搜索： a116091-编号：a116091
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1, 1, -3, -11, 1, 81, 141, -363, -1791, -479, 13597, 29877, -54911, -353807, -223443, 2539989, 6806529, -8302527, -73999299, -73313931, 489731841, 1584548241, -1110170163, -15812965611, -21391839999, 94696016481
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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（1+x-2*x^2）^n的中心系数。
1/sqrt（1+8*x^2）或（1,0，-4,0,24,0，…）的二项式变换。
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，ex.7.56，p.575。
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链接
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哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
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配方奶粉
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例如：exp（x）*BesselI（0，2*sqrt（-2）*x）；
a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k）*binominal（2*k，k）*（-2）^k。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项（n，k）*二项（n-k，k）x（-2）^k。
a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}二项式（n，k）^2*（-2）^k。
G.f.:A（x）=1/（2*T（0）+3*x-1），其中T（k）=1-2*x/（1+x/T（k+1））；（连分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月23日
递归D-有限：a（n+2）=（（2*n+3）*a（n+1））/。（参见Graham、Knuth和Patashnik）-亚历山大·波沃洛茨基2012年8月23日
a（n）=表层（[1/2-n/2，-n/2]，[1]，-8）-彼得·卢什尼2014年9月18日
a（n）=（3/2）*（9/2）^n*和{k>=0}（-1/2）^k*二项式（n+k，k）^2-彼得·巴拉2017年3月2日
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MAPLE公司
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a:=n->浅层（[1/2-n/2，-n/2]，[1]，-8）；
seq（圆形（evalf（a（n），99）），n=0..30）#彼得·卢什尼2014年9月18日
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数学
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表[（-3）^n*LegendreP[n，-1/3]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年7月23日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-2*x+9*x^2]，{x，0，50}]，x](*G.C.格鲁贝尔2017年2月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^25）；Vec（1/sqrt（1-2*x+9*x^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年2月18日
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作者
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经核准的
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1, 20, 924, 48620, 2704156, 155117520, 9075135300, 538257874440, 32247603683100, 1946939425648112, 118264581564861424, 7219428434016265740, 442512540276836779204, 27217014869199032015600, 1678910486211891090247320, 103827421287553411369671120, 6435067013866298908421603100
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=和{i=0..n}和{j=0..n{和{k=0..nneneneep二项式（n，i）*二项式-贝诺伊特·克洛伊特2005年3月8日
O.g.f.（a（0）：=1）：（cb（x^（1/3））+sqrt（2）*PA000984号)和P（x）：=P（-1/2,4*x）=1/sqrt（1+4*x+16*x^2）（o.g.f.ofA116091号，其中P（x，z）是勒让德多项式的o.g.f.）-沃尔夫迪特·朗2011年3月24日
外径也为1+20*x*4F3（1,7/6,3/2,11/6；4/3,5/3,2；64*x）-R.J.马塔尔2012年9月17日
n（3n-1）*（3n-2）*a（n）=8*（6n-5）*（6n-1）*-R.J.马塔尔2012年9月17日
a（n）=GegenbauerC（3*n，-3*n，-1））-彼得·卢什尼2016年5月7日
a（n）=表层（[-3*n，-3*n]，[1]，1）-彼得·卢什尼2018年3月19日
素数p>=5以及正整数m和k的a（m*p^k）==a（m*1）（modp^（3*k））。
a（n）=[（x*y）^（3*n）]（1+x+y）^（6*n）。囊性纤维变性。A001448号.（结束）
猜想：a（n）=[x^n]G（x）^（2*n），其中G（x。。。。代数函数G（x）满足二次方程x*G（x，^2-（1-5*x-5*x^2+x^3）*G（x）+（1+x）^4=0。囊性纤维变性。A001450元. -彼得·巴拉2022年10月27日
a（n）=和{k=0..3*n}二项式（3*n+k-1，k）-彼得·巴拉，2024年6月4日
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MAPLE公司
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a:=n->超深层（[-3*n，-3*n]，[1]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..13）#彼得·卢什尼2018年3月19日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{表示（n=0100，写入（“b066802.txt”，n，“”，二项式（6*n，3*n））}\\哈里·史密斯2010年3月28日
（岩浆）[二项式（6*n，3*n）：n in[0..15]]//G.C.格鲁贝尔2020年2月17日
（Sage）[（0..15）中n的二项式（6*n，3*n）]#G.C.格鲁贝尔2020年2月17日
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非n,容易的
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经核准的
