A134991-OEIS公司

A134991号

按行读取的沃德数T（n，k）三角形。

1, 1, 3, 1, 10, 15, 1, 25, 105, 105, 1, 56, 490, 1260, 945, 1, 119, 1918, 9450, 17325, 10395, 1, 246, 6825, 56980, 190575, 270270, 135135, 1, 501, 22935, 302995, 1636635, 4099095, 4729725, 2027025, 1, 1012, 74316, 1487200, 12122110, 47507460, 94594500, 91891800, 34459425 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,3`
	评论	`这是第二类相关斯特林数的三角形，A008299年，沿着对角线阅读。` `这也是的行反向版本A181996号（另加一个前导1）-见Ward参考第92页的表格。134685英镑是对Ward表的改进。` `第一条和第二条对角线是A001147号和A000457号并出现在几个OEIS条目的对角线中。多项式也出现在Carlitz（第85页）、Drake等人（第8页）和Smiley（第7页）中。` `前几个多项式（具有不同的偏移量）是` `P（0，t）=0` `P（1，t）=1` `P（2，t）=t` `P（3，t）=t+3 t^2` `P（4，t）=t+10 t^2+15 t^3` `P（5，t）=t+25 t ^2+105 t ^3+105 t ^4` `这些是热带格拉斯曼G（2，n）的“脸”数，与系统发育树有关（偏移量0以P（2，t）开头）。相应的h矢量为A008517号. -汤姆·科普兰2011年10月3日` `A133314号应用于A（x，t）的导数意味着（A.+b.）^n=0^n，对于（b_n）=P（n+1，t）和（A_0）=1，（A_1）=-t，以及（A_n）=-（1+t）P（n，t），否则。例如，本影，（a.+b.）^2=a_2b_0+2a_1b_1+a_0*b_2=0-汤姆·科普兰2011年10月8日` `从第二列开始，这些行给出了Whitehouse单纯复形的面，四阶复形是三个孤立的顶点，五阶是具有10个顶点和15条边的Petersen图（参见Readdy）-汤姆·科普兰2014年10月3日` `光滑射影簇的分层是稳定n点有理曲线的精细模空间。参考Kock和Vainscher参考文献第20页和第30页以及A134685号. -汤姆·科普兰2017年5月18日` `以美国数学家摩根·沃德（1901-1963）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月26日`
	参考文献	`Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第222页。`
	链接	`G.C.格鲁贝尔，行n=1..65，扁平` `J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数，I：一般结构《组合理论杂志》，A辑，第125卷（2014），第146-165页；arXiv预印本，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013-2014。` `J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013年。` `J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数《组合数学电子杂志》，第22卷，第3期（2015年），#P3.37。` `安德烈亚斯·布拉斯（Andreas Blass）、娜塔莎·多布林恩（Natasha Dobrinen）和迪利普·拉加万（Dilip Raghavan），仅次于p点的第二好东西《符号逻辑杂志》，第80卷，第3期（2015年），第866-900页；arXiv预印本，arXiv:1308.3790[math.LO]，2013年。` `D.Callan、T.Mansour和M.Shattuck错位序列和Ward数序列的一些恒等式及相关双射《纯粹数学与应用》，第25卷（第2版），第132-143页，2015年。` `L.Carlitz，渐近展开中的系数和某些相关数杜克大学数学系。J.，第35卷，第1期（1968年），第83-90页。` `莱恩·克拉克，Ward数的渐近正态性，离散数学。203（1999），第1-3期，第41-48页。[来自N.J.A.斯隆2012年2月6日]` `汤姆·科普兰，生成器、反演、矩阵、二项式和积分变换.` `Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[math.CO]，2023。