| 显示找到的4个结果中的1-4个。
第页1
a（0）=1；对于n>0，a（n）=2^（n-1）*n！。
（原名M3604 N1463）
+10
76
1, 1, 4, 24, 192, 1920, 23040, 322560, 5160960, 92897280, 1857945600, 40874803200, 980995276800, 25505877196800, 714164561510400, 21424936845312000, 685597979049984000, 23310331287699456000, 839171926357180416000, 31888533201572855808000, 1275541328062914232320000
评论
考虑从3到2n-1的n-1奇数集，即{3，5，…，2n-1}。从{}到{3,5,7，…，2n-1}有2^（n-1）子集；a（n）=所有子集项的乘积之和。（空集乘积=1.）a（4）=1+3+5+7+3*5+3*7+5*7+3*7=192-阿玛纳斯·穆尔西2002年9月6日
此外，a（n-1）是一双鞋有n对孔眼的系带方式的数量，以便在所有相邻的孔眼对之间实现直线（水平）连接-雨果·普福尔特纳2003年1月27日
这也是（（1-x^2）^（n-1/2））/（Pi/4）积分的分母，其中x的范围为0到1。分子是（2*x）/（x！*2^x）。在这两种情况下，n都从1开始。例如，当n=3时，分母为24，分子为15Al Hakanson（hawkuu（AT）excite.com），2003年10月17日
使用{1，…，n}元素一次以形成非空列表序列的方法的数量Bob Proctor，2005年4月18日
1, 4, 24, 192, 1920, ... 是1、1、3、15、105…的指数（或二项式）卷积。。。和1、3、15、105、945(A001147号). -大卫·卡伦2008年7月25日
这个序列的第n项是n维空间被形式为x_i=x_j和x_i=-x_j的2n超平面划分成的区域数（对于1<=i<j<=n）Edward Scheinerman（ers（AT）jhu.edu），2008年5月4日
a（n）是让n名教堂教徒坐在长椅上，然后线性排列非空长椅的方式数-杰弗里·克雷策2009年3月16日
序列中的下一项=（1，3，5，7，…）点（1，1，4，24，…）；
例如，a（5）=1920=（1，3，5，7，9）点（1，1，4，24，192）=（1+3+20+168+1728）。（结束）
a（n）是在循环表示法中表示{1,2，…，n}的排列的方法的数量，考虑到我们可以排列所有循环的顺序，并且还有k种方法来写长度为k的循环。
对于正n，a（n）等于n×n矩阵的永久值，其中沿着主对角线的连续整数为1到n，沿着次对角线为2到n，其他地方为1-约翰·坎贝尔2011年7月10日
将n本书排列在连续书架上的方法的数量。
导出a（n）=n！2^（n-1），我们注意到有n！把书排成一行的方法。然后有2^（n-1）种方法将排列好的书放在连续的书架上，因为有2^n（n-1”）个n的有序分区。因此a（n）=n！2^（n-1）。
此外，a（n）是在连续堆栈中堆叠n个不同字母块的方式数。
此外，a（n）是（i）每个标记的根大于任何非根，（ii）每个根正好有一个子节点，（iii）n个非根节点，以及（iv）林中每个节点最多有一个子结点的标记的根森林的数量。
示例：a（3）=24，因为连续书架上有24排图书b1、b2和b3，即|b1 b2 b3|、|b1 b3 b2|、|b2 b3 b3|，|b2 b 3 b1|，|b3 b1 b2|，|b 3 b2 b1|、|b 1 b2 ||b3|，|b1||b2 b3|，|b1 ||b3 b2|，|b2||b1 b3|，|b1||b3||b2|，|b2||b1| |b3|，|b2||b3 ||b1 |，|b3 | |b1 ||b2 |，和|b3|1b2||b1|。
（结束）
对于n>3，a（n）是D_n型Coxeter群（也称为Weyl群）的阶-汤姆·埃德加2013年11月5日
参考文献
N.Bourbaki，Groupes等人。de Lie，第4、5、6章，第257页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分和级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach Science出版社，1986年至1992年，方程（4.2.2.26）
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Ofek Lauber Bonomo和Shlomi Reuveni，非对称简单包含过程中的占用相关性，arXiv:1905.02170[第二阶段统计数据]，2019年。
J.-P.Bultel和A.Chouria，J.-G.Luque和O.Mallet，词对称函数与Redfield-Polya定理，接受FPSAC 2013、2013；arXiv:1302.5815[math.CO]，2013年。
