显示找到的122个结果中的1-10个。
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三
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5
6
7
8
9
10...13
以正方形晶格中的网格点为中心的圆的平方半径正好达到4点。指数k使得A004018号（k） =4。
+20
5
1, 2, 4, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 98, 121, 128, 144, 162, 196, 242, 256, 288, 324, 361, 392, 441, 484, 512, 529, 576, 648, 722, 729, 784, 882, 961, 968, 1024, 1058, 1089, 1152, 1296, 1444, 1458, 1568, 1764, 1849, 1922, 1936, 2048, 2116, 2178, 2209
评论
不是两个不同的非零平方和的平方或双平方。
不带素因子的4k+1形式的数和不带素因数的4k+3形式的奇数重数。
该序列在乘法下闭合。素数元素是形式为4k+3的素数的1，2和平方，即{1，2}和A087691号.
配方奶粉
形式2^e0*3^（2*e1）*7^（2*e2）*11^（2,e3）*…*的数字qk^（2*ek）其中qk是形式4*n+3的第k素数(A002145号). - Herman Jamke（hermanjamke（AT）fastmail.fm），2007年12月17日
黄体脂酮素
（PARI）针对（n=1100000，fctrs=系数（n））；c=1；对于（i=1，matsize（fctrs）[1]，p4=fctrs[i，1]%4；如果（p4==1||（p4==3&&fctrs[i，2]%2==1），c=0）；if（c，print1（n“，”））\\Herman Jamke（hermanjamke（AT）fastmail.fm），2007年12月17日
1, 4, 4, 0, 12, 40, 0, 0, 84, 136, 440, 0, 0, 1864, 0, 0, 3948, 12776, 10336, 0, 54120, 0, 0, 0, 0, 900300, 971144, 0, 0, 4113832, 0, 0, 8713236, 0, 45623096, 0, 59721408, 193262536, 0, 0, 818673240, 1324641128, 0, 0, 0, 9079225360, 0, 0, 0, 31114968196
评论
1+4*Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（2*n+1）/（1-x^。
配方奶粉
通用公式：1+4*Sum_{n>=0}（-1）^n*Fibonacci（2*n+1）*x^=A000204号（n） ●●●●。
例子
通用公式：A（x）=1+4*x+4*x^2+12*x^4+40*x^5+84*x^8+136*x^9+440*x^10+。。。
将g.f与雅可比θ_3级数的平方进行比较：
θ_3（x）^2=1+4*x+4*x^2+4*x^4+8*x^5+4*x^8+4*x ^9+8*x ^10++A004018号（n） *x^n+。。。
g.f.等于总和：
A（x）=1+4*x/（1-x-x^2）-4*2*x^3/（1-4*x^3-x^6）+4*5*x^5/（1-11*x^5-x^10）-4*13*x^7/（1-29*x^7-x^14）+4*34*x^9/（1-76*x^9-x^18）-4*89*x^11/（1-199*x^11-x^22）+4*233*x^13/（1-521*x^13-x^26）-4*610*x^15/（1-1364*x^15-x^30）+。。。
这涉及到奇异的斐波那契和卢卡斯数。
数学
连接[{1}，表[Fibonacci[n]*SquaresR[2，n]，{n，1，50}]](*G.C.格鲁贝尔2017年3月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）{A004018号（n） =波尔科夫（（1+2*和（k=1，平方（n+1），x^（k^2），x*O（x^n）））^2，n）}
{a（n）=如果（n==0，1，fibonacci（n）*A004018号（n） ）}
（PARI）{Lucas（n）=斐波那契（n-1）+斐波那奇（n+1）}
{a（n）=polcoeff（（1+4*和（m=0，n+1，（-1）^m*fibonacci（2*m+1）*x^（2*m+1）/（1-Lucas（2*m+1）*x^
a（n）=r（n）*r（n+1），其中r=A004018号（n） 是将n写成两个平方和的方法数。
+20
4
4, 16, 0, 0, 32, 0, 0, 0, 16, 32, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 32, 32, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 96, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 32, 0, 0, 0, 64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 48, 0, 0, 64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 32, 64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 32, 32, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 32, 0, 0, 96
评论
a（n）=0，除非n==0、1或4（mod 8）。
参考文献
H.伊瓦涅克。自形形式的谱方法，《数学研究生》第53卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，2002年。
链接
费尔南多·查米佐，r（n）的相关和，J.数学。日本社会，51（1）：237-2521999。
费尔南多·查米佐（Fernando Chamizo）和罗伯托·米亚泰罗（Roberto J.Miatello），实二次域和Hilbert模群中的平方和，arXiv预印本arXiv:1812.10725[math.NT]，2018。
MAPLE公司
N： =200:#对于（0）。。a（否）
g1:=1+2*add（x^（i^2），i=1..楼层（sqrt（N+1））：
g2:=展开（g1^2）：
R： =[seq（系数（g2，x，i），i=0..N+1）]：
seq（R[i]*R[i+1]，i=1..N+1）#罗伯特·伊斯雷尔，2020年6月12日
数学
a[n_]：=平方R[2，n]平方R[2,n+1]；a/@范围[0100](*乔瓦尼·雷斯塔2020年6月12日*）
a（n）=r2（n^2+1），其中r2（k）是将k写成2个平方和的方法数(A004018号).
