搜索： a232631-编号：a23263l
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A023022号
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| 将n分为两个相对素部分的分区数。在初始项之后，这是“半衰期”函数phi（n）/2(A000010号（n） /2）。
（原名N0058）
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81
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1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 6, 3, 4, 4, 8, 3, 9, 4, 6, 5, 11, 4, 10, 6, 9, 6, 14, 4, 15, 8, 10, 8, 12, 6, 18, 9, 12, 8, 20, 6, 21, 10, 12, 11, 23, 8, 21, 10, 16, 12, 26, 9, 20, 12, 18, 14, 29, 8, 30, 15, 18, 16, 24, 10, 33, 16, 22, 12, 35, 12, 36, 18, 20, 18, 30, 12, 39, 16, 27, 20, 41, 12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,4
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评论
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n阶线性分式变换的次数。此外，半衰期函数可用于构造包含所有整数的树。在第零秩上，我们只有整数1和2：1和2的直接“祖先”是（1:3,4,6 2:5,8,10,12）等-贝诺伊特·克洛伊特2002年6月3日
地板的莫比乌斯变换（n/2）-保罗·巴里2005年3月20日
还有许多不同种类的正n边形，一个是凸的，另一个是自相交的-莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月20日
cos（2*Pi/n）的最小多项式的次数。最初的几个是
1:x-1
2:x+1
3:2*x+1
4:x（4：x）
5:4*x^2+2*x-1
6:2*x-1
7:8*x^3+4*x^2-4*x-1
8:2*x^2-1
9:8*x^3-6*x+1
10:4*x^2-2*x-1
11:32*x^5+16*x^4-32*x^3-12*x^2+6*x+1
这些多项式有可解的伽罗瓦群，因此它们的根可以用根表示。（结束）
a（n）是区间[0,1]中有理数p/q的数量，使得p+q=n-杰弗里·克雷策2011年10月10日
似乎对于n>2，a（n）=A023896号（n） /n.此外，当且仅当n是素数时，此序列中的记录似乎出现在n>2处。例如，记录发生在n=5、7、11、13、17…、。。。，所有这些都是质数-约翰·莱曼2012年3月26日
a（n）是s（n）^2=（2*sin（Pi/n））^2的代数数的次数，从a（1）=1开始。s（n）=2*sin（Pi/n）是内接在半径R的圆中的正n边的长度比边/R（以某些长度单位表示）。关于s（n）^2的最小多项式的系数表，请参见A232633型.
（结束）
具有相对素数长度和宽度的不同矩形的数量，使得L+W=n，W<=L。对于a（17）=8；矩形为1 X 16、2 X 15、3 X 14、4 X 13、5 X 12、6 X 11、7 X 10、8 X 9-韦斯利·伊万·赫特2017年11月12日
在包括a（1）=1之后，Brändli和Beyne使用的任何简化残渣系统mod*n的元素数为a（n）。请参阅以下示例-沃尔夫迪特·朗2020年4月22日
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参考文献
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G.Pólya和G.Szegő，分析I中的问题和定理（Springer 1924，1972年再版），第八部分，第一章，第二节。6、问题60和61。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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链接
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Gerod Brändli和Tim Beyne，剩余量减半的修正同余模n，arXiv:1504.02757[math.NT]，2016年。
Pinthira Tangsupphathawat、Takao Komatsu和Vichian Laohakosol，代数余弦值的极小多项式II，国际期刊。，第21卷（2018年），第18.9.5条。
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配方奶粉
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当n>=3时，a（n）=φ（n）/2。
通用公式：x*（x-1）/2+（1/2）*Sum_{k>=1}mu（k）*x^k/（1-x^k）^2-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月13日
a（n）=总和{d|n}moebius（n/d）*楼层（d/2）-米歇尔·马库斯2021年5月25日
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例子
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a（15）=4，因为有4个由15组成的分区，分成两个相对素数部分：14+1、13+2、11+4、8+7-杰弗里·克雷策2015年1月25日
n=1的最小非负约化残数系统mod*（n）是{0}，因此a（1）=1；对于n=9，它是{1，2，4}，因为5==4（mod*9），因为-5==4。因此a（9）=φ（9）/2=3。请参阅上文关于Brändli和Beyne的评论-沃尔夫迪特·朗2020年4月22日
