三角形数字

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这个$｛\displaystyle\scriptstyle n\，｝$第个 三角形数定义为第一个${\显示样式\脚本样式n\，}$ 正整数

${\显示样式t_{n}:=\sum_{i=1}^{n} 我={\frac{n（n+1）}{2}}={\binom{n+1}{2{}}，\quadn\geq0，\，}{n} 我={\frac{n（n+1）}{2}}={\binom{n+1}{2{}}，\quadn\geq0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式t_{0}\，=\，0\，}$因为它是空总和正整数（给出加性恒等式，即0），以及${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{k}}\，}$是一个二项式系数. The${\显示样式\脚本样式n\，}$第个因此，三角形数是${\显示样式\脚本样式n\，}$第个 发音数（或叫矩形数).

A000217号三角数：a（n）=C（n+1，2）=n（n+1）/2=0+1+2++n、 n≥0。

{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, ...}

这已经被证明了欧拉，使用以下技巧：

1,   2,   3, ..., n-2，n-1，n+n，n-1，n-2。。。，3,   2,   1----------------------------------n+1，n+1，n+1。。。，n+1，n+1，n+1因此，tn=n*（n+1）/2。

那个证明有时也被认为是卡尔·弗里德里希·高:

定理。第一个的总和${\显示样式\脚本样式n\，}$正整数（${\显示样式\脚本样式n\，}$第个三角形数${\显示样式\脚本样式t_{n}\，}$)等于${\displaystyle\scriptstyle{\frac{n^{2}+n}{2}}\，}$.

证明。（高ß）我们可以写作$｛\displaystyle\scriptstylet_｛n｝\，=\，1+2+3+\ldots+（n-1）+n\，｝$.自附加是可交换的，我们也可以写${\显示样式\脚本样式t_{n}\，=，n+（n-1）+\ldots+3+2+1，}$。如果我们逐项从左到右将这些表达式相加，我们将获得${\显示样式\脚本样式2t_{n}\，=，（1+n）+（2+（n-1））+\ldots+（n-1，+2）+（n+1）\，}$。每一个带括号的加数计算为${\显示样式\脚本样式n+1，}$而且有${\显示样式\脚本样式n\，}$这些加数中的一个。因此，${\显示样式\脚本样式2t_{n}\，=，n（n+1）\，=\，n^{2}+n \，}$将两边除以2得到${\显示样式\脚本样式t_{n}\，=\，{\frac{n^{2}+n}{2}}\，}$如定理所规定。□

关系

${\显示样式t_{n} -吨_{n-1}=n，\quad n \geq 1.\，}{n} -吨_{n-1}=n，\quad n \geq 1.\，}$

${\显示样式t_{n} -2吨_{n-1}+t{n-2}=1，四元n\geq2.\，}{n} -2吨_{n-1}+t{n-2}=1，四元n\geq2.\，}$

${\显示样式t{n}+t{n-1}=n^{2}，\quadn\geq1.\，}$

$｛\displaystyle｛\frac｛t_｛n｝｝｛t_｛n-1｝｝｝＝｛\frac｛n+1｝｛n-1｝｝，\fquad n\geq 1.\，｝$

涉及二项式系数的关系

查尔斯·马里恩<charliemath@optonline.net>提出了以下两种关系：

${\显示样式\sum_{k=0}^{m}（-1）^{k}{\binom{m}{m-k}}t{n-k}=0，\n\geqm>2，\，}$

${\displaystyle\sum_{k=0}^{m}{\binom{m}}{m-k}}t{n-k}=\sum_{k=0.}^{m-1}{\biom{m-1{m-k1}}（n-k）^{2}，\n\geqm>0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式m\，=\，1\，}$给予${\显示样式\脚本样式t_{n}+t_{n-1}\，=\，n^{2}.\，}$

倒数总和

的倒数的部分和三角形数给出（易于归纳证明）

${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{t{i}}={\ frac{n^{2}}{t}}}.\，}$

的倒数之和三角形数收敛到2

${显示样式{lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}{frac{1}{t{n}}}=\lim_}n\to\ infty{{n^{2}}{t}}=\ lim__{n\t到\ infty}{frac{2n^{2]}{n（n+1）}}=2，}$

自然数作为三个三角形数之和的表示

每自然数可以用至少一种方式表示为三个数的总和三角形数（最多三个非零三角形数字）。

的陈述${\显示样式n}$作为三个三角形数的总和

${\显示样式n\，}$	陈述	数量 陈述
0	｛｛0，0，0｝｝	1
1	{ {1, 0, 0} }	1
2	{ {1, 1, 0} }	1
三	{ {3, 0, 0}, {1, 1, 1} }	2
4	{ {3, 1, 0} }	1
5	{ {3, 1, 1} }	1
6	{ {6, 0, 0}, {3, 3, 0} }	2
7	{ {6, 1, 0}, {3, 3, 1} }	2
8	{ {6, 1, 1} }	1
9	{ {6, 3, 0}, {3, 3, 3} }	2
10	{ {10, 0, 0}, {6, 3, 1} }	2
11	{ {10, 1, 0} }	1
12	{ {10, 1, 1}, {6, 6, 0}, {6, 3, 3} }	三
13	{ {10, 3, 0}, {6, 6, 1} }	2
14	{ {10, 3, 1} }	1
15	{ {15, 0, 0}, {6, 6, 3} }	2
16	{ {15, 1, 0}, {10, 6, 0}, {10, 3, 3} }	三

A002636号的表示数${\显示样式n}$作为最多三个非零三角形数的总和。

{1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 4, 4, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 1, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 6, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 3, 6, 5, 2, 2, 5, 3, 5, 4, 2, 4, 5, 3, 4, ...}

甚至完美数字

每个偶数完全数是一个三角形数，因为它们是

${\显示样式2^{n-1}\cdot（2^{n} -1个)={\压裂{（2^{n} -1个)2^{n}}{2}}=t{2^{n} -1个}，\，｝{n} -1个)={\压裂{（2^{n} -1个)2^{n}}{2}}=t{2^{n} -1个}，\，｝$

哪里${\显示样式\脚本样式2^{n} -1个\,}{n} -1个\,}$是[必要的，但不充分的]梅森素数.

每个偶数完美数也是一个六边形数，因为它们是

${\显示样式2^{n-1}\cdot（2^{n} -1个)=2^{n-1}\cdot（2\cdot 2^{n-1}-1)=h_{2^{n-1}}，\，}{n} -1个)=2^{n-1}\cdot（2\cdot 2^{n-1}-1)=h_{2^{n-1}}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式2^{n} -1个\,}{n} -1个\,}$是（必然但不充分）梅森素数。

另请参阅

• 3面多边形数.

• 二维单形多面体数.

外部链接

• Ken Ono、西奈罗宾斯和Patrick T.Wahl，关于积分作为三角数之和的表示.