个 = 0 (−1) n个 + k个 | S公司 1 ( n个 , k个 ) | x k个 ,
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x ( − n个 ) : = [ x n̅ ] − 1 = [ n个 ∑ k个 = 0 (−1) n个 + k个 S公司 1 ( n个 , k个 ) [ x − k个 ] − 1 ] − 1 = [ n个 ∑ k个 = 0 (−1) n个 + k个 S公司 1 ( n个 , k个 ) x k个 ] − 1 = [ n个 ∑ k个 = 0 | S公司 1 ( n个 , k个 ) | x k个 ] − 1 = [ n个 ∑ k个 = 0 [ n个 k个 ] x k个 ] − 1 ,
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x n个 = n个 ∑ k个 = 0 { n个 k个 } x ( k个 ) = n个 ∑ k个 = 0 S公司 ( n个 ) k个 x ( k个 ) = n个 ∑ k个 = 0 S公司 ( n个 , k个 ) x ( k个 ) = n个 ∑ k个 = 0 S公司 2 ( n个 , k个 ) x ( k个 ) ,
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x − n个 : = [ x n个 ] − 1 = [ n个 ∑ k个 = 0 (−1) n个 + k个 S公司 2 ( n个 , k个 ) [ x ( − k个 ) ] − 1 ] − 1 = [ n个 ∑ k个 = 0 (−1) n个 + k个 S公司 2 ( n个 , k个 ) x k̅ ] − 1 ,
第一类斯特林数
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{1, 0, 1, 0, −1, 1, 0, 2, −3, 1, 0, − 6, 11, − 6, 1, 0, 24, −50, 35, −10, 1, 0, −120, 274, −225, 85, −15, 1, 0, 720, −1764, 1624, −735, 175, −21, 1, 0, −5040, 13068, −13132, 6769, −1960, 322, −28, 1, ...}
-
{1, −1, 1, 2, −3, 1, − 6, 11, − 6, 1, 24, −50, 35, −10, 1, −120, 274, −225, 85, −15, 1, 720, −1764, 1624, −735, 175, −21, 1, −5040, 13068, −13132, 6769, −1960, 322, −28, 1, ...}
第一类Stirling数的行和
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n个 ∑ k个 = 0 S公司 1 ( n个 , k个 ) = 0 n个 (2) = 0 n个 ( n个 − 1) , n个 ≥ 0.
第一类无符号斯特林数
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{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, ...}
第一类无符号Stirling数三角形的行和
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n个 ∑ k个 = 0 | S公司 1 ( n个 , k个 ) | = | S公司 1 ( n个 + 1, 1) | = n个 !, n个 ≥ 0.
第一类无符号Stirling数三角形的下降对角线
The coefficients of the-
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
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{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, ...}
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{0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, ...}
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{6, 50, 225, 735, 1960, 4536, 9450, 18150, 32670, 55770, 91091, 143325, 218400, 323680, 468180, 662796, 920550, 1256850, 1689765, 2240315, 2932776, 3795000, 4858750, 6160050, ...}
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{24, 274, 1624, 6769, 22449, 63273, 157773, 357423, 749463, 1474473, 2749747, 4899622, 8394022, 13896582, 22323822, 34916946, 53327946, 79721796, 116896626, 16842387, ...}
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{1, 2, 1, 6, 8, 1, 24, 58, 22, 1, 120, 444, 328, 52, 1, 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, ...}
第二类斯特林数
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{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 7, 6, 1, 0, 1, 15, 25, 10, 1, 0, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 0, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 0, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 0, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, ...}
-
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 6, 7, 1, 0, 1, 10, 25, 15, 1, 0, 1, 15, 65, 90, 31, 1, 0, 1, 21, 140, 350, 301, 63, 1, 0, 1, 28, 266, 1050, 1701, 966, 127, 1, 0, 1, 36, 462, 2646, 6951, 7770, 3025, 255, 1, ...}
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{1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 6, 1, 1, 15, 25, 10, 1, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, ...}
第二类斯特林数三角形的行和
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n个 ∑ k个 = 0 S公司 2 ( n个 , k个 ) = B类 n个 , n个 ≥ 0,
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{1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, ...}
贝尔多项式
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x n个 = n个 ∑ k个 = 0 S公司 2 ( n个 , k个 ) x ( k个 ) , n个 ≥ 0,
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B类 n个 ( x ) : = n个 ∑ k个 = 0 S公司 2 ( n个 , k个 ) x k个 , n个 ≥ 0,
第二类有符号Stirling数
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{1, 0, 1, 0, −1, 1, 0, 1, −3, 1, 0, −1, 7, − 6, 1, 0, 1, −15, 25, −10, 1, 0, −1, 31, − 90, 65, −15, 1, 0, 1, − 63, 301, −350, 140, −21, 1, 0, −1, 127, − 966, 1701, −1050, 266, −28, 1, ...}
-
{?, ...}
第二类有符号Stirling数三角形的行和
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n个 ∑ k个 = 0 (−1) n个 + k个 S公司 2 ( n个 , k个 ) = (−1) n个 n个 ∑ k个 = 0 (−1) k个 S公司 2 ( n个 , k个 ) = (−1) n个 B̃ n个 , n个 ≥ 0,
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{1, (−) −1, 0, (−) 1, 1, (−) −2, − 9, (−) − 9, 50, (−) 267, 413, (−) −2180, −17731, (−) −50533, 110176, (−) 1966797, 9938669, (−) 8638718, −278475061, (−) −2540956509, − 9816860358, (−) 27172288399, ...}
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{1, −1, 0, 1, 1, −2, − 9, − 9, 50, 267, 413, −2180, −17731, −50533, 110176, 1966797, 9938669, 8638718, −278475061, −2540956509, − 9816860358, 27172288399, 725503033401, 5592543175252, ...}
Lah数字
-
L(左) ( n个 , k个 ) : = n个 ∑ 米 = k个 | 秒 ( n个 , 米 ) | S公司 ( 米 , k个 ) ,
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x n̅ = n个 ∑ k个 = 1 L(左) ( n个 , k个 ) x k个 ,
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x n个 = n个 ∑ k个 = 1 (−1) n个 − k个 L(左) ( n个 , k个 ) x k个 .
