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提示 （来自的问候整数序列在线百科全书!) A007331号 E_{无穷大，4}的傅里叶系数。 （原名M4503） 41 0, 1, 8, 28, 64, 126, 224, 344, 512, 757, 1008, 1332, 1792, 2198, 2752, 3528, 4096, 4914, 6056, 6860, 8064, 9632, 10656, 12168, 14336, 15751, 17584, 20440, 22016, 24390, 28224, 29792, 32768, 37296, 39312, 43344, 48448, 50654, 54880, 61544, 64512 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式) 抵消 0.3 评论 E_{无穷大，4}是Gamma_0（2）在i*无穷大处具有简单零的唯一规范化权重-4模形式。由于它有2级，与之相反，它不是尖点形状A002408号. a（n+1）是n作为8个三角形数之和的表示数（从A000217号). 参见Ono等人的链接，定理5。 Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型). a（n）给出n的除数d的立方和，使得n/d是奇数。这在Ono等人的链接中被称为西格玛^#_3（n）。请参阅下面的公式-沃尔夫迪特·朗2017年1月12日 参考文献 B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第139页，Ex（ii）。 N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。 链接 Seiichi Manyama，n=0..10000时的n，a（n）表（T.D.Noe的条款0..1001） B.布伦特，二次极小和模形式《实验数学》，第7版，第3期，257-274页。 H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004年。 J.H.Conway和N.J.A.Sloane，球形填料、格和群《施普林格·弗拉格》，第187页。 J.W.L.Glaisher，关于数字表示为2、4、6、8、10和12平方和的问题，夸脱。数学杂志。38（1907），1-62（见第4页和第8页）。 小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。] K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理5。 H.罗森格伦，Frobenius行列式中三角形数的和，arXiv:math/0504272[math.NT]，2005年。 Glaisher提到的序列的索引项. 配方奶粉 G.f.：q*产品{k>=1}（1-q^k）^8*（1+q^k）^16.-已由更正瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年10月14日 a（n）=Sum_{0<d|n，n/d奇数}d^3。[上光器] 通用公式：和{n>0}n^3*x^n/（1-x^（2*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月24日 雅可比θ常数θ_2（q）^8/256的q次幂展开。 eta（q^2）^16/eta（q）^8的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年5月31日 x*psi（x）^8的x次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2012年1月15日 （Q（x）-Q（x^2））/240的x次幂展开式，其中Q（）是Ramanujan Lambert级数-迈克尔·索莫斯2012年1月15日 E_{gamma，2}^2*E_{0,4}的q次幂展开。 周期2序列的欧拉变换[8，-8，…]-迈克尔·索莫斯2005年5月31日 G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2），A（x^4）），其中f（u，v，w）=v^3-u^2*w+16*u*v*w-32*v^2*w+256*v*w^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日 G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（2t））=16^（-1）（t/i）^4g（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是A035016级-迈克尔·索莫斯2009年1月11日 与a（2^e）=2^（3e），a（p^e）=（p^（3（e+1））-1）/（p^3-1）相乘-米奇·哈里斯2005年6月13日 Dirichlet卷积A154955号通过A001158号Dirichlet g.f.zeta（s）*zeta（s-3）*（1-1/2^s）-R.J.马塔尔2011年3月31日 A002408号（n） =-（-1）^n*a（n）。 卷积平方A008438号-迈克尔·索莫斯2014年6月15日 a（1）=1，a（n）=（8/（n-1））*和{k=1..n-1}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-Seiichi Manyama先生2017年5月6日 求和{k=1..n}a（k）~c*n^4，其中c=Pi^4/384=0.253669(A222072型)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月19日 例子 G.f.=q+8*q^2+28*q^3+64*q^4+126*q^5+224*q^6+344*q^7+512*q^8+。。。 MAPLE公司 nmax:=40:seq（系数（系列（x*（乘积（（1-x^k）^8*（1+x^k，^16，k=1..nmax）），x，n+1），x、n），n=0..nmax）#瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年10月14日 数学 前缀[表[Plus@@（选择[Divisors[k+1]，OddQ[（k+1）/#]&]^3），{k，0，39}]，0](*蚂蚁王2010年12月4日*） a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[2,0，q^（1/2）]^8/256，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2013年6月4日*） a[n_]：=如果[n<1，0，和[d^3布尔[OddQ[n/d]]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月4日*） f[n_]：=总计[（2n/选择[Divisors[2n]，Mod[#，4]==2&]）^3]；展平[{0，数组[f，40]}](*罗伯特·威尔逊v2015年3月26日*） nmax=60；系数列表[系列[x*乘积[（1-x^k）^8*（1+x^k）^16，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年10月14日*） QP=Q手锤；s=q*（QP[-1，q]/2）^16*QP[q]^8+O[q]*50；系数列表[s，q](*Jean-François Alcover公司2015年12月1日，改编自PARI*） 黄体脂酮素 （PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（n/d%2）*d^3））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/ （PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，n--；a=x*O（x^n）；极系数（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^8，n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/ （PARI）a（n）=我的（e=估价（n，2））；8^e*西格玛（n/2^e，3）\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年9月9日 （Sage）模块形式（Gamma0（2），4，prec=33）.1#迈克尔·索莫斯2013年6月4日 （岩浆）基础（模块形式（Gamma0（2），4），10）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/ （Python） 从sympy导入除数 定义a（n）： 如果n==0，则返回0，否则求和（（（n//d）%2）*d**3表示除数（n）中的d） 打印（[范围（101）中n的a（n）]）#因德拉尼尔·戈什2017年6月24日 交叉参考 囊性纤维变性。A002408号，A004017号，A035016号，A045825号，A076577号，A096960型，A222072型. 将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号，A008441号，A008443号，A008438号，A008439号，A008440型，A226252型，A007331号，262253英镑，A226254号，A226255型，A014787号，A014809号，A076577号. 上下文中的序列：A299289号 A212515型 A342251型*A002408号 A340964型 A353325型 相邻序列：A007328号 A007329号 A007330号*A007332号 A007333号 A007334号 关键词 容易的，美好的，非n，多重 作者 N.J.A.斯隆，米拉·伯恩斯坦 扩展 巴里·布伦特（barryb（AT）primenet.com）的附加评论 错误的Maple程序替换为瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年10月14日 a（0）=0前面加瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年10月14日 状态 经核准的

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