+20
4
4, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 12, 16, 8, 8, 8, 16, 16, 8, 8, 8, 16, 24, 8, 8, 16, 16, 16, 8, 8, 8, 16, 16, 8, 16, 16, 24, 16, 16, 8, 8, 16, 24, 8, 8, 12, 16, 24, 16, 8, 16, 32, 16, 8, 16, 8, 16, 16, 8, 16, 8, 32, 16, 8, 16, 8, 16, 16, 16, 8, 8, 16, 32, 8, 24, 8, 32, 32
参考文献
Steven R.Finch，《数学常数II》，《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，2018年，第166页。
链接
E.J.斯科菲尔德，二次多项式的除数《格拉斯哥数学杂志》，第5卷，第1期（1961年），第8-20页。
数学
表[SquaresR[2，k^2+1]，{k，0，100}]
1, 4, 8, 0, 48, 232, 0, 0, 1632, 3940, 19024, 0, 0, 267688, 0, 0, 1883328, 9093512, 10976840, 0, 127955424, 0, 0, 0, 0, 15740857452, 25334527696, 0, 0, 356483857192, 0, 0, 2508054264192, 0, 29236023007504, 0, 85200014758320, 411382062287848, 0, 0, 5788584895037376
评论
1+4*Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（2*n+1）/（1-x^。
配方奶粉
G.f.：1+4*Sum_｛n>=0｝（-1）^n*Pell（2*n+1）*x^（2*n+1）/（1）-A002203号（2*n+1）*x^（2*n+1）-x^A002203号是配套的Pell编号。
例子
通用公式：A（x）=1+4*x+8*x^2+48*x^4+232*x^5+1632*x^8+3940*x^9+19024*x^10+。。。
将g.f与雅可比θ_3级数的平方进行比较：
θ_3（x）^2=1+4*x+4*x^2+4*x^4+8*x^5+4*x^8+4*x ^9+8*x ^10++A004018号（n） *x^n+。。。
g.f.等于总和：
A（x）=1+4*x/（1-2*x-x^2）-4*5*x^3/（1-14*x^3-x^6）+4*29*x^5/（1-82*x^5-x^10）-4*169*x^7/（1-478*x^7-x^14）+4*985*x^9/（1-2786*x^9-x^18）-4*5741*x^11/（1-16238*x^11-x^22）+4*33461*x^13/（1-94642*x^13-x^26）-4*195025*x^15/（1-551614*x^15-x^30）+。。。
其中包括奇数诱导的Pell和伴随的Pell数。
黄体脂酮素
（PARI）{A004018号（n） =波尔科夫（（1+2*和（k=1，平方（n+1），x^（k^2），x*O（x^n）））^2，n）}
{佩尔（n）=波尔科夫（x/（1-2*x-x^2+x*O（x^n）），n）}
（PARI）{佩尔（n）=波尔科夫（x/（1-2*x-x^2+x*O（x^n）），n）}
{a（n）=波尔科夫（（1+4*总和（m=0，n+1，（-1）^m*Pell（2*m+1）*x^（2*m+1）/（1）-A002203号（2*m+1）*x^（2*m+1）-x^，（4*m+2）+x*O（x^n）））^（1/1），n）}
Sierpiński第二常数K2=lim_{n->oo}（（1/n）*（Sum_{i=1..n}）的十进制展开式A004018号（i^2））-4/Pi*log（n））。
+20
三
2, 2, 5, 4, 9, 2, 2, 4, 6, 2, 8, 8, 8, 2, 6, 4, 7, 6, 6, 2, 6, 8, 1, 8, 4, 7, 5, 9, 5, 2, 8, 7, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 7, 1, 6, 6, 1, 5, 9, 8, 6, 0, 5, 3, 5, 1, 8, 8, 9, 1, 3, 8, 3, 1, 1, 6, 1, 8, 8, 5, 9, 1, 7, 2, 9, 2, 8, 9, 5, 9, 7, 1, 3, 9, 3, 4, 1, 0, 5, 8