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1, 35, 1716, 92378, 5200300, 300540195, 17672631900, 1052049481860, 63205303218876, 3824345300380220, 232714176627630544, 14226520737620288370, 873065282167813104916, 53753604366668088230810, 3318776542511877736535400, 205397724721029574666088520
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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这也出现在A001700号（奇数帕斯卡行中的中心二项式）：二项式（2*（3*n）+1,3*n+1）。
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配方奶粉
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a（n）=二项式（2*（3*n+1），3*n/1）/2，n>=0。
a（n）=二项式（2*（3*n）+1,3*n+1），n>=0。
O.g.f.：（cb（x^（1/3））-平方（2）*P（x^（1/3），
cb（x）：=1/sqrt（1-4*x）（o.g.f.ofA000984号)和P（x）：=P（-1/2,4*x）=1/sqrt（1+4*x+16*x^2）（o.g.f.of16091年，其中P（x，z）是勒让德多项式的o.g.f.）。
a（n）=（1/2）*Sum_{k=0..3*n+1}二项式（3*n+1，k）^2。
a（n）=（1/2）*超深层（[-1-3*n，-1-3*n]，[1]，1）。
a（n）=8*（2*n-1）*（6*n-1。（结束）
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数学
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表[c=3n+1；二项式[2c，c]/2，{n，0，20}](*哈维·P·戴尔2012年5月10日*）
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A307884型
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| 平方数组T（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中k列是1/sqrt（1+2*（k-1）*x+（（k+1）*x）^2）的展开式。 |
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1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, -1, -2, 1, 1, -2, -3, 0, 1, 1, -3, -2, 11, 6, 1, 1, -4, 1, 28, 1, 0, 1, 1, -5, 6, 45, -74, -81, -20, 1, 1, -6, 13, 56, -255, -92, 141, 0, 1, 1, -7, 22, 55, -554, 477, 1324, 363, 70, 1, 1, -8, 33, 36, -959, 2376, 2689, -3656, -1791, 0, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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更一般地说，k列是任意非零实数r的有理函数r/（（1-r*x）*（1-r**）+r-1+（k-r+1）*r*x*y）的对角线-Seiichi Manyama先生2020年7月22日
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配方奶粉
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T（n，k）是（1-（k-1）*x-k*x^2）^n展开式中x^n的系数。
T（n，k）=和{j=0..n}（-k）^j*二项式（n，j）^2。
T（n，k）=和{j=0..n}（-k-1）^（n-j）*二项式（n，j）*二项式（n+j，j）。
n*T（n，k）=-（k-1）*（2*n-1）*T（n-1，k）-（k+1）^2*（n-1）*T（n-2，k）。
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例子
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方形数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, ...
1, -2, -3, -2, 1, 6, 13, ...
1, 0, 11, 28, 45, 56, 55, ...
1, 6, 1, -74, -255, -554, -959, ...
1, 0, -81, -92, 477, 2376, 6475, ...
1, -20, 141, 1324, 2689, -804, -20195, ...
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数学
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T[n_，k_]：=和[如果[k==j==0，1，（-k）^j]*二项式[n，j]^2，{j，0，n}]；表[T[k，n-k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月13日*）
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经核准的
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1, 42, 2145, 117572, 6686100, 388934370, 22974421470, 1372238454600, 82653088824684, 5011211083256840, 305437356823765089, 18697712969443807572, 1148770108115543559100, 70797430141465286938140, 4374750896947475198160300, 270950190057528375091435920
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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这也出现在A001700号：二项式（2*（3*n+1）+1，（3*n+1）+1）/3。
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配方奶粉
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a（n）=二项式（2*（3*n+2），3*n=2）/3！，n> =0。
a（n）=二项式（3*（2*n+1），3*n+2）/3，n>=0。
O.g.f.：（cb（x^（1/3））-平方（2）*P（x^（1/3），
cb（x）：=1/sqrt（1-4*x）（o.g.f.ofA000984号)和P（x）：=P（-1/2,4*x）=1/sqrt（1+4*x+16*x^2）（o.g.f.of16091年，其中P（x，z）是勒让德多项式的o.g.f.）。
a（n）=（1/6）*Sum_{k=0..3*n+2}二项式（3*n+2，k）^2。
a（n）=（1/6）*超深层（[2-3*n，-2-3*n]，[1]，1）。
a（n）=8*（2*n+1）*（6*n+1）*（6*n-1）/（n*（3*n+1）*（3*n+2））*a（n-1）。（结束）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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经核准的
