显示发现的118个结果中的1-10个。
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 9, 5, 1, 1, 27, 25, 7, 1, 1, 81, 125, 49, 9, 1, 1, 243, 625, 343, 81, 11, 1, 1, 729, 3125, 2401, 729, 121, 13, 1, 1, 2187, 15625, 16807, 6561, 1331, 169, 15, 1, 1, 6561, 78125, 117649, 59049, 14641, 2197, 225, 17, 1, 1, 19683, 390625, 823543
评论
三角阵列的希尔伯特变换定义：
对于数据库中的许多方形数组，行中的条目在列索引中是多项式，例如次数为d，因此行生成函数的形式为P（x）/（1-x）^（d+1），其中P是一些多项式函数。通常，由这些P多项式的系数形成行的数组是独立的。这表明了以下定义。
设[L（n，k）]n，k>=0为下三角阵列，设R（n，x）：=sum{k=0..n}L（n，k）*x^k表示L的第n行生成多项式。然后，我们定义L的Hilbert变换，表示为Hilb（L），为第n行n>=0具有生成函数R（n，x）/（1-x）^（n+1）的方阵。
在这种情况下，L是数组A060187号B型欧拉数数组，其行多项式是B型置换自面体的h多项式。希尔伯特变换是一个无限范德蒙矩阵V（1,3,5，…）。
我们用几个例子来说明希尔伯特变换：
（3） 欧拉多项式序列开始于[1，x，x+x^2，x+4*x^2+x^3，…]。这些多项式的系数记录在三角形中A123125号，其希尔伯特变换为A004248号读取为方形数组。
配方奶粉
T（n，k）=（2*k+1）^n，（见[Franssens]中的等式4.10）。该数组是无限Vandermonde矩阵V（1,3,5,7，……），其LDU因式分解等于A039755号*diag（2^n*n！）*转置(A007318号).
例子
1;
1, 1;
1, 6, 1;
所以Hilbert变换的前三行中的条目
行0:1/（1-x）=1+x+x^2+x^3+。。。；
第1行：（1+x）/（1-x）^2=1+3*x+5*x^2+7*x^3+。。。；
第二行：（1+6*x+x^2）/（1-x）^3=1+9*x+25*x^2+49*x^3+。。。；
数组开始
n\k|。。0....1.....2.....3......4
================================
0..|..1....1.....1.....1......1
1..|..1....3.....5.....7......9
2..|..1....9....25....49.....81
3..|..1...27...125...343....729
4..|..1...81...625..2401...6561
5..|..1..243..3125.16807..59049
...
MAPLE公司
T： =（n，k）->（2*k+1）^n:seq（seq（T（n-k，k），k=0..n），n=0..10）；
1, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 36, 36, 1, 1, 133, 420, 133, 1, 1, 449, 3334, 3334, 449, 1, 1, 1446, 21939, 49364, 21939, 1446, 1, 1, 4534, 130044, 560957, 560957, 130044, 4534, 1, 1, 13991, 724222, 5459561, 10284514, 5459561, 724222, 13991, 1, 1, 42747, 3880014
评论
第n行给出了（1/4）*（1+x）^n+（9/4）*2^n*（1-x）^（1+n）*Phi（x，-n，1/2）-（3/2）*（1-x）^。
配方奶粉
例如：（exp（（1+x）*y）-6*（1-x）^2*exp（y*（1-x））/（1-x*exp-弗兰克·马米尼里娜·拉马哈罗2018年10月20日
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 8, 1;
1, 36, 36, 1;
1, 133, 420, 133, 1;
1, 449, 3334, 3334, 449, 1;
1, 1446, 21939, 49364, 21939, 1446, 1;
1, 4534, 130044, 560957, 560957, 130044, 4534, 1;
数学
p[x_，n]=1/4*（1+x）^n+9/4*2^n*（1-x）^（1+n）*LerchPhi[x，-n，1/2]-3/2*（1-x）^；
表[系数列表[FullSimplify[p[x，n]]，x]，{n，0，10}]//展平
黄体脂酮素
（最大值）
A008292号（n，k）：=总和（（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j），j，0，k）$
A060187号（n，k）：=总和（（-1）^（k-j）*二项式（n，k-j）x（2*j-1）^（n-1），j，1，k）$
create_list（T（n，k），n，0，10，k，0，n）；
