搜索： a255526-编号：a255527
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3, 5, 0, 9, 7, 5, 4, 3, 2, 7, 9, 4, 9, 7, 0, 3, 3, 4, 0, 4, 3, 7, 2, 7, 3, 5, 2, 3, 3, 7, 5, 1, 9, 3, 6, 9, 8, 4, 5, 4, 7, 8, 9, 7, 3, 3, 9, 3, 1, 7, 3, 9, 9, 1, 1, 7, 8, 9, 8, 9, 9, 3, 7, 8, 5, 8, 5, 4, 8, 2, 1, 7, 0, 1, 5, 1, 2, 0, 0, 7, 7, 4, 4, 5, 6, 4, 8, 9, 4, 0, 8, 1, 3, 0, 7, 5, 1, 2, 1, 3, 2, 6, 4, 0, 2
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,1
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链接
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例子
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3.509754327949703340437273523375193698454789733931739911...
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数学
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RealDigits[1/r/.FindRoot[{2*r==s*QPochhammer[-1，-s]，2*r==s^2*导数[0，1][QPochharmer][-1，-s]}，{r，1/3}，}s，1/2}，工作精度->120]，10，105][[1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月3日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A008485型
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| 产品中x^n的系数{k>=1}1/（1-x^k）^n。 |
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+10
30
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1, 1, 5, 22, 105, 506, 2492, 12405, 62337, 315445, 1605340, 8207563, 42124380, 216903064, 1119974875, 5796944357, 30068145905, 156250892610, 813310723925, 4239676354650, 22130265931900, 115654632452535, 605081974091875, 3168828466966388, 16610409114771900
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p以及所有正整数n和k。
猜想：超同余a（p）==p+1（modp^2）适用于所有素数p>=3。囊性纤维变性。A270913型.（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{pi}乘积_{i=1..n}二项式（k_i+n-1，k_i），其中pi通过k_1+2*k_2+…的所有非负解+n*k_n=n.a（n）=b（n，n）其中b（n、m）=m/n*Sum_{i=1..n}sigma（i）*b（n-i，m）是n划分成m类部分的次数的递归-弗拉德塔·约沃维奇2002年9月8日
a（n）~c*d^n/sqrt（n），其中d=A270915型=5.352701333486642687772415814165…，c=A327279型= 0.26801521271073331568695383828... . -瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月10日
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MAPLE公司
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带有（numtheory）：etr:=proc（p）local b；b： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，add（add（d*p（d），d=除数（j））*b（n-j），j=1..n）/n）end-end:a:=n->etr（j->n）（n）：seq（a（n），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月9日
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数学
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表[级数系数[1/QPochhammer[x，x]^n，{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年3月25日*）
表[SeriesCoefficient[Exp[n*Sum[x^j/（j*（1-x^j））），{j，1，n}]，{x，0，n}，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polceoff（prod（k=1，n，1/（1-x^k+x*O（x^n））^n），n）}
（PARI）{a（n）=n*polcoeff（log（1/x*serreverse（x*eta（x+x*O（x^n））），n）}/*保罗·D·汉纳2012年4月5日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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T.福布斯（anthony.d.Forbes（AT）googlemail.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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A270913型
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| 乘积{k>=1}（1+x^k）^n中的x^n系数。 |
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+10
24
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1, 1, 3, 13, 51, 206, 855, 3585, 15155, 64525, 276278, 1188353, 5130999, 22226049, 96544003, 420368858, 1834203955, 8018057345, 35107961175, 153950675585, 675978772326, 2971700764941, 13078268135683, 57613905606273, 254038914924791, 1121081799217231
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p以及所有正整数n和k。
猜想：超同余a（p）==p+1（mod p^2）适用于所有素数p（End）
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n/sqrt（n），其中d=A270914型=4.5024767476173544877385939327007…和c=327280英镑= 0.260542233142438469433860832160...
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MAPLE公司
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b： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加（b（n-j）*add(
`如果`（d:：奇数，d，0），d=numtheory[除数]（j）），j=1..n）/n）
结束时间：
g： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，`if`（k=1，b（n），
（q->加（g（j，q）*g（n-j，k-q），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
a： =n->g（n$2）：
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数学
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表[级数系数[积[（1+x^k）^n，{k，1，n}]，{x，0，n}]，{n，0，25}]
表[级数系数[QPochhammer[-1，x]^n，{x，0，n}]/2^n，}，{n，0，25}]
表[级数系数[Exp[n*总和[（-1）^j*x^j/（j*（x^j-1）），{j，1，n}]]，{x，0，n}]，{n，0，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polceoff（prod（k=1，n，（1+x^k+x*O（x^n））^n），n）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A286352型
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| 方阵A（n，k），n>=0，k>=0，由反对角线读取，其中k列是乘积_｛j>=1｝1/（1+x^j）^k的展开。 |
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+10
14
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1, 1, 0, 1, -1, 0, 1, -2, 0, 0, 1, -3, 1, -1, 0, 1, -4, 3, -2, 1, 0, 1, -5, 6, -4, 4, -1, 0, 1, -6, 10, -8, 9, -4, 1, 0, 1, -7, 15, -15, 17, -12, 5, -1, 0, 1, -8, 21, -26, 30, -28, 15, -6, 2, 0, 1, -9, 28, -42, 51, -56, 38, -21, 9, -2, 0, 1, -10, 36, -64, 84
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,8
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链接
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配方奶粉
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k列的G.f:产品{j>=1}1/（1+x^j）^k。
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例子
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方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, -1, -2, -3, -4, -5, ...