评论
西尔宾斯基在1908年的博士论文中引入了三个常数。第一个是众所周知的K，以他的名字命名，它的十进制扩展名为A062089号然而，这些常数中的第二和第三个似乎基本上被遗忘了。此序列给出了第二个K2的十进制展开式，以及A222883型给出了第三个K3的十进制展开式。下面给出的公式表明，K2与其他几个自然发生的常数有关。
参考文献
史蒂文·芬奇，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社（2003年），第123页。下面链接中的更正。
配方奶粉
K2=4/Pi*（eulergamma+K/Pi-12/Pi^2*zeta'（2）+log（2）/3-1），其中K是Sierpingski的第一常数(A062089号)而eulergamma是Euler-Mascheroni常数(A001620号).
K2=4*（12*log（Gamma（3/4））-9*log（Pi）+72*log（A）-5*log（2）+3*eulergamma-3）/（3*Pi），其中A为格拉舍-金克林常数(A074962号).
K2=4*（12*log（伽马（3/4））+log（A^72*e^（3*eulergamma-3）/（32*Pi^9））/（3*Pi）。
K2=4/Pi*（log（e^（3*eulergamma-1）/（2^（2/3）*G^2））-12/Pi^2*zeta'（2）），其中G是高斯AGM常数(A014549号).
K2=4/Pi*（log（Pi^2*e^（3*eulergamma-1）/（2^（2/3）*L^2））-12/Pi^2*zeta'（2）），其中L是高斯的柠檬酸常数(A062539号).
例子
K2=2.25492246288826476626818475952872355787166159860535188913831。。。
数学
取[Flatten[RealDigits[N[4（12 Log[Gamma[3/4]]-9 Log[Pi]+72 Log[Glaisher]-5 Log[2]+3 EulerGamma-3）/（3 Pi），100]]，86]
黄体脂酮素
（PARI）4/Pi*（对数（exp（3*Euler-1）/（2^（2/3）/agm（sqrt（2），1）^2））-12/Pi^2*zeta'（2））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年12月12日
Sierpiński第三常数K3=lim_{n->oo}（（1/n）*（Sum_{i=1..n}）的十进制展开式(A004018号（i） ）^2）-4*log（n））。
+20
三
8, 0, 6, 6, 4, 8, 6, 1, 8, 2, 9, 3, 3, 6, 3, 2, 4, 6, 1, 0, 5, 1, 1, 8, 7, 4, 3, 8, 8, 6, 0, 4, 6, 1, 7, 0, 5, 8, 0, 0, 7, 3, 6, 7, 1, 0, 0, 9, 4, 5, 8, 9, 9, 2, 2, 4, 4, 3, 6, 7, 7, 1, 3, 3, 7, 9, 1, 2, 5, 7, 3, 6, 6, 4, 6, 4, 7, 3, 1, 1, 4, 9, 0, 2, 1, 6, 5, 4, 0, 5, 5, 9, 3, 2, 2, 4, 7, 2, 1, 6, 7, 8, 1, 5, 1
评论
西尔宾斯基在1908年的博士论文中引入了三个常数。第一个是众所周知的K，以他的名字命名，它的十进制扩展名为A062089号然而，这些常数中的第二和第三个似乎基本上被遗忘了。这个序列给出了第三个K3的十进制展开式A222882号给出了第二个K2的十进制展开式。下面给出的公式表明，K3与其他几个自然发生的常数（包括K和K2）有关。
参考文献
史蒂文·芬奇，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社（2003年），第123页。下面链接中的更正。
配方奶粉
K3=8*K/Pi-48/Pi^2*zeta'（2）+4*log（2）/3-4，其中K是Sierpinski的第一个常数(A062089号).