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1, 2, -2, -28, -74, 92, 1324, 3656, -4826, -70228, -197372, 267896, 3921724, 11126936, -15347432, -225505648, -643622906, 897078476, 13214495764, 37869162392, -53170602284, -784672445368, -2255295815192, 3183829452272, 47051201187676, 135537088268792, -192142210448216
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
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配方奶粉
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标度勒让德多项式在1/2:2^（2n）P（n，1/2）处求值-迈克尔·索莫斯2001年12月3日
a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}C（n，k）^2*（-3）^k-贝诺伊特·克洛伊特，2003年10月25日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，k）*C（2（n-k），n）（-4）^k-保罗·巴里2004年9月8日
带递归的D-有限：n*a（n）+2*（1-2*n）*a（n-1）+16*（n-1-R.J.马塔尔2011年11月14日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+x*（1-x）*（4*k+1）/（4*k+2-x*（1x）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月6日
a（n）~2^（2*n+1）*sin（Pi/12*（4*n+5））/（3^（1/4）*sqrt（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年7月30日
a（n）=[x^n]（（1-x）*（1+3*x））^n-彼得·巴拉2015年8月16日
a（n）=4^n*超深层（[-n，1+n]，[1]，1/4）-彼得·卢什尼2016年5月9日
a（n）=4^（2*n+1）*Sum_{k>=n}（-1）^（n+k）*C（k，n）^2*（1/3）^。
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，-n]，[1]，-3）。
a（n）=（4/3）*（16/3）^n*超几何（[n+1，n+1，[1]，-1/3）。（结束）
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例子
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G.f.=1+2*x-2*x^2-28*x^3-74*x^4+92*x^5+1324*x^6+3656*x^7+。。。
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MAPLE公司
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a:=n->4^n*超深层（[-n，1+n]，[1]，1/4）；
seq（简化（a（n）），n=0..26）#彼得·卢什尼2016年5月9日
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数学
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表[2^（2n）LegendreP[n，1/2]，{n，12}]
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=2^（2*n）*subst（pollegendre（n），x，1/2）}/*迈克尔·索莫斯2001年12月3日*/
（PARI）a（n）=极系数（（（1-x）*（1+3*x））^n，n）\\米歇尔·马库斯2015年8月16日
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经核准的
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1, 3, 1, -45, -255, -477, 2689, 25203, 82945, -90045, -2379519, -11581677, -12063999, 197669475, 1423716225, 3645266355, -12180238335, -156702949245, -626511576575, 51239061075, 15179398450945, 87687927568035, 151934475887745
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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（1+3*x-4*x^2）^n的中心系数。
（-1）^n*a（n）是（1+2*i*x）^n系数的平方和，其中i=sqrt（-1）（参见PARI代码）-乔格·阿恩特2011年7月6日
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链接
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哈塞内·贝尔巴赫尔和阿卜杜勒加尼·梅多伊，二项系数平方和的递推关系，Quaestions Mathematicae（2021）第44卷，第5期，615-624。
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配方奶粉
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例如：exp（3*x）*BesselI（0,4*I*x），I=sqrt（-1）。
a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}二项式（n，k）^2*（-4）^k。
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，-n]，[1]，-4）-彼得·卢什尼2014年9月23日
递归D-有限：n*a（n）+3*（-2*n+1）*a（n-1）+25*（n-1-R.J.马塔尔2014年11月27日
a（n）=（5^n）*P（n，3/5），其中P（n、x）是第n个勒让德多项式。
a（n）=[x^n]（（1-x）*（1+4*x））^n。
a（n）=5^（2*n+1）*Sum_{k>=n}（-1）^（n+k）*二项式（k，n）^2*（1/4）^。
a（n）=（5/4）*（25/4）^n*超深层（[n+1，n+1，[1]，-1/4）。（结束）
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数学
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表[（-5）^n*LegendreP[n，-3/5]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年7月23日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-6x+25x^2]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2014年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={local（v=Vec（（1+2*I*x）^n））；（-1）^n*sum（k=1，#v，v[k]^2）；}/*Joerg Arndt，2011年7月6日*/
（PARI）a（n）={local（v=Vec（（1+2*I*x）^n））；总和（k=1，#v，real（v[k]）^2-imag（v[k]）^2）；}/*Joerg Arndt，2011年7月6日*/
（鼠尾草）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A335310型