见第3页。` `Satyan L.Devadoss、Daoji Huang和Dominic Spadacene，树空间的多面体覆盖《SIAM离散数学杂志》，第28卷，第3期（2014年），第1508-1514页；arXiv预印本，arXiv:1311.0766[math.CO]，2013年。` `S.Devadoss和J.Morava，对基因组I进行对角化：在树空间中导航，arXiv:1009.3224v2[math.AG]，2012年。` `S.Devadoss和O.Schuh，树木空间制图，Leonardo（麻省理工学院直接出版社），第53卷，第3期，2019年。` `A.Dieckmann和E.Vigren，Ramanujan笔记本中级数有限三和形式的一个新结果《对称》（2022）第14卷，第6期，1090。` `丁明健和蒋增，利用树函数证明Ramanujan笔记本中一个级数的显式公式，arXiv:2307.00566[math.CO]，2023年。` `Brian Drake、Ira M.Gessel和Guoce Xin，代数几何序列上Goulden-Litsyn-Shevelev猜想的三个证明和推广，整数序列杂志，第10卷（2007），第07.3.7条。` `J.Felsenstein，进化树的数量《系统生物学》，27（1978），第27-33页，1978年。` `乔瓦尼·盖菲，嵌套集、集合分区和Kirkman-Cayley解剖数，arXiv预印本arXiv:1404.3395[math.CO]，2014。` `David M.Jackson、Achim Kempf和Alejandro H.Morales，QFT中勒让德变换的稳健推广《物理学报A：数学与理论》，第50卷，第22期（2017），225201；arXiv预印本，arXiv:1612.0046[hep-th]，2017年。` `布拉德利·罗伯特·琼斯，树钩长度公式、费曼规则和B级数，西蒙·弗雷泽大学数学系硕士论文，2014年。第23页。` `Joachim Kock和Israel Vainscher，有理平面曲线的Kontsevich公式，累西腓，1999年（版本31/01/2003）。` `Toufik Mansour和Mark Shattuck，与集划分有关的一些关联序列的多项式推广《匈牙利周期数学》，第75卷，第2期（2017年12月），第398-412页。` `数学溢出，热带格拉斯曼G'_2,7单形复数的面数？, 2011.` `Andrew Elvey Price和Alan D.Sokal，Ward多项式的系统发生树、增广完美匹配和Thron型连分数（T分数），arXiv:2001.01468[math.CO]，2020年。` `Margaret A.Readdy，物理学的前WDVV环及其拓扑《拉马努扬杂志》，第10卷，第2期（2005年），第269-281页；预印本, 2002.` `卢卡斯·兰达佐，Ramanujan多项式推广树木园《拉马努扬杂志》，第54卷（2019年），第1-14页；arXiv预印本，arXiv:1905.02083[math.CO]，2019年。` `卢卡斯·兰达佐，组合双射autour d'arbres et de chemins，巴黎大学博士论文，2019年。` `彼得·雷格纳，系统发生树：若干组合问题，硕士论文，2012年，离散数学和几何研究所，维也纳大学，第52页。` `F.Ren、J.Yeh和R.Zhou，几个三角形数组的上下文无关文法《公理》，第11卷，第6期，2972022。` `伦纳德·M·斯迈利，Carlitz有理函数序列的完备化，arXiv:math/0006106[math.CO]，2000年。` `P.Théorít，函数génératrices pour une classedéquations aux différences partielles，《科学年鉴》。数学。魁北克19，91-105（1995）。` `摩根·沃德，斯特林数和斯特林多项式的阶乘和表示阿默尔。数学杂志。，第56卷，第1期（1934年），第87-95页。` `B.朱，m-Jacobi-Rogers三角形行生成多项式的系数Hankel-total正性，arXiv:22022.03793[math.CO]，2022。`
