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贝尔多项式

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有两种贝尔多项式。

指数多项式

贝尔多项式B_n（x）,也称为指数多项式phin（x）（Bell 1934，Roman 1984，第63-67页）是一个多项式B_n（x）这概括了潜水钟数 B_n（B_n）和互补贝尔数 B^~_n这样的话

B_n（1）=B_n（B_n）
(1)
B_n（-1）=B^~n。
(2)

这些Bell多项式推广了指数的功能.

贝尔多项式不应与伯努利多项式，通常也表示B_n（x）.

Bell多项式在Wolfram语言作为贝尔B[n个,x个].

前几个Bell多项式是

B_0（x）=1
(3)
B_1（x）=x个
(4)
B_2（x）=x^2+x
(5)
B_3（x）=x^3+3x^2+x
(6)
B_4（x）=x^4+6x^3+7x^2+x
(7)
B_5（x）=x^5+10x^4+25x^3+15x^2+x
(8)
B_6（x）=x^6+15x^5+65x^4+90x^3+31x^2+x
(9)

（组织环境信息系统A106800标准).

{B_n（x）}形成关联的谢费尔序列对于

f（t）=ln（1+t），
(10)

所以多项式有指数的生成函数

sum_（k=0）^infty（B_k（x））/（k！）t^k=e^（（e^t-1）x）。
(11)

附加生成函数对于B_n（x）由提供

B_n（x）=e^（-x）总和_（k=0）^infty（k^nx^k）/（k！）
(12)

或

B_n（x）=xsum_（k=1）^n（n-1；k-1）B_（k-1）（x），
(13)

具有B_0（x）=1,哪里（n；k）是一个二项式系数.

贝尔多项式B_n（x）有明确的公式

B_n（x）=总和_（k=0）^nS（n，k）x^k，
(14)

哪里S（n，k）是一个第二斯特林数友善的.

漂亮的二项式和由下式给出

B_n（x+y）=总和_（k=0）^n（n；k）B_k（x）B_（n-k）（y），
(15)

哪里（n；k）是一个二项式系数.

的导数B_n（x）由提供

d/（dx）B_n（x）=（B_（n+1）（x））/x-B_n，
(16)

所以B_n（x）满足递推方程

B_（n+1）（x）=x[B-n（x）+B_n^'（x）]。
(17)

第二类Bell多项式B_（n，k）（x_1，x_2，…）由定义

B_（n，k）（x_1，x_2，…）=总和_（j_1+j_2+…=k；j_1+2j_2+？=n）（n！）/（j_1！j_2！…）（（x_1）/（1！））^。。。。
(18)

他们有生成函数

sum_（k=0）^infty（B_k（x；x_1，x_2，…））/（k！）。
(19)

另请参见

精算多项式,铃声号码,互补的铃声号码,多宾斯基公式,幂等数,拉编号,Sheffer序列,斯特林第二类数量

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工具书类

E.T.贝尔。“指数多项式。”安。数学。 35, 258-277, 1934.康泰特，L。高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，第133页，1974年。J·里奥丹。一个组合分析导论。纽约：Wiley，pp.p。 35-38,第49页和第142页，1980年。Roman，S.“指数多项式”以及《贝尔多项式》中的§4.1.3和§4.1.8这个脑微积分。纽约：学术出版社，第63-67页和82-87页，1984年。斯隆，新泽西州。答：。序列A106800标准在“整数序列在线百科全书。"

参考Wolfram | Alpha

贝尔多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“贝尔多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BellPolynomial.html

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