W.S.Gray和M.Thitsa，系统互连与组合整数序列，发表于：2013年第45届东南系统理论研讨会（SSST）。
郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[带注释的扫描副本]
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003年。
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量第21号命令（2004年），第83-89页。
配方奶粉
例如：（1-x）/（1-2*x）-保罗·巴里，2003年5月26日，2007年6月18日更正
对于n>=1，a（n）=Sum_{i=0..m/2}（-1）^i*二项式（n，i）*（n-2*i）^n.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日
a（n）~2^（1/2）*Pi^（1/2）*n^（3/2）*2^n*e^（-n）*n^n*｛1+13/12*n^（-1）+…｝。-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2001年11月23日
例如，f.是B（A（x）），其中B（x）=1/（1-x），A（x-杰弗里·克雷策2009年3月16日
通用公式：1+x/（1-4*x/（1-2*x/-菲利普·德尔汉姆2011年11月29日
当n>=2时，a（n）=2*n*a（n-1）-丹尼斯·沃尔什2011年11月29日
G.f.：（1+1/G（0））/2，其中G（k）=1+2*x*k-2*x*（k+1）/G（k+1；（续分数，欧拉第一类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月2日
G.f.：1+x/Q（0），m=4，其中Q（k）=1-m*x*（2*k+1）-m*x^2*（2xk+1）*（2k+2）/（1-m*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月23日
G.f.：1+x/（G（0）-x），其中G（k）=1+x*（k+1）-4*x*（k+1）/（1-x*（k+2）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
a（n）=和{k=0..n}L（n，k）*k！；L（n，k）是无符号Lah数-彼得·卢什尼，2014年10月18日
a（n）=圆（和{k>=1}log（k）^n/k^（3/2））/4，对于n>=1，这与在x=3/2时计算的zeta（x）的n阶导数有关-理查德·福伯格，2015年1月2日
a（n）=n*n>=1时的超几何（[-n+1]，[]，-1）-彼得·卢什尼，2015年4月8日
和{n>=0}1/a（n）=2*sqrt（e）-1。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=2/sqrt（e）-1。（结束）
例子
鞋带：采用A078602型3对孔眼的a（3-1）=4“直”花边为：125346125436134526143526。他们的镜像134256、143256、152346、152436未计算在内。
a（3）=24，因为三维立方体的24次旋转分为四个不同的类别：
（i） 身份，使一切固定；
（ii）保持两个面的中心固定的9次旋转，包括3对面的每一个旋转90度、180度和270度；
（iii）6次旋转，使两个边缘的中心保持固定，包括6对边缘中的每一个旋转180度；
（iv）保持两个顶点固定的8次旋转，包括4对顶点中每个顶点的120度和240度旋转。对于n-立方体，旋转可能更复杂。例如，在4维中，旋转既可以作用于单个平面，如x-y平面，同时保持与该平面正交的任何向量不变，也可以作用于两个正交平面，在两个平面中执行旋转，而不保持向量固定。在更高的维度中，将有更多的平面空间，以及给定旋转所作用的平面数量的更多选择。
MAPLE公司
带（combstruct）；SeqSeqL:=[S，{S=序列（U，卡>=1），U=序列（Z，卡>=1）}，标记]；
seq（ceil（计数（子集（n））*计数（排列（n）/2），n=0..17）#零入侵拉霍斯2006年10月16日
G（x）：=（1-x）/（1-2*x）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月4日
数学
联接[{1}，表[2^（n-1）n！，{n，25}]](*哈维·P·戴尔2013年9月27日*）
a[n]：=（-1）^n超几何2F1正则化[1，-n，2-n，2]；
表[a[n]，{n，0，20}](*彼得·卢什尼2024年4月26日*）
黄体脂酮素
（FORTRAN）请参阅Pfoertner链接。
（PARI）a（n）=如果（n==0，1，2^（n-1）*n！）；
向量（25，n，a（n-1））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月18日