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{−1, 2, 1, − 6, − 6, −1, 24, 36, 12, 1, −120, −240, −120, −20, −1, 720, 1800, 1200, 300, 30, 1, −5040, −15120, −12600, − 4200, − 630, − 42, −1, 40320, 141120, 141120, 58800, 11760, ...}
Lah数三角形的行和
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{−1, 3, −13, 73, −501, 4051, −37633, 394353, − 4596553, 58941091, −824073141, 12470162233, −202976401213, 3535017524403, − 65573803186921, 1290434218669921, ...}
受普通二项式展开式启发的阶乘多项式
受普通二项式展开式启发的阶乘多项式 ( x + 1) n个
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{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 5, −2, 1, 1, 9, −15, 15, −5, 1, 1, −35, 94, −85, 40, − 9, 1, ...}
-
{1, −1, 1, 1, −1, 1, −1, 2, 0, 1, 1, 0, 5, 2, 1, −1, 9, 15, 15, 5, 1, 1, 35, 94, 85, 40, 9, 1, −1, 230, 595, 609, 315, 91, 14, 1, 1, 1624, 4458, 4844, 2779, 924, 182, 20, 1, −1, ...}
三角形行总和
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P(P) n个 (1) = n个 + 1, n个 ≥ 0.
三角形立柱
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{0, 1, 1, 2, 0, 9, −35, ...}
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{0, 1, −1, 2, 0, 9, 35, 230, 1624, 13209, 120287, 1214674, 13469896, 162744945, 2128047987, 29943053062, 451123462672, 7245940789073, ...}
受普通二项式展开式启发的阶乘多项式 ( x − 1) n个
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{1, −1, 1, 1, −3, 1, −1, 8, − 6, 1, 1, −24, 29, −10, 1, −1, 89, −145, 75, −15, 1, 1, − 415, 814, −545, 160, −21, 1, ...}
-
{1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 6, 1, 1, 24, 29, 10, 1, 1, 89, 145, 75, 15, 1, 1, 415, 814, 545, 160, 21, 1, 1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, ...}
三角形行总和
-
{1, 0, −1, 2, −3, 4, −5, ...}
三角形立柱
-
{0, 1, −3, 8, −24, 89, − 415, ...}
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{0, 1, 3, 8, 24, 89, 415, 2372, 16072, 125673, 1112083, 10976184, 119481296, 1421542641, 18348340127, 255323504932, 3809950977008, ...}
笔记
↑ 1 1.1 使用 x k个 和 x k个 提出的符号(Graham、Knuth和Patashnik,1994年:第48页)。 ↑ 2 2.1 以苏格兰数学家的名字命名 斯特林 . ↑ 史蒂文·施瓦茨曼(Steven Schwartzman),“ 因子三角与多项式序列 ,” 《大学数学杂志》 第15卷第5期(1984年11月),第424-426页。 ↑ 约翰·奥康纳。; Edmund F.Robertson。, “伊沃拉” , MacTutor数学史档案 圣安德鲁斯大学 .
工具书类
G.布尔。 有限的差异 第5版,纽约:切尔西,1970年。 Elaydi,S.N.公司。 差分方程简介 第三版,施普林格出版社,2005年。 格雷厄姆·R·L。; Knuth,D.E。; 和O.Patashnik。 具体数学:计算机科学基础 第二版,雷丁,马萨诸塞州:Addison-Wesley,1994年。
外部链接
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埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。 , 铃声号码 ,摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。 -
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。 , 补充铃号 ,摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。 -
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。 , 贝尔多项式 ,摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。