A033715-OEIS公司

A033715号

方程x^2+2y^2=n的整数解数（x，y）。

1, 2, 2, 4, 2, 0, 4, 0, 2, 6, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 2, 4, 6, 4, 0, 0, 4, 0, 4, 2, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 0, 4, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 4, 2, 2, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 8, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 8, 4, 4, 0, 0, 0, 6, 4, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 10, 4, 4, 0, 0, 4, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 4, 2, 12, 2, 0, 8, 0

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

格点C2与Gram矩阵的Theta级数[1,0；0,2]。a（n）非零当且仅当n在A002479号. -迈克尔·索莫斯2011年12月15日

Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第17个。

Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，phi（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054级)，chi（q）(A000700型).

由2015年卡塞尔和鲁特瑙的|a_4（n）|表示-迈克尔·索莫斯2015年6月16日

参考文献

Bruce C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag，1991年，见第114页条目8（III）。

J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球形填料、晶格和群》，Springer-Verlag，1999年，第102页，等式9。

L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第3卷第19页。

Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.24）。

J.W.L.Glaisher，一个数的（8k+1）和（8k+3）除数超过（8k+5）和（9k+7）除数的表，信使数学。，31 (1901), 82-91.

J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，《初等数论》，McGraw-Hill，纽约，1939年，第346页。

链接

约翰·坎农，n=0..10000时的n，a（n）表

乔治·安德鲁斯、理查德·刘易斯和刘志国，关于θ级数和Lambert级数之和的恒等式，公牛。伦敦数学。《社会》，33（2001），25-31。

迈克尔·吉兰德，一些自相似整数序列.

Michael D.Hirschorn，一个数以各种形式表示的数目《离散数学》298（2005），205-211。

克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]

克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点Hilbert格式zeta函数的完全确定，arXiv:1610.07793[math.NT]，2016年。

伊夫·马丁，乘法eta商，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），编号12，4825-4856，见第4852页，表一。

N.J.A.Sloane等人。，二元二次型与OEIS（相关序列、程序、参考的索引）。

迈克尔·索莫斯，伊夫·马丁74个乘法eta商及其A数列表索引, 2016.

迈克尔·索莫斯，Ramanujan theta函数简介, 2019.

埃里克·魏斯坦的数学世界，Ramanujan Theta函数.

配方奶粉

Fine根据n的除数给出了a（n）的显式公式。

周期8序列的欧拉变换[2，-1，2，-4，2，-1，-2，…]。

（eta（q^2）*eta（q ^4））^3/（eta。

和{i，j=-inf..inf}q^（i^2+2*j^2）的展开系数。

G.f=s（2）^3*s（4）^3/（s（1）^2*s（8）^2），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind的函数，参见。A010815号.[罚款]

G.f.：1+2*Sum_{k>0}克罗内克（-2，n）*x^k/（1-x^k）=1+2*Sum_{k>0}（x^k+x^（3*k））/（1+x^（4*k））。

G.f.：θ_3（q）*theta _3（q^2）=产品{k>0}（1+x^（2*k））*（（1+x^k）*（1-x^。

发件人迈克尔·索莫斯2006年10月23日：（开始）

莫比乌斯变换是周期8序列[2，0，2，0，-2，0，-2,0，…]。

G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^3），A）（x^6）），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-3*u3）*（u1-u2-u3+u6）-（u2-3*u6）*（u 1-2*u2-u3+2*u6。（结束）

a（n）=2*A002325号（n）除非n=0。

G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=8^（1/2）（t/i）f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2012年9月9日

发件人迈克尔·索莫斯2014年8月29日：（开始）

phi（q）*phi（q^2）的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。

a（2*n）=a（n）。a（2*n+1）=2*A113411号（n） ●●●●。（结束）

发件人迈克尔·索莫斯2015年5月17日：（开始）

a（n）=A028572号（4*n）=133692英镑（2*n）=A139093型（8*n）=A226225型（8*n）=A226240型（4*n）=A242609型（4*n）=A245572型（4*n）/3=（-1）^楼层（（n+1）/2）*A082564号（n） ●●●●。

a（8*n+5）=a（8xn+7）=0。a（8*n+1）=2*A112603号（n） ●●●●。a（8*n+3）=4*A033761号（n） ●●●●。（结束）

对于n>0，a（0）=1，a（n）=2*b（n），其中b（）与a（2^e）=1相乘，a（p^e）=e+1如果p==1，3（mod 8），a（p ^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==5，7（mod 9）-宋嘉宁2018年9月4日

渐近平均值：Limit_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=0..m}a（k）=Pi/sqrt（2）=2.2221441(A247719号). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月16日

例子

G.f=1+2*q+2*q^2+4*q^3+2*q^4+4*q*6+2*q*8+6*q^9+4*q*11+4*qq^12+。。。

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d： =proc（r，m，n）局部i，t1；t1:=0；对于从1到n的i，如果n mod i=0且i-r mod m=0，则t1:=t1+1；fi；od：t1；结束；[序列（2*（d（1,8，n）+d（3,8，n；

数学

a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]椭圆Theta[3,0，q^2]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2012年9月9日*）

a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，2 DivisorSum[n，KroneckerSymbol[-2，#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月29日*）

a[n_]：=级数系数[（QPochhammer[q^2]QPochharmer[q ^4]）^3/（QPochammer[q]QPochchammer[q^8]）^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月29日*）

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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*（发行方（n）-发行方（2*n）+2*和（i=1，平方（n\2），发行方（n-2*i^2）））}；

（PARI）{a（n）=如果（n＜1，n＝＝0，2*sumdiv（n，d，kronecker（-2，d））}/*迈克尔·索莫斯2005年8月23日*/

（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0；0,2]，n）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2005年8月23日*/

（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n；

（弧垂）Q=对角线二次型（ZZ，[1,2]）；Q.representation_number_list（104）#彼得·卢什尼2014年6月20日

（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（8），1），105）；A[1]+2*A[2]+2*A[3]/*迈克尔·索莫斯2014年8月29日*/

交叉参考

囊性纤维变性。A002325号,A002479号,A028572号,A033761号,A082564号,A112603号,A113411号,133692英镑,A139093型,A226225型,A226240型,A242609型,A245572型,A247719号.

囊性纤维变性。A000122号,A000700型,A010054级,A121373号.

f（x，y）=n的整数解的个数，其中f（x、y）是带判别式d的主要二进制二次型：A004016号（d=-3），A004018号（d=-4），A002652号（d=-7），该序列（d=-8），A028609号（d=-11），A028641号（d=-19），A138811号（d=-43）。

上下文中的序列：A129355号 A080963号 133692英镑*A082564号 A139093型 A080918号

相邻序列：A033712号 A033713号 A033714号*A033716美元 A033717号 A033718号

关键字

非n,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的