（岩浆）[1]类别[2^（n-1）*阶乘（n）：[1..25]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
（Sage）[1]+[2^（n-1）*（1..25）中n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
鞋上有n对孔眼，每个孔眼至少有一个直接连接到另一侧的鞋带的对称方式的数量。
+10
6
1, 2, 6, 30, 192, 1560, 15120, 171360, 2217600, 32296320, 522547200, 9300614400, 180583603200, 3798482688000, 86044973414400, 2088355965696000, 54064489070592000, 1487129136869376000, 43312058119249920000
评论
花边必须正好穿过每个孔眼，并且必须从最末端的一对孔眼开始和结束。
配方奶粉
Jovovic猜想的证明(安蒂·卡图恩2007年1月6日）：（开始）
由于对称性以及开始和结束条件，我们只需要考虑另一侧的n-1个小孔。如果只考虑花边穿过的起始和结束小孔的距离（每个小孔的“水平”）（但忽略它在哪一侧），则花边在访问了一半小孔后，将诱导{1..（n-1）}的一些排列（其路径的其余一半完全由对称性决定）。这就是因子（n-1）！。与此无关的是，每个小孔至少有一个直接连接到另一侧的条件意味着存在一个简单的双射，长度为n的二进制字符串没有两个连续的0。即，当花边停留在同一侧时，我们标记为0，当它交叉到另一侧时，标记为1。
从开始的孔眼，花边可以交叉到另一侧（但不到顶部），也可以保持在同一侧。然而，在访问了一半小眼后，花边必须交叉到另一边（在同一水平面上），因此这会留下n-1个小眼，可以自由选择，除了路线上不能有两个连续的0。这就是斐波那契（n+1）。
（结束）
例子
a（3）=6：在左侧从前面到后面标记孔眼1,2,3，然后在右侧从后面到前面标记孔眼4,5,6。对称花边为：124356 154326 153426 142536 145236 135246。
MAPLE公司
ZL:=[S，{a=原子，b=原子，S=Prod（X，序列（Prod（X，b））），X=序列（b，卡<=1）}，标记]：seq（组合结构[计数]（ZL，大小=n），n=0..18）#零入侵拉霍斯2008年3月26日
数学
表[Fibonacci[n+2]*n！，{n，0，18}](*零入侵拉霍斯，2009年7月9日*）
扩展
证明了Jovovic的猜想，并添加了更多术语以及Scheme-code安蒂·卡图恩2007年1月2日
有n对孔眼的鞋的花边方法的数量，以便每个孔眼至少有一个直接连接到另一侧。
+10
5
1, 2, 20, 396, 14976, 907200, 79315200, 9551001600, 1513528934400, 305106949324800, 76296489615360000, 23175289163980800000, 8404709419090575360000, 3587225703492542791680000, 1779970753996760560435200000, 1016036270188884847558656000000, 661106386935312429191528448000000
评论
花边是“定向的”：沿路径反转孔眼的顺序算是另一种解决方案。它必须从最末端的一对孔眼开始和结束，
参考文献
C.A.Pickover，《数学书》，斯特林，纽约，2009年；见第494页。
链接
A.Khrabrov、K.Kokhas、，线条上的点、鞋带和多米诺骨牌，arXiv:1505.06309[math.CO]，（2015年5月23日）。
例子
a（3）=20：在左侧从前面到后面标记孔眼1,2,3，然后在右侧从后面到前面标记孔眼4,5,6。花边是：124356 154326 153426 142536 145236 135246，以下是它们的镜像：125346 124536 125436 152346 153246 152436 154236。
n=2,3,4的示例可以在给定链接的FORTRAN程序之后找到。
数学
a[n]：=（n-1）^2和[二项式[n-k，k]^2，{k，0，n/2}]；
黄体脂酮素
Pfoertner链接提供的（Fortran）c程序
用n对孔眼系鞋带的方法，使任何相邻的孔眼对之间没有直接的“水平”连接。
+10
0
3, 45, 1824, 109560, 9520560, 1145057760
评论
系带在相邻的孔眼对之间不得有任何“直连接”（例如2<->2*n-1，3<->2*n-2，4<->2*n-3，…）。没有对称的解决方案。
例子
n=3的6个非直拉筋为：124536135426142356145326153246154236。不计算镜像，我们得到a（3）=3。
搜索在0.010秒内完成
| 