1, 6, 23, 76, 237, 722, 2179, 6552, 19673, 59038, 177135, 531428, 1594309, 4782954, 14348891, 43046704, 129140145, 387420470, 1162261447, 3486784380, 10460353181, 31381059586, 94143178803, 282429536456, 847288609417
链接
P.A.麦克马洪，数字的除数，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，（2）19（1920），305-340；科尔。论文II，第267-302页。
配方奶粉
如果偏移量为0，则为3^（n+1）-n-2。
a（n）=5*a（n-1）-7*a（n-2）+3*a（n3）。
G.f.：x^2*（1+x）/（（1-x）^2*（1-3*x））。（结束）
例如：（exp（3*x）-3*x*exp（x）-1）/3-沃尔夫迪特·朗2017年4月17日
MAPLE公司
a[0]：=1：对于从1到24的n，执行a[n]：=（4*a[n-1]-3*a[n-2]+2）od:seq（a[n'，n=0..24）#零入侵拉霍斯2007年6月8日
数学
线性递归[{5，-7，3}，{1，6，23}，30](*哈维·P·戴尔2024年7月3日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[2..30]]中的[3^（n-1）-n:n//文森佐·利班迪2011年9月5日
（鼠尾草）[3^（n-1）-n代表n in（2..32）]#G.C.格鲁贝尔2022年1月7日
1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 33, 33, 1, 1, 101, 295, 101, 1, 1, 293, 1983, 1983, 293, 1, 1, 841, 11733, 25963, 11733, 841, 1, 1, 2425, 64949, 275341, 275341, 64949, 2425, 1, 1, 7053, 346219, 2573521, 4831203, 2573521, 346219, 7053, 1, 1, 20685, 1804179, 22163163
评论
行总和为：1，2，11，68，499，4554，51113，685432，10684791，189423350，3755807989，。。。。
行和s（n）上的猜想：859*（n+1）*s（n（n-3）*（n-4）*a（n-5）=0-R.J.马塔尔2015年6月16日
例子
1;
1, 1;
1, 9, 1;
1, 33, 33, 1;
1, 101, 295, 101, 1;
1, 293, 1983, 1983, 293, 1;
1, 841, 11733, 25963, 11733, 841, 1;
1, 2425, 64949, 275341, 275341, 64949, 2425, 1;
1, 7053, 346219, 2573521, 4831203, 2573521, 346219, 7053, 1;
1, 20685, 1804179, 22163163, 70723647, 70723647, 22163163, 1804179, 20685, 1;
1, 61073, 9268777, 180504391, 916661395, 1542816715, 916661395, 180504391, 9268777, 61073, 1;
数学
p[x_，n_]=（1-x）^（n+1）*Sum[（2*k+1）^n*x^k，{k，0，无限}]；
f[n_，m_]：=系数列表[FullSimplify[ExpandAll[p[x，n]]，x][[m+1]]；
<<离散路径`Combinatorica`；
t[n_，m_，0]：=二项式[n，m]；
t[n_，m_，1]：=欧拉[1+n，m]；
t[n，m，2]：=f[n，m]；
t[n，m，q]：=t[n、m、q]=t[n，m，q-2]+t[n；m，q-3]-1；
表格[扁平[表格[表格[t[n，m，q]，{m，0，n}]，{n，0，10}]]，{q，0，10}]
1, 6, 230, 23548, 4675014, 1527092468, 743288515164, 504541774904760, 455522635895576646, 527896878148304296900, 763820398700983273655796, 1349622683586635111555174216, 2859794140516672651686471055900, 7157996663278223282076538528360968
配方奶粉
a（n）~sqrt（3）*2^（4*n+1）*n^（2*n）/exp（2*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月30日
MAPLE公司
a： =n->加（（-1）^（n-i）*二项式（2*n+1，n-i）*（2*i+1）^（2*n），i=0..n）：
#利用广义欧拉多项式的生成函数：
gf:=程序（n，k）局部f；f：=（x，t）->x*exp（t*x/k）/（1-x*exp（t*x））；
级数（f（x，t），t，n+2）；（（1-x）/x）^（n+1）*k^n*n*系数（%，t，n）：
收集（简化（%），x）结束：seq（系数（gf（2*n，2），x，n），n=0..13）#彼得·卢什尼2013年5月2日
数学
p[x_，n_]=（1-x）^（n+1）*Sum[（2*k+1）^n*x^k，{k，0，无限}]；