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MAPLE公司
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如果n=2，则
1;
其他的
数值理论[φ]（n）/2；
结束条件：；
结束进程：
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数学
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连接[{1}，表[EulerPhi[n]/2，{n，3，100}]]（*改编自文森佐·利班迪2018年8月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<=2，1，eulerphi（n）/2）；
/*用于打印cos（2*Pi/n）的最小多项式*/
默认值（realprecision，110）；
对于（n=1，33，print（n，“：”，algdep（cos（2*Pi/n），a（n）））；
（哈斯克尔）
a023022 n=长度[（u，v）|u<-[1..div n 2]，
设v=n-u，gcd u v==1]
（Python）
从理论意义到实践意义
def a（n）：如果n<3 else totient（n）/2，则返回1#因德拉尼尔·戈什2017年3月30日
（岩浆）[1]猫[EulerPhi（n）/2:n in[3..100]]//文森佐·利班迪，2018年8月19日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A232633型
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| s（n）^2=（2*sin（Pi/n））^2的最小多项式的系数表。 |
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0, 1, -4, 1, -3, 1, -2, 1, 5, -5, 1, -1, 1, -7, 14, -7, 1, 2, -4, 1, -3, 9, -6, 1, 1, -3, 1, -11, 55, -77, 44, -11, 1, 1, -4, 1, 13, -91, 182, -156, 65, -13, 1, -1, 6, -5, 1, 1, -8, 14, -7, 1, 2, -16, 20, -8, 1, 17, -204, 714, -1122, 935, -442, 119, -17, 1, -1, 9, -6, 1, -19, 285, -1254, 2508, -2717, 1729, -665, 152, -19, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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此表第n行的长度为1+A023022号（n） ，n>=0，即2、2、2和3、2、4、3、4、6、3、7、4、5、5、9、4，。。。
s（n）：=2*sin（Pi/n）是指n>=2时，内切圆半径为R的正n边形的长度比边/R（在某些单位中）。s（1）=0。一般来说，s（n）^2=4-rho（n）*2，其中rho（n）：=2*cos（Pi/n），对于n>=2，这是正则n-gon中的长度比（最小对角线）/s（n）。如果n是偶数，比如2*l，l>=1，那么s（2*l）^2=2-ρ（l）（因为ρ（2*l）^2=ρ（l）+2）。因此，如果n是偶数s（n）^2是代数数域Q（rho（n/2））中的整数，如果n为奇数，则它是Q（rho（n））中整数。s（n）^2的最小多项式（称为MPs2（n，x））的偶数和奇数n的系数表已在A232631型和A232632型分别是。有关详细信息，请参阅这些条目以及中Q（2cos（pi/n））论文表4的链接A187360型对于rho（n）的最小多项式C（n，x）的零点的幂基表示。
因此，MPs2（n，x）的度deg（n）分别是n偶数或奇数的delta（n/2）或delta（n），其中delta（n）=A055034号（n） ●●●●。这意味着deg（1）=deg（2）=1，deg（n）=phi（n）/2=A023022号（n） ，n>=3。度（n）=A023022号（n） ●●●●。
特别是MPs2（p，x）=乘积（x-2*（1+cos（Pi*（2*j+1）/p）），j=0..（p-3）/2），对于p是奇素数(A065091号).
该计算的动机是S.Mustonen、P.Haukkanen和J.K.Merikoski的预印本，名为“与正多边形的平方对角线相关的多项式”，2013年11月16日。
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=[x^m]MPs2（n，x），n>=0，m=0，1。。。。，deg（n），s（n）^2=（2*sin（Pi/n））^2的最小多项式MPs2（n，x）。度为度（n）=A023022号（n） ●●●●。
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例子
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表a（n，m）开始于：
------------------------------------------------------------------
n/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
1: 0 1
2: -4 1
3: -3 1
4: -2 1
5: 5 -5 1
6：-1 1
7: -7 14 -7 1
8:2-4 1
9: -3 9 -6 1
10: 1 -3 1
11:-11 55-77 44-11 1
12: 1 -4 1
13: 13 -91 182 -156 65 -13 1
14: -1 6 -5 1
15: 1 -8 14 -7 1
16: 2 -16 20 -8 1
17: 17 -204 714 -1122 935 -442 119 -17 1
18: -1 9 -6 1
19: -19 285 -1254 2508 -2717 1729 -665 152 -19 1
20: 1 -12 19 -8 1
...