K3=4/3*log（A^72*e^（6*eulergama-3）*（Gamma（3/4））^24/（32*pi^12）），其中A是Glaisher-Kinkelin常数(A074962号)而eulergamma是Euler-Mascheroni常数(A001620号).
K3=4*log（exp（5*eulergama-1）/（2^（5/3）*G^4））-48/Pi^2*zeta'（2）-4*euleggama，其中G是高斯AGM常数(A014549号).
K3=4*log（Pi^4*e^（5*eulergamma-1）/（2^（5/3）*L^4））-48/Pi^2*zeta'（2）-4*eulegramma，其中L是Gauss'柠檬酸常数(A062539号).
K3=4*K/Pi+Pi*K2-4*eulergamma，其中K2是Sierpinski的第二常数(22882英镑).
1/4*K3-1/4*Pi*K2-log（Pi^2/（2*L^2））=欧拉伽马。
1/4*K3-1/4*Pi*K2+log（2*G^2）=欧拉伽马。
例子
K3=8.066486182933632461051187438860461705800736710094589922443677。。。
数学
取[RealDigits[N[4/3（24*Log[Gamma[3/4]]-12*Log[Pi]+72*Log[Glaisher]-5*Log[2]+6*EulerGamma-3），100]][[1]，86]
黄体脂酮素
（PARI）4*log（exp（5*Euler-1）/（2^（5/3）/agm（sqrt（2），1）^4））-48/Pi^2*zeta'（2）-4*Euler\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年12月12日
a（n）=r（n）*r（n+1）/4，其中r（n=A004018号（n） 是将n写成两个平方和的方法数。
+20
三
1, 4, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 24, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 12, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 24
参考文献
H.伊瓦涅克。自形形式的谱方法，《数学研究生》第53卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，2002年。
链接
费尔南多·查米佐，r（n）的相关和，J.数学。日本社会，51（1）：237-2521999。
费尔南多·查米佐（Fernando Chamizo）和罗伯托·米亚泰罗（Roberto J.Miatello），实二次域和Hilbert模群中的平方和，arXiv预印本arXiv:1812.10725[math.NT]，2018。
数学
次数@@#/4&/@分区[SquaresR[2，范围[0，110]]，2，1](*哈维·P·戴尔2020年5月30日*）
a（n）=和{i=0..n}r（i）*r（i+1），其中r（n）=A004018号（n） 是将n写成两个平方和的方法数。
+20
三
4, 20, 20, 20, 52, 52, 52, 52, 68, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 132, 164, 164, 164, 164, 164, 164, 164, 164, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 260, 292, 292, 292, 292, 356, 356, 356, 356, 356, 356, 356, 356, 356, 404, 404, 404, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 468, 532, 532, 532
参考文献
H.伊瓦尼奇。自形形式的谱方法，《数学研究生》第53卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，2002年。
链接
费尔南多·查米佐，r（n）的相关和，J.数学。日本社会，51（1）：237-2521999。
费尔南多·查米佐（Fernando Chamizo）和罗伯托·米亚泰罗（Roberto J.Miatello），实二次域和Hilbert模群中的平方和，arXiv预印本arXiv:1812.10725[math.NT]，2018。
a（n）=和{i=0..n}r（i）*r（i+1）/4，其中r（n）=A004018号（n） 是将n写成两个平方和的方法数。
+20
三
1, 5, 5, 5, 13, 13, 13, 13, 17, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 33, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 65, 73, 73, 73, 73, 89, 89, 89, 89, 89, 89, 89, 89, 89, 101, 101, 101, 117, 117, 117, 117, 117, 117, 117, 117, 117, 117
参考文献
H.伊瓦涅克。自形形式的谱方法，《数学研究生》第53卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，2002年。
链接
费尔南多·查米佐，r（n）的相关和，J.数学。日本社会，51（1）：237-2521999。
费尔南多·查米佐（Fernando Chamizo）和罗伯托·米亚泰罗（Roberto J.Miatello），实二次域和Hilbert模群中的平方和，arXiv预印本arXiv:1812.10725[math.NT]，2018。
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