f[n_，m_]：=系数列表[FullSimplify[ExpandAll[p[x，n]]，x][[m+1]]；
a=表格[f[2*n，n]，{n，0，20}]
三角形T（n，k）=T（n、k-1）+（-1）^k*A060187号（n+2，k+1），如果k<=楼层（n/2），否则T（n，n-k），T（n、0）=T（n）=1，按行读取。
+20
4
1, 1, 1, 1, -22, 1, 1, -75, -75, 1, 1, -236, 1446, -236, 1, 1, -721, 9822, 9822, -721, 1, 1, -2178, 58479, -201244, 58479, -2178, 1, 1, -6551, 325061, -2160227, -2160227, 325061, -6551, 1, 1, -19672, 1736668, -19971304, 49441990, -19971304, 1736668, -19672, 1
配方奶粉
T（n，k）=T（n，k-1）+（-1）^k*A060187号（n+2，k+1），如果k<=楼层（n/2），否则为T（n，n-k），其中T（n，0）=T（n，n）=1。
例子
三角形开始于：
1;
1, 1;
1, -22, 1;
1, -75, -75, 1;
1, -236, 1446, -236, 1;
1, -721, 9822, 9822, -721, 1;
1, -2178, 58479, -201244, 58479, -2178, 1;
1, -6551, 325061, -2160227, -2160227, 325061, -6551, 1;
1, -19672, 1736668, -19971304, 49441990, -19971304, 1736668, -19672, 1;
数学
（*第一个程序*）
q[x_，n_]=（1-x）^（n+1）*和[（2*m+1）^n*x^m，{m，0，无穷}]；
t[n_，m_]：=t[n，m]=表[系数列表[q[x，k]，x]，{k，0，15}][[n+1，m+1]]；
p[x_，n_]：=p[x，n]=和[x^i*如果[i==Floor[n/2]&&Mod[n，2]==0，0，如果[i<=Floor[2]，（-1）^i*t[n，i]，（-1）^（n-i+1）*t[n,i]]，{i，0，n}]/（1-x）；
压扁[表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，10}]]
（*第二个项目*）
A060187号[n，k_]：=和[（-1）^（k-i）*二项式[n，k-i]*（2*i-1）^[n-1），{i，k}]；
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0||k==n，1，如果[k<=楼层[n/2]，T[n、k-1]+（-1）^k*A060187号[n+2，k+1]，T[n，n-k]]；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年3月18日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
定义A060187号（n，k）：返回和（（-1）^（k-j）*（2*j-1）^（n-1）*（1..k）中j的二项式（n，k-j））
@缓存函数
如果（k==0或k==n）：返回1
1, 23, 230, 1682, 10543, 60657, 331612, 1756340, 9116141, 46702427, 237231970, 1198382694, 6031771195, 30287995733, 151856096504, 760614930344, 3807336276505, 19050241098975, 95294209168414, 476607030432890
链接
P.A.麦克马洪，数字的除数，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，（2）19（1920），305-340；科尔。论文II，第267-302页。
配方奶粉
a（n）=5^（n-1）-n*3^（n-1）+n*（n-1-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月8日
通用格式：x^3*（1+9*x-17*x^2-9*x^3）/（（1-x）^3*（1-3*x）^2*（1-5*x））-科林·巴克2012年12月19日
例如：（2*exp（5*x）-10*x*exp。（结束）
数学
表[5^（n-1）-n*3^（n-1）+n*（n-1”）/2，{n，3，40}](*G.C.格鲁贝尔2024年7月31日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
[5..40]]中的[5^（n-1）-n*3^（n-1）+n*（n-1//G.C.格鲁贝尔2024年7月31日
（SageMath）
[5^（n-1）-n*3^（n-1）+n*（n-1#G.C.格鲁贝尔2024年7月31日
1, 76, 1682, 23548, 259723, 2485288, 21707972, 178300904, 1403080725, 10708911188, 79944249686, 587172549764, 4261002128223, 30644790782352, 218917362275080, 1556000598766224, 11017646288488233, 77790282457881756
