搜索： a131946-编号：a13194六
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A111932号
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| q*（psi（q）*psi（q^3））^2的q次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数。 |
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1, 2, 1, 4, 6, 2, 8, 8, 1, 12, 12, 4, 14, 16, 6, 16, 18, 2, 20, 24, 8, 24, 24, 8, 31, 28, 1, 32, 30, 12, 32, 32, 12, 36, 48, 4, 38, 40, 14, 48, 42, 16, 44, 48, 6, 48, 48, 16, 57, 62, 18, 56, 54, 2, 72, 64, 20, 60, 60, 24, 62, 64, 8, 64, 84, 24, 68, 72, 24, 96, 72, 8, 74, 76, 31
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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参考文献
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布鲁斯·伯恩特（Bruce C.Berndt），《拉马努扬的笔记本第三部分，斯普林格·弗拉格》（Ramanujan’s Notebooks Part III，Springer-Verlag），见第223页条目3（III）。
Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第87页，等式（33.2）。
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链接
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配方奶粉
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（1/3）*（b（q^2）^2/b（q））*。
（eta（q^2）*eta（q ^6））^4/（eta。
周期6序列的欧拉变换[2，-2，4，-2，2，-4，…]。
如果p>3，则与a（2^e）=2^e，a（3^e）=1，a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u*w*（u-4*v）-v*（v-4*w）^2。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（6 t））=（3/4）（t/i）^2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A131946号. -迈克尔·索莫斯2013年9月19日
G.f.：和{k>0}k*x^k*（1-x^（2*k））^2/（1-x ^（6*k）。
a（3*n）＝a（n）、a（2*n）＝2*a（n）。
Dirichlet g.f.：（1-1/2^s）*（1-1/3^（s-1））*泽塔。
求和{k=1..n}a（k）~c*n^2，其中c=Pi^2/24=0.411233(A222171号). （结束）
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例子
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G.f.=q+2*q^2+q^3+4*q^4+6*q^5+2*q*6+8*q^7+8*q*8+q^9+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，和[Mod[n/d，2]d KroneckerSymbol[9，d]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2013年9月19日*）
a[n_]：=级数系数[q（QPochhammer[q^2]QPochharmer[q ^6]）^4/（QPochammer[q]QPochchammer[q^3]）^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年9月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（n/d%2）*d*（d%3>0））}；
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<1，0，a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k，2]；如果（p=2，p^e，如果（p==3，1，（p^（e+1）-1）/（p-1））））}；
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，n---；a=x*O（x^n）；polcoeff（（eta（x^2+a）*eta（x^6+a））^4/（eta；
（Sage）A=模块形式（Gamma0（6），2，prec=50）。basis（）；A[1]+2*A[2]#迈克尔·索莫斯2013年9月19日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,多重
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作者
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经核准的
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186100澳元
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| 2*a（q^2）^2-a（q）^2的q次幂展开式，其中a（）是三次AGMθ函数。 |
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1, -12, -12, -12, -12, -72, -12, -96, -12, -12, -72, -144, -12, -168, -96, -72, -12, -216, -12, -240, -72, -96, -144, -288, -12, -372, -168, -12, -96, -360, -72, -384, -12, -144, -216, -576, -12, -456, -240, -168, -72, -504, -96, -528, -144, -72, -288
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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b（x）*b（x^2）-c（x）*c（x ^2）的x次幂展开式，其中b（）、c（）是三次AGM函数。
（φ（-x）*phi（-x^3））^2-8*x*（psi（x）*psi（x^3。
（P（q）-2*P（q^2）-3*P（q^3）+6*P（q ^6））/2的q次幂展开式，其中P（）是Ramanujan-Eisenstein级数-迈克尔·索莫斯2015年7月7日
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例子
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G.f.=1-12*q-12*q^2-12*q^3-12*q^4-72*q^5-12*q^6-96*q^7+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，-12除数和[n，#Boole[1==GCD[#，6]]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年7月7日*）
a[n_]：=系列系数[（椭圆Theta[4，0，x]椭圆Theta[4，0、x^3]）^2-1/2（椭圆Theta[2，0，x ^（1/2）]椭圆Theta[2]，0，x ^（3/2）]）^ 2，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年7月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-12*sumdiv（n，d，d*（1==gcd（d，6）））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-12*方向（p=2，n，1/（1-X）/（1-（p>3）*p*X））[n]）}；
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A131947号
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| （1-（φ（-q）*phi（-q^3））^2）/4的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujan theta函数。 |
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1, -1, 1, -5, 6, -1, 8, -13, 1, -6, 12, -5, 14, -8, 6, -29, 18, -1, 20, -30, 8, -12, 24, -13, 31, -14, 1, -40, 30, -6, 32, -61, 12, -18, 48, -5, 38, -20, 14, -78, 42, -8, 44, -60, 6, -24, 48, -29, 57, -31, 18, -70, 54, -1, 72, -104, 20, -30, 60, -30, 62
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第85页，等式（32.66）。
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链接
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配方奶粉
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如果p>3，a（n）与a（2^e）=3-2^（e+1），a（3^e）=1，a（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1）相乘。
G.f.：Sum_｛k>0｝k*（-x）^k/（1-x^k）*Kronecker（9，k）=（（theta_3（-x）*theta_3（-x^3））^2-1）/4。
Dirichlet g.f.：（1-1/2^（s-2））*（1-1/3^（s-1））*zeta（s-1）*zeta（s）-阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月12日
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例子
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G.f.=x-x^2+x^3-5*x^4+6*x^5-x^6+8*x^7-13*x^8+x^9-6*x^10+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[（1-（椭圆Theta[4，0，q]椭圆Theta[4，0、q^3]）^2）/4，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月11日*）
a[n_]：=级数系数[（1-（QPochhammer[q]QPochharmer[q^3]）^4/（QPochammer[q^2]QPochchammer[q^6]）^2）/4，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月11日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，和[d{0，1，-1，1}[[Mod[d，6]+1]]，{d，除数@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月11日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，和[n/d{6，1，-3，-2，-3，1}[[Mod[d，6]+1]]，{d，除数@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年11月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d*（abs（d%6-3）==2）-（abs；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（1-（eta（x+a）*eta（x^3+a））^4/（eta；
（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，0，a=因子（n）；prod（k=1，矩阵大小（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==2，3-p^（e+1），p==3，1，（p^，e+1）/（p-1）））}；
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的,多重
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