	配方奶粉	`例如，多项式为A（x，t）=（x-t）/（t+1）+t{（t/（t+1A000169号。x（大约x=0）中的成分反转是B（x）=x+-t[exp（x）-x-1]。特例t=1给出了例如fA000311号。这些结果是A134685号u（x）=B（x）。` `发件人汤姆·科普兰2008年10月26日：（开始）` `Umbral-Sheffer形式给出了对于m是正整数并且u＝t/（t+1），` `当函数序列Q（n，x）的级数收敛时，[P（.，t）+Q（.，x）]^m=[mQ（m-1，x）-tQ（m，x）]/（t+1）+和（n>=1）{n^（n-1）[u exp（-u）]^n/n。` `检查：t=1；Q（n，x）=0^n，对于n>=0；Q（-1，x）=0，则[P（.，1）+Q（.，x）]^m=P（m，1）=A000311号（m） ●●●●。` `（结束）` `设h（x，t）=1/（dB（x）/dx）=1/（1-t（exp（x）-1））A019538年，然后是表中t的第n行多项式A134991号，P（n，t），由（（h（x，t）d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即A（x，t）=exp（xP（.，t））=exp（xh（u，t）d/du）u在u=0时评估得出。此外，dA（x，t）/dx=h（A（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月5日` `多项式（1+t）/tP（n，t）是A112493号设f（x）=（1+x）/（1-xt）。然后，对于n>=0，P（n+1，t）由在x=0时计算的t/（1+t）（f（x）d/dx）^n（f（x））给出-彼得·巴拉2011年9月30日` `发件人汤姆·科普兰2011年10月4日：（开始）` `T（n，k）=（k+1）T（n-1，k）+（n+k+1）T（n-l，k-1），起始指数n=0，k=0，以P（2，T）开头（如David Speyer关于MathOverflow的公式所示）。` `T（n，k）=kT（n-1，k）+（n+k-1）T（n+1，k-1），表中起始指数n=1和k=1（参考上文Smiley和其中Riordin参考文献[10]）。` `P（n，t）=（1/（1+t））^n和{k>=1}k^（n+k-1）[（uexp（-u）]^k/k！当n>1时，u=（t/（t+1））；因此，求和{k>=1}（-1）^k^（n+k-1）x^k/k！` `=[1+LW（x）]^（-n）P{n，-LW（x。` `T（n，k）=和{i=0..k}（（-1）^i二项式（n+k，i）和{j=0..k-i}（-1）从关系到A008299号.（结束）` `例如，f.A（x，t）=-v（和{j=>1}D（j-1，u）（-z）^j/j！）其中u=（x-t）/（1+t），v=1+u，z=x/（（1+t）v^2）和D（j-1，u）是A042977号.dA/dx=1/（（1+t）（v-A））=1/（1-t*（exp（A）-1））-汤姆·科普兰2011年10月6日` `关于细分多项式卷积的一般结果A134685号这里可以应用u1=1和un=-t，以获得这些多项式的卷积结果-汤姆·科普兰2016年9月20日` `例如：C（u，t）=（u-t）/（1+t）-W-程鹏2021年9月11日` `彭之前公式中的函数C（u，t）正是本节2008年初始公式和2011年10月6日科普兰公式中给出的函数A（u，t）。如中所述A000169号，欧拉树函数是T（x）=-LambertW（-x），其中W（x）是Lambert函数的主分支，T（xA000169号. -汤姆·科普兰2022年5月13日`
	示例	`三角形开始：` `1` `1 3` `1 10 15` `1 25 105 105` `1 56 490 1260 945` `1 119 1918 9450 17325 10395` `。。。`
	数学	`t[n_，k_]：=Sum[（-1）^i二项式[n，i]Sum[（-1）^j（k-i-j）^（n-i）/（j！（k-i-j）！），{j，0，k-i}]，{i，0，k}]；行[n_]：=表[t[k，k-n]，{k，n+1，2n}]；表[行[n]，{n，1，9}]//展平(Jean-François Alcover公司2014年4月23日之后A008299号*)`
	交叉参考	`一样A269939型，删除了列k=0。` `第二类相关斯特林数三角形的重塑版本，A008299号.` `A181996号是镜像。` `k=2、3、4列为A000247号,A000478号,A058844号.` `对角线k=n为A001147号.` `对角线k=n-1为A000457号.` `行总和为A000311号.` `交替行和是有符号阶乘（-1）^（n-1）A000142号（n） ●●●●。` `囊性纤维变性。A112493年.` `上下文中的序列：A064060型 A176740号 A370258A212930型 A225725型 A095327号` `相邻序列：A134988号 134989英镑 A134990型*A134992号 A134993号 A134994号`
	关键词	`非n,表`
	作者	`汤姆·科普兰2008年2月5日`
	扩展	`参考A181996号由添加N.J.A.斯隆2012年4月5日` `进一步编辑N.J.A.斯隆2020年1月24日`
	状态	`经核准的`