链接
P.A.麦克马洪，数字的除数，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，（2）19（1921），305-340；科尔。论文二，第267-302页。
常系数线性递归的索引项，签名（30，-3852776，-1241835908，-6781882552，-6210926190，-4725）。
配方奶粉
O.g.f.：x^4*（1+46*x-213*x^2-428*x^3+2295*x^4-1794*x^5-675*x^6）/产品{j=0..3}（1-（1+2*j）*x）^（4-j）。
例如：（exp（7*x）-7*x*exp（5*x）+（21*x^2/2）*exp（3*x）-（7*x^3/3！）*xp（x）-1）/7。（结束）
a（n）=和{k=0..3}（-1）^k*二项式（n，k）*（7-2*k）^（n-1）-G.C.格鲁贝尔2024年8月1日
MAPLE公司
r:=proc（n，k）选项记忆；
如果n=0，则如果k=0，否则为1，否则为0
（2*（n-k）+1）*r（n-1，k-1）+（2*k+1）*r[n-1，k）fi端：
数学
A060190型[n]：=和[（-1）^k*二项式[n，k]*（7-2*k）^（n-1），{k，0，3}]；
黄体脂酮素
（岩浆）
[（&+[（-1）^k*二项式（n，k）*（7-2*k）^（n-1）:k in[0..3]]）：n in[4..40]]//G.C.格鲁贝尔2024年8月1日
（SageMath）
[范围（4）中k的和（（-1）^k*二项式（n，k）*（7-2*k）^（n-1））范围（4，40）中n的]#G.C.格鲁贝尔2024年8月1日
按行读取三角形T（n，m）：灰色代码A060187号（n，k）（十进制表示），1<=k<=n，n>=1。
+20
2
1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 28, 28, 1, 1, 106, 149, 106, 1, 1, 155, 987, 987, 155, 1, 1, 955, 440, 514, 440, 955, 1, 1, 194, 137, 974, 974, 137, 194, 1, 1, 340, 754, 60, 293, 60, 754, 340, 1, 1, 181, 238, 166, 377, 377, 166, 238, 181, 1, 1, 977, 283, 540, 411, 142, 411, 540, 283, 977, 1
链接
Eric Weisstein，格雷代码，数学世界。
例子
三角形开头为：
1;
1, 1;
1, 5, 1;
1, 28, 28, 1;
1, 106, 149, 106, 1;
1, 155, 987, 987, 155, 1;
1, 955, 440, 514, 440, 955, 1;
1, 194, 137, 974, 974, 137, 194, 1;
1, 340, 754, 60, 293, 60, 754, 340, 1;
1, 181, 238, 166, 377, 377, 166, 238, 181, 1;
1, 977, 283, 540, 411, 142, 411, 540, 283, 977, 1;
数学
GrayCode[n_，k_]：=FromDigits[BitXor@@@Partition[Prepend[IntegerDigits[n，2，k]，0]，2，1]，2]；
A060187号[n，k_]：=和[（-1）^（k-j）*二项式[n，k-j]*（2*j-1）^（n-1），{j，k}]；
行读取的不规则三角形：第一行为1，第n行给出x^（n-1）*R（n，x+1/x）/（x+1/x）的系数，其中R（n、x）是A060187号.
+20
2
1, 1, 1, 1, 1, 6, 3, 6, 1, 1, 23, 26, 47, 26, 23, 1, 1, 76, 234, 304, 467, 304, 234, 76, 1, 1, 237, 1687, 2630, 5293, 4787, 5293, 2630, 1687, 237, 1, 1, 722, 10549, 27158, 52730, 78586, 84365, 78586, 52730, 27158, 10549, 722, 1, 1, 2179, 60664, 272797, 563029, 1132234
配方奶粉
行n由多项式2^n*（1-x-1/x）^（1+n）*x^n*Phi（x+1/x，-n，1/2）生成，其中Phi是Lerch超越。
例子
三角形开始：
1;
1, 1, 1;
1, 6, 3, 6, 1;
1, 23, 26, 47, 26, 23, 1;
1, 76, 234, 304, 467, 304, 234, 76, 1;
1, 237, 1687, 2630, 5293, 4787, 5293, 2630, 1687, 237, 1;
数学
表[系数列表[FullSimplify[ExpandAll[2^n*（1-x-1/x）^（1+n）*x^n*LerchPhi[x+1/x，-n，1/2]]，x]，{n，0，10}]//展平
搜索在0.083秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间：2024年9月22日15:54 EDT。包含376119个序列。（在oeis4上运行。）
| 