0, 0, 1, 3, 6, 10, ...
0, -1, -2, -4, -8, -15, ...
0、1、4、9、17、30。。。
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A278428型
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| g.f.（1/2）*x*（-1；-x）_inf的级数反转，其中（a；q）_inf是q-Pochhammer符号。 |
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+10
6
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1, 1, 1, 2, 6, 17, 46, 128, 373, 1119, 3405, 10464, 32478, 101781, 321642, 1023512, 3276326, 10543100, 34088806, 110690682, 360810160, 1180195810, 3872588051, 12743937024, 42049240694, 139082885503, 461072582522, 1531697761470, 5098246648103, 17000237006441
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n/n^（3/2），其中c=0.121369424570398272226454930396…和d=18204年= 3.509754327949703340437273523375193698454789733931739911... -瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月23日
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数学
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逆级数[x QPochhammer[-1，-x]/2+O[x]^35][[3]]
（*常数c:*的计算）1/Sqrt[（4/s^2-s*导数[0，2][QPochhammer][-1，-s]/r）*Pi]/。FindRoot[{2*r==s*QPochhammer[-1，-s]，2*r==s^2*导数[0，1][QPochharmer][-1，-s]}，{r，1/3}，}s，1/2}，工作精度->120](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2023年10月3日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A303174型
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| a（n）=[x^n]产品{k=1..n}1/（1+x^k）^（n-k+1）。 |
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+10
5
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1、-1、2、-5、18、-60、189、-6011967、-6544、21872、-73247、246080、-8829924、2808357、-9527485、32389671、-110316862、376372802、-1280603899、4400499380、-15075608840、51704898623、-17513230200、610072883817、2098029341745、7221561430933、24875274224531
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）~（-1）^n*c*d^n/sqrt（n），其中d=A318204型=3.50975432794970334043727352337…和c=0.2457469629428839220188283-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月21日
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例子
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a（0）=1；
a（1）=[x^1]1/（1+x）=-1；
a（2）=[x^2]1/（（1+x）^2*（1+x^2））=2；
a（3）=[x^3]1/（（1+x）^3*（1+x^2）^2*（1+x^3））=-5；
a（4）=[x^4]1/（（1+x）^4*（1+x^2）^3*（1+x^3）^2*（1+/x^4））=18；
a（5）=[x^5]1/（（1+x）^5*（1+x^2）^4*（1+x^3）^3*（1+/x^4）^2*（1+5））=-60等。
...
乘积展开式中x^k的系数表{k=1..n}1/（1+x^k）^（n-k+1）开始于：
n=0:（1），0，0，0,0，0。。。
n=1:1，（-1），1，-1，1，-1。。。
n=2:1，-2，（2），-2，3，-4。。。
n=3:1，-3，4，（-5），9，-14。。。
n=4:1，-4，7，-10，（18），-30。。。
n=5:1，-5，11，-18，33，（-60）。。。
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|
数学
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表[级数系数[积[1/（1+x^k）^（n-k+1），{k，1，n}]，{x，0，n}，{n，0，27}]
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A296164型
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| a（n）=[x^n]产品{k>=1}（（1+x^k）/（1+x^（3*k））^n。 |
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+10
三
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1, 1, 3, 10, 35, 131, 498, 1919, 7459, 29170, 114653, 452552, 1792754, 7124040, 28386081, 113372690, 453743907, 1819317153, 7306575042, 29386858821, 118348662525, 477188876405, 1926137365804, 7782398551661, 31472648050930, 127384123318906, 515978637418884
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）=[x^n]产品{k>=1}1/（（1-x^（6*k-1））*（1-x*（6*k-5））^n。
a（n）~c*d^n/sqrt（n），其中d=4.129321588075726742506…和c=0.25764349816429874321-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月18日
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|
数学
|
表[级数系数[积[（1+x^k）/（1+x^（3k）））^n，{k，1，n}]，{x，0，n}]，{n，0，26}]
表[系列系数[乘积[1/（（1-x^（6k-1））（1-x^（6k-5）））^n，｛k，1，n｝]，｛x，0，n｝]，｛n，0，26｝]
（*常数{d，c}:*）用[{k=3}，{1/r，Sqrt[QPochhammer[-1，（r*s）^k]/（2*Pi*（r^2*s*导数[0，2][QPochammer][-1，r*s]-k^2*（r*s]）^][-1，（r*s）^k]）]}/。FindRoot[{s==QPochhammer[-1，r*s]/QPochharmer[-1-，（r*s）^k]，QPochchamer[-1,（r*s^k]+k*（r*s-）^k*导数[0，1][QPochhamer][-1，（r**s）^k]==r*导数[0,1][qPochhammeter][-1,r*s]}，{r，1/4}，}s，2}，工作精度->70]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月17日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A304626型
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| a（n）=[x^n]产品{k>=1}（（1+x^k）/（1+x^（n*k））^n。 |