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| a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*二项式。 |
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三
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1, 1, -2, 11, -74, 477, -804, -84425, 3315334, -102211207, 3005297956, -88338323709, 2627003399164, -78764141488043, 2341929797646648, -66394419743289105, 1609460569459689286, -18001777147777896975, -1625299659961386724524, 196005371138608184827003
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1-（n-2）*x-（n-1）*x^2）^n的中心系数。
a（n）=[x^n]1/sqrt（1+2*（n-2）*x+n^2*x^2）。
a（n）=n！*[x^n]exp（（2-n）*x）*BesselI（0,2*sqrt（1-n）*x）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*（1-n）^k。
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数学
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联接[{1}，表[Sum[二项式[n，k]二项式[n+k，k]（-n）^（n-k），{k，0，n}]，{n，1，19}]]
表[级数系数[1/Sqrt[1+2（n-2）x+n^2 x^2]，{x，0，n}]，{n，0，19}]
表[n！系列系数[Exp[（2-n）x]BesselI[0，2 Sqrt[1-n]x]，{x，0，n}]，{n，0，19}]
表[Hypergeometric2F1[-n，-n，1，1-n]，{n，0，19}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）^2*（1-n）^k）\\米歇尔·马库斯，2020年6月1日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 1, -2, 1, 10, -38, 28, 289, -1262, 1054, 11044, -51302, 45604, 482068, -2319176, 2140129, 22753378, -111964106, 105927508, 1130780062, -5652760340, 5444054956, 58291068808, -294808277414, 287740874260, 3088109246572, -15758505143192, 15541351662484, 167103084713608
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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当n>0时，a（0）=1和a（n）=（1/n）*和{k=1..n}（-3）^（n-k）*二项式（n，k）*二项式（n、k-1）。
总面积：2/（1-4*x+平方（1+4*x+16*x^2））。
a（n）=和{k=0..n}（-3）^k*4^（n-k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，n）/（k+1）。
a（n）~2^（2*n-1/2）*（（sqrt（3）+1）*sin（2*Pi*n/3）+-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年12月4日
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数学
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a[0]=1；a[n]：=和[（-3）^（n-k）*二项式[n，k]*二项法[n，k-1]，{k，1，n}]/n；数组[a，29，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a=1+x*O（x^n））；对于（i=0，n，a=1+x*a/（1+3*x*a））；极坐标（a，n）}
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，sum（k=1，n，（-3）^（n-k）*二项（n，k）*二项式（n，k-1））/n）}
（PARI）N=40；x='x+O（'x^N）；Vec（2/（1-4*x+平方（1+4*x+16*x^2））
（PARI）{a（n）=和（k=0，n，（-3）^k*4^（n-k）*二项式（n，k）*二项式（n+k，n）/（k+1））}
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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经核准的
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1, -4, -8, 224, -1184, -2944, 84736, -467968, -1235456, 35956736, -202108928, -548651008, 16063381504, -91151859712, -251452325888, 7389369073664, -42180470767616, -117581870006272, 3464100777558016, -19854347412176896, -55753417460547584, 1645577388148391936
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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第八个二项式变换是1/sqrt的展开（1-8*x+64*x^2）。
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链接
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配方奶粉
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例如：exp（-4*x）*Bessel_I（0，2*sqrt（-12）*x）。
a（n）=2^n*和{k=0..n}C（n，n-k）*C（n、k）*（-3）^k。
带递归的D-有限：n*a（n）+4*（2*n-1）*a（n-1）+64*（n-1-R.J.马塔尔2012年11月7日
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数学
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系数列表[系列[1/Sqrt[1+8*x+64*x^2]，{x，0，30}]，x](*G.C.格鲁贝尔2019年5月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（1/sqrt（1+8*x+64*x^2））\\G.C.格鲁贝尔2019年5月10日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），30）；系数（R！（1/Sqrt（1+8*x+64*x^2））//G.C.格鲁贝尔，2019年5月10日
（鼠尾草）（1/sqrt（1+8*x+64*x^2））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年5月10日
（GAP）列表（[0..30]，n->2^n*总和（[0..n]，k->（-3）^k*二项式（n，k）*二项法（n，n-k））#G.C.格鲁贝尔2019年5月10日
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容易的,签名
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