MPs2（7，x）=乘积（x-2*（1+cos（Pi*（2*j+1）/7）），j=0..2）=（x-（2+rho（7））*（x-x^2+x^3，其中z=rho（7），这是由于C（7，z）=z^3-z^2-2*z+1，最后
MPs2（7，x）=-7+14*x-7*x^2+x^3。
MPs2（14，x）=乘积（x-2*（1-cos（Pi*（2*j+1）/7）），j=0..2）=（x-（2-rho（7））*（x-。
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数学
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压扁[系数列表[表[最小多项式[（2*Sin[Pi/n]）^2，x]，{n，1，20}]，x]]（改编自Jean-François Alcover，A187360型)-Wolfdieter Lang，2013年12月24日
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交叉参考
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关键词
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签名，标签，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A232632型
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| s（2*l+1）^2=（2*sin（Pi/（2*1+1）））^2的最小多项式的系数表。 |
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三
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0, 1, -3, 1, 5, -5, 1, -7, 14, -7, 1, -3, 9, -6, 1, -11, 55, -77, 44, -11, 1, 13, -91, 182, -156, 65, -13, 1, 1, -8, 14, -7, 1, 17, -204, 714, -1122, 935, -442, 119, -17, 1, -19, 285, -1254, 2508, -2717, 1729, -665, 152, -19, 1, 1, -16, 60, -78, 44, -11, 1, -23, 506, -3289, 9867, -16445, 16744, -10948, 4692, -1311, 230, -23, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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第l行的长度为delta（2*l+1）+1=A055034号（2*l+1）+1，l>=0。
请参阅上的评论A232631型s（n）=2*sin（Pi/n）的（偶数n的情况）和s（n的）^2的最小多项式。这里n=2*l+1和s（2*l+1）^2=4-rho（2*l+1）^2是代数数域Q（rho（2*l+1））中的整数。s（2*l+1）^2的最小多项式是MPs2（2*1+1，x）=乘积（x-2*（1+cos（Pi*rpnodd（2*1+1，j）/（2*l+1）），j=1..δ（2*1）），l>=0，其中rpnodd（2*1/1）是正奇数<2*1+1的列表，相对素数为2*1+1。rpnodd（2*l+1，j）是这个日益有序的列表中的第j个成员。这里使用了恒等式4-（2*cos（Pi*（2*k+1）/（2*l+1（-（2*k+1），2*l+1）=gcd（-2*（2*k+1），2%l+1）=gcd（2*1+1，-2*（2%k+1）+（2*1））。
这一计算的动机是S.Mustonen、P.Haukkanen和J.K.Merikoski的预印本，称为“与正多边形的平方对角线相关的多项式”，2013年11月16日。
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链接
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配方奶粉
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a（l，m）=[x^m]MPs2（2*l+1，x），l>=1，m=0，1。。。。，delta（l），具有（2*sin（Pi/（2*l+1）））^2的最小多项式MPs2（l，x），如上文注释所述。
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例子
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表a（l，m）开始（n=2*l+1）：
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n、 l \m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
1, 0: 0 1
3, 1: -3 1
5, 2: 5 -5 1
7, 3: -7 14 -7 1
9, 4: -3 9 -6 1
11, 5: -11 55 -77 44 -11 1
13, 6: 13 -91 182 -156 65 -13 1
15, 7: 1 -8 14 -7 1
17, 8: 17 -204 714 -1122 935 -442 119 -17 1
19, 9: -19 285 -1254 2508 -2717 1729 -665 152 -19 1
21, 10: 1 -16 60 -78 44 -11 1
23, 11: -23 506 -3289 9867 -16445 16744 -10948 4692 -1311 230 -23 1
25, 12: 5 -125 875 -2675 4300 -4005 2275 -800 170 -20 1
27, 13: -3 81 -540 1386 -1782 1287 -546 135 -18 1
....
n=29，l=14:29，-101510556，-51272140998，-243542281010，-224808127281，-5135914674，-2900377，-29,1。
n=31，l=15:-31，1240，-14756，82212，-260338，520676，-700910，660858，-447051，219604，-78430，20150，-3627，434，-31，1。
...
