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1, 2, 3, 6, 9, 14, 22, 32, 46, 66, 93, 128, 176, 238, 319, 426, 562, 736, 960, 1242, 1598, 2048, 2608, 3306, 4175, 5248, 6570, 8198, 10190, 12622, 15589, 19190, 23552, 28830, 35190, 42842, 52034, 63040, 76198, 91904, 110604, 132832, 159216, 190464, 227417
评论
将n划分为不同部分的分区数,每个部分有2种类型。例如,对于n=4,我们认为k和k*是k的不同版本,因此我们有4、4*、31、31*、3*1、3*1*、22*、211*、2*11*,因此a(4)=9-乔恩·佩里2004年4月4日
将n划分为奇数部分的数量,每个部分有两种。例如,a(3)=6,因为我们有3,3',1+1+1,1+1+1',1+1’+1’,1'+1'+1’-Emeric Deutsch公司2005年3月22日
n的所有分区中的最小间距之和。分区的“最小间距”是不属于分区的最小正整数。例如:a(4)=9,因为[4]、[3,1]、[2,2]、[2,1,1]和[1,1,1,1]中的最小间隙分别为1、2、1、3和2-Emeric Deutsch公司2015年5月18日
最小间隙也称为最小排除或mex;见安德鲁斯和纽曼-乔治·贝克2020年12月10日
参考文献
P.J.Grabner,A.Knopfmacher,《一些新分区统计分析》,Ramanujan J.,第12期,2006年,第439-454页。
Kathiravan,T.和S.N.Fathima。“关于模L的L-正则双分割”,《Ramanujan期刊》44.3(2017):549-558。
链接
乔治·安德鲁斯、大卫·纽曼、,分区和最小排他《组合数学年鉴》,第23卷,2019年5月,第249-254页。
Mbavhalelo Mulokwe和Konstantinos Zoubos,自由费米子、中性和模变换,arXiv:2403.08531[hep-th],2024。
雅各布·斯普里图拉,关于着色因子分解,arXiv:2008.09984【math.CO】,2020年。
配方奶粉
a(n)=p(n)+p(n-1)+p+p(n-k*(k+1)/2)+。。。,其中p()为A000041号(). 例如,a(8)=p(8)+p(7)+p[5]+p(2)=22+15+7+2=46-弗拉德塔·乔沃维奇2004年8月9日
q^(-1/12)*(eta(q^2)/eta(q))^2的q次幂展开-迈克尔·索莫斯,2008年4月27日
chi(-q)^(-2)的q次幂展开式,其中chi()是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯,2008年4月27日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(288 t))=(1/2)G(t),其中q=exp(2 Pi i t),G()是A022597号. -迈克尔·索莫斯,2008年4月27日
G.f.:产品{k>0}(1+x^k)^2。
奇偶性结果:a(n)是偶数,除非n是广义五边形数(即形式2)的两倍*A001318号(m) 对于一些m)-彼得·巴拉2009年3月19日
a(n)~exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(4*6^(1/4)*n^(3/4))*(1+(Pi/(12*sqrt(6))-3*sqert(3/2)/(8*Pi))/sqrt(n)+(Pi^2/1728-45/(256*Pi^2)-5/64)/n))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2015年3月5日,2017年1月22日延期
通用公式:exp(2*Sum_{k>=1}(-1)^(k+1)*x^k/(k*(1-x^k)))-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月6日
例子
G.f.=1+2*x+3*x ^ 2+6*x ^3+9*x ^4+14*x ^5+22*x ^6+32*x ^7+46*x ^8+。。。
G.f.=q+2*q^13+3*q^25+6*q^37+9*q^49+14*q^61+22*q^73+32*q*85+。。。
MAPLE公司
局部x,m;
乘积((1+x^m)^2,m=1..n);
膨胀(%);
系数(%,x,n);
数学
a[n_]:=级数系数[QPochhammer[q,q^2]^-2,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
a[n_]:=系列系数[乘积[1+q^k,{k,n}]^2,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
nmax=50;poly=常量数组[0,nmax+1];聚[1]]=1;聚[2]]=2;聚[[3]]=1;Do[Do[Do[poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}],{p,1,2}],{k,2,nmax}];聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(prod(k=1,n,1+x^k,1+x*O(x^n))^2,n))}/*迈克尔·索莫斯2004年3月21日*/
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff((eta(x^2+a)/eta(x+a))^2,n))}/*迈克尔·索莫斯2005年6月3日*/
(Magma)系数(&*[(1+x^m)^2:[1.40]]中的m)[1.40],其中x是多项式环(Integers()).1//G.C.格鲁贝尔2018年2月26日
b=二进制递归序列(0,1,0,2)
a=欧拉变换(b)
打印([a(n)代表范围(45)中的n])#彼得·卢什尼2020年11月11日
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