|
| |
|
| A143497号 |
| 无符号2-Lah数字的三角形。 |
|
9
|
|
|
|
1, 4, 1, 20, 10, 1, 120, 90, 18, 1, 840, 840, 252, 28, 1, 6720, 8400, 3360, 560, 40, 1, 60480, 90720, 45360, 10080, 1080, 54, 1, 604800, 1058400, 635040, 176400, 25200, 1890, 70, 1, 6652800, 13305600, 9313920, 3104640, 554400, 55440, 3080, 88, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
2,2
|
|
|
评论
|
有关此三角形的签名版本，请参见A062137号无符号2-Lah数L（2；n，k）给出了集合{1，2，…，n}到k个有序列表中的分区数，但限制条件是元素1和2必须属于不同的列表。更一般地说，无符号r-Lah数L（r；n，k）给出了集合{1，2，…，n}到k个有序列表的分区数，其中元素1，2。。。，r属于不同的列表。如果r=1，没有限制，我们得到无符号Lah数A105278号有关其他情况，请参见A143498号（r=3）和A143499号（r=4）。我们对一般情况作了一些评论。
无符号r-Lah数作为连接常数出现在广义Lah恒等式（x+2*r-1）*（x+2*r）**（x+2*r+n-r-2）=和{k=r.n}L（r；n，k）*（x-1）*（x-2）**（x-k+r）表示n>=r，其中任何空乘积都等于1（对于身份的直观证明，请遵循[Petkovsek和Pisanski]的证明，但将Argonauts的第一个r限制为不同的路径）。
无符号r-Lah数与无符号Lah数满足相同的递推关系，即L（r；n，k）=（n+k-1）*L（r，n-1，k）+L（r、n-1，k-1），但边界条件为：如果n<r或如果k<r，L（r）；L（r；r，r）=1。递归有显式解L（r；n，k）=（（n-r）/（k-r）！）*二项式（n+r-1，k+r-1），对于n，k>=r。因此，无符号r-Lah数对于k>=r具有Sum_｛n>=k｝L（r；n，k）*t^n/（n-r）！=形式的“垂直”生成函数1/（k-r）*t^k/（1-t）^（k+r）。这就产生了无符号r-限制Lah数数组的示例f.形式为：和{n，k>=r}L（r；n，k）*x^k*t^n/（n-r）！=（x*t）^r*1/（1-t）^（2*r）*exp（x*t/（1-t。
无符号r-Lah数字数组开始
1
2月1日
2r*（2r+1）2*（2r+1）1
2r（2r+1）*（2r+2）3*（2r+1）*
...
并且等于exp（D（r）），其中D（r）是具有序列（2*r，2*（2*r+1），3*（2*r+2），4*（2*r+3），…）的数组在主次对角线上，其他地方都是零。
无符号r-Lah数与r-Stirling数相关：无符号r-Rah数的下三角数组可以表示为矩阵乘积St1（r）*St2（r），其中St1（r）和St2（r）分别表示第一类和第二类r-Stirling数的数组。r-Stirling数的理论是在[Broder]中发展起来的。请参见A143491号-A143496号r-斯特林数表。数组的另一种因式分解为St1*P^（2r-2）*St2，其中P表示Pascal三角形，A007318元，St1是第一类无符号斯特林数abs的三角形(A008275号)St2表示第二类斯特林数的三角形，A008277号（应用[Neuwirth]的定理10）。
无符号r-Lah数数组是A133314号因此，将偏移量重新定义为n=0，给定矩阵A和B，其中A（n，k）=T（n，k）*A（n-k）和B（n，k-）=T。A的行多项式的一个例子是exp（x*t）exp{-x*t*[A*t/（A*t-1）]}/（1-A*t）^4=exp（x*t）exp[（.）！*Laguerre（.，3，-x*t，*A（.）*t）]-汤姆·科普兰2008年9月19日
|
|
|
链接
|
埃尔达尔·菲舍尔、约翰·马考斯基和弗塞沃洛德·拉基塔，限制集配分函数的MC-完整性，arXiv:2302.08265[math.CO]，2023年。
G.Nyul和G.Rácz，r-Lah数《离散数学》，338（2015），1660-1666。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo，椭圆车号和文件号，《组合数学电子杂志》，24（1）（2017），#P1.31。
沙塔克先生，广义r-Lah数，arXiv:1412.8721[math.CO]，2014年。
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，k）=（（n-2）/（k-2）！）*C（n+1，k+1），对于n，k>=2。
递归：T（n，k）=（n+k-1）*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）对于n，k>=2，边界条件：如果n<2或k<2，T（n、k）=0；T（2,2）=1。
例如，对于k列：求和{n>=k}T（n，k）*T^n/（n-2）！=1/（k-2）*t^k/（1-t）^（k+2）对于k>=2。
例如：求和{n=2..inf}求和{k=2..n}T（n，k）*x^k*T^n/（n-2）！=（x*t）^2/（1-t）^4*exp（x*t/（1-t））=（x*t）^2*（1+（4+x）*t+（20+10*x+x^2）*t^2/2！+…）。
广义Lah恒等式：（x+3）*（x+4）**（x+n）=和{k=2..n}T（n，k）*（x-1）*（x-2）**（x-k+2）。
多项式1/n*n>=0的和{k=2..n+2}T（n+2，k）*（-x）^（k-2）是广义拉盖尔多项式Laguerre（n，3，x）。请参见A062137美元.
主对角线的头部加1，每个子对角线加0后，第n对角线可以生成为（1/n！）[D^（-1）tDt t^（-3）D t^3]^n exp（x*t）的系数，其中D是导数w.r.t和D^t^（j+1）/（j+1！。例如，n=2生成20*x*t^3/3！+90*x^2*t^4/4！+252*x^3*t^5/5！+。对于一般的无符号r-Lah数字数组，将运算符中的三个替换为（2*r-1）。行多项式的例如f.是exp[D^（-1）tDt t^（-（2*r-1））Dt（2*r-1）]exp（x*t），偏移量n=0-汤姆·科普兰2008年9月21日
|
|
|
例子
|
三角形开始：
=========================================
否|2 3 4 5 6 7
----+------------------------------------
2 | 1
3 | 4 1
4 | 20 10 1
5 | 120 90 18 1
6 | 840 840 252 28 1
7 | 6720 8400 3360 560 40 1
...
T（4.3）=10。将{1,2,3,4}划分为3个有序列表，使得元素1和2位于不同的列表中的10个分区是：{1}{2}{3,4}和{1}{2}{4,3}、{1}{3}{2,4}和{1}{3}{4,2}、{1}{4}{2,3}和{1}{4}{3,2}、{2}{3}{1,4}和{2}{3}{4,1}、{2}{4}{1,3}和{2}{4}{3,1}。其余两个分区{3}{4}{1,2}和{3}{4}{2,1}是不允许的，因为元素1和2属于同一个块。
|
|
|
MAPLE公司
|
T:=（n，k）->（n-2）/（k-2）！）*二项式（n+1，k+1）：
对于从2到11的n，做序列（T（n，k），k=2..n）od；
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]：=（n-2）/（k-2）*二项式[n+1，k+1]；表[T[n，k]，{n，2，10}，{k，2，n}]//压扁(*阿米拉姆·埃尔达尔2018年11月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Maxima）create_list（（n-2）/（k-2）*二项式（n+1，k+1），n，2，12，k，2，n）/*弗兰克·马米尼里娜·拉马哈罗2018年11月27日*/
（GAP）T:=平面（列表（[2..10]，n->列表（[2.n]，k->（阶乘（n-2）/阶乘（k-2））*二项式（n+1，k+1）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月27日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