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+10
三
|
|
|
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1, 0, 1, 10, 47, 201, 849, 3578, 15147, 64516, 276268, 1188342, 5130987, 22226036, 96543989, 420368843, 1834203939, 8018057328, 35107961157, 153950675566, 675978772306, 2971700764920, 13078268135661, 57613905606250, 254038914924767, 1121081799217206, 4951199308679965
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n/sqrt（n），其中d=A270914型=4.502476747617354487738…和c=0.2605422331424384694-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月16日
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|
数学
|
表[级数系数[积[（1+x^k）/（1+x^（nk）））^n，{k，1，n}]，{x，0，n}]，{n，0，26}]
表[级数系数[积[（1+x^k）^n，{k，1，n-1}]，{x，0，n}]，}n，0，26}]
表[级数系数[（QPochhammer[-1，x，1+n]/QPochharmer[-1,x^n，1+n]）^n，{x，0，n}]，{n，0，26}]
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交叉参考
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|
关键词
|
非n
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|
作者
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|
状态
|
经核准的
|
| |
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|
A341265型
|
| （-1+Product_{k>=1}1/（1+x^k））^n中x^（2*n）的系数。 |
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+10
三
|
|
|
|
1, 0, 2, 3, 10, 25, 71, 203, 562, 1650, 4667, 13673, 39427, 115440, 336639, 987628, 2898658, 8529257, 25134200, 74173606, 219207815, 648546314, 1921045953, 5695642513, 16902924883, 50203798050, 149229323544, 443895849894, 1321292939459, 3935377071154, 11728037768186
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n/sqrt（n），其中d=3.0304421895741205068557989718626198523346…和c=0.231937765749524663766211041144-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年2月20日
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MAPLE公司
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g： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（添加（[0，d，-d，d]
[1+irem（d，4）]，d=numtheory[除数]（j））*g（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
b： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，`if`（k=1，g（n+1），
（q->加（b（j，q）*b（n-j，k-q），j=0..n））（iquo（k，2）））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
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数学
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表[级数系数[（-1+1/QPochhammer[-x，x]）^n，{x，0，2 n}]，{n，0，30}]
A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n==0，1，-k和[A[n-j，k]和[Mod[d，2]d，{d，除数[j]}]，{j，1，n}]/n]；T[n_，k_]：=和[（-1）^i二项式[k，i]A[n，k-i]，{i，0，k}]；表[T[2n，n]，{n，0，30}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000700型,A081362号,A255526型,A324595型,A338463,A340987型,A341241型,A341243型,A341244型,A341245型,A341246型,A341247,A341251型,A341253型,A341263型,A341279型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A300458型
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| a（n）=[x^n]产品{k=1..n}1/（1+x^k）^（n^k）。 |
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+10
2
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1, -1, -1, -10, 11, 374, 9792, 183847, 3469427, 65038049, 1195396233, 19667738452, 189089161562, -6219720781782, -606316892131934, -35104997710496175, -1795953382595105853, -88223902016631657740, -4283800987347611165184, -207864171877269042498096, -10102590396625592962089500
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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例子
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乘积{k>=1}1/（1+x^k）^（n^k）展开式中x^k的系数表开始于：
n=0:（1），0，0，0,0，0。。。
n=1:1，（-1），0，-1，1，-1。。。
n=2:1，-2，（-1），-4，3，-2。。。
n=3:1，-3，-3，（-10），6，15。。。
n=4:1，-4，-6，-20，（11），104。。。
n=5:1，-5，-10，-35，20，（374）。。。
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数学
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表[级数系数[乘积[1/（1+x^k）^（n^k），{k，1，n}]，{x，0，n}]，{n，0，20}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A081362号,A252654个,A255526型,A252782型,A255672型,A270917型,A270922型,A281266号,A281267号,A281268型,A283333型,2005年2月,A300456型,A300457型.
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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