s（5）^2=（2*sin（Pi/5））^2=4-rho（5）
=2*（1-cos（Pi*2/5））=2*（1+cos（Pi*3/5）），约1.381966，是MPs2+φ-φ^2）=x^2-5*x+5，其中φ=rho（5）是黄金分割。
行n=17用WolframAlpha的最小多项式[（2*sin（Pi/17））^2，x]=17-204 x+714 x^2-1122 x^3+935 x^4-442 x^5+119 x^6-17 x^7+x^8进行检查。
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数学
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压扁[系数表[表[最小多项式[（2*Sin[Pi/（2*l+1）]）^2，x]，{l，0，15}]，x]]（改编自Jean-François Alcover，A187360型)-Wolfdieter Lang，2013年12月23日
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交叉参考
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关键词
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签名，标签，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A334429飞机
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）给出有理数rho（n）^2上代数数的最小多项式的x^k系数，其中rho（n）=2*cos（Pi/n），对于n>=1。 |
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2
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-4, 1, 0, 1, -1, 1, -2, 1, 1, -3, 1, -3, 1, -1, 6, -5, 1, 2, -4, 1, -1, 9, -6, 1, 5, -5, 1, -1, 15, -35, 28, -9, 1, 1, -4, 1, 1, -21, 70, -84, 45, -11, 1, -7, 14, -7, 1, 1, -24, 26, -9, 1, 2, -16, 20, -8, 1, 1, -36, 210, -462, 495, -286, 91, -15, 1, -3, 9, -6, 1, -1, 45, -330, 924, -1287, 1001, -455, 120, -17, 1, 1, -12, 19, -8, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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有理数ρ（n）=2*cos（Pi/n）上代数数的次数是δ（n）=A055034号（n） ●●●●。对于n=2*m，ρ（n）^2的阶为δ（m），对于m>=1。这是由于三角恒等式（半角公式）rho（2*m）^2=2+rho（m）。对于m>=0 rho（2*m+1），^2具有度δ（2*l+1）。
对于字段扩展Q（rho（n）），请参阅W.Lang链接，其中rho（n）的最小多项式C（n，x）如表2所示。另请参见A187360型.
在这两种情况下，ρ（n）的共轭（在Q上），即最小多项式C（n，x）的根进入。这是元素2*cos（Pi*（2*m+1）/n）=R（2*m+1，rho（n））的集合，对于来自{0..floor（（n-1）/2）}的m，gcd（2*m2+1，n）=1。多项式R（n，x）=2*T（n，x/2）是切比雪夫T多项式的一元形式；看见A127672号其系数。这个数字列表2*m+1被命名为rpnodd（n）（例如，n=12，rpnodd（n）=[1，5，7，11]）#rpnodd（n）=增量（n）。对于j=1，2，…，ρ（n）的共轭物为ρ（n；j）=2*cos（Pi*rpnodd（n。。。，当n>=2时，δ（n）和ρ（n；1）=rho（n）。因为rpnodd（1）是空集，所以需要一个单独的情况，即rho（1；1）=-2。
ρ（2*m）^2的最小多项式是MPc2（m，x）=Product_{j=1..δ（m）}（x-（2+rho（m；j））=Product_{j=1.δ（m m）^k，其中k>=δ（m）替换，将Q（rho（m））的元素写在幂基中。请注意，此计算中未使用ρ（m）的三角形式。
在奇数n的情况下，我们对rho（2*m+1）^2的共轭物使用公式R（2*m+1，x）^2=R（2*（2*m2+1），x）+2，这是从R（n，x）*R（k，x）=R（n+m，x）+2的乘积公式得到的。然后，对于上面定义的减少的2*m+1值，R（2*（2*m+1），x）+2可以替换为-R（rpnodd（2*m+1）_j，x）+2，对于j=1。。。，三角洲（2*m+1）。因此，MPc2（2*m+1，x）=Product_{j=1..delta（2*m+1）}（x-（2-R（rpnodd（2*m2+1）_j，x）），对于m>=1。但对于m=0（n=1），ρ（1）^2=（-2）^2的次数是1，因此MPc2（1，x）=x-4。
这些多项式出现在萨拉斯和索卡尔的论文中，参见表1，第64页或第620页，n=2..16，其中rho（n）^2称为贝拉哈数B_n加里·亚当森.
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=[x^k]MPc2（n，x），对于n>=1，且k=0，1，2。。。，A023022号（n） ，使用A023022号（1） =1。关于奇数和偶数n的Mpc2（n，x）公式，请参阅上面的注释。
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例子
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不规则三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
1: -4 1
2: 0 1
3: -1 1
4; -2 1
5: 1 -3 1
6: -3 1
7: -1 6 -5 1
8: 2 -4 1
9: -1 9 -6 1
10: 5 -5 1
11: -1 15 -35 28 -9 1
12: 1 -4 1
13: 1 -21 70 -84 45 -11 1
14: -7 14 -7 1
15: 1 -24 26 -9 1
16: 2 -16 20 -8 1
17: 1 -36 210 -462 495 -286 91 -15 1
18: -3 9 -6 1
19: -1 45 -330 924 -1287 1001 -455 120 -17 1
20: 1 -12 19 -8
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