搜索： a106270-编号：a106270
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1, 0, -2, -7, -21, -63, -195, -624, -2054, -6916, -23712, -82498, -290510, -1033410, -3707850, -13402695, -48760365, -178405155, -656043855, -2423307045, -8987427465, -33453694485, -124936258125, -467995871775, -1757900019099, -6619846420551, -24987199492703
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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和{n>=2}（n+1）*a（n）*x^n=（x*a（x））'-1，
和{n>=2}（1-5*n）*a（n-1）*x^n=x*a（x）-5*x*（x*a
求和{n>=2}2*（2*n-1）*a（n-2）*x^n=4*x*（x^2*a（x））'-2*x^2*1（x）。
将这些方程（并排）相加，我们得到
和{n>=2}（（n+1）*a（n）+（1-5*n）*a，
这证明了这个猜想。（结束）
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配方奶粉
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G.f.：c（x）*sqrt（1-4x）/（1-x），其中c（xA000108号.
a（n）=和{k=0..n}2*0^（n-k）-C（n-k），其中C（m）=A000108号（m） （加泰罗尼亚数字）。
猜想：（n+1）*a（n）+（1-5*n）*a-R.J.马塔尔2012年11月9日
a（n）~-2^（2*n+2）/（3*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年7月22日
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数学
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表[1-和[（2n）！/n！/（n+1）！，{n，1，k}]，{k，0，30}](*亚历山大·阿达姆楚克2007年2月23日*）
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经核准的
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1, -1, -1, -6, -15, -48, -147, -477, -1577, -5339, -18373, -64125, -226385, -807025, -2900825, -10501870, -38258495, -140146660, -515897195, -1907409850, -7080017615, -26373676870, -98562581255, -369433290520, -1388466728579, -5231379691972
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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和{n>=3}（n+1）*a（n）*x^n=（x*a（x））'+（-1+2*x+3*x^2），
求和{n>=3}2*（1-2*n）*a（n-1）*x^n=2*x*a（x）-4*x*（x*a，
Sum_｛n>=3}-（n+1）*a（n-2）*x^n=-（x^3*a（x））'+3*x^2，以及
求和{n>=3}2*（2*n-1）*a（n-3）*x^n=4*x*（x^3*a（x））'-2*x^3*1（x）。
将这些方程（并排）相加，我们得到
和{n>=3}（n+1）*a（n）+2*（1-2*n）*a，
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链接
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配方奶粉
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G.f.：c（x）*sqrt（1-4*x）/（1-x^2），其中c（xA000108号.
a（n）=和{k=0..层（n/2）}2*0^（n-2k）-C（n-20k）。
猜想：（n+1）*a（n）+2*（1-2*n）*a-R.J.马塔尔2012年11月9日
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黄体脂酮素
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（PARI）c（x）=（1平方米（1-4*x））/（2*x）；
我的（x='x+O（'x^35））；Vec（c（x）*sqrt（1-4*x）/（1-x^2））\\米歇尔·马库斯2019年7月16日
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交叉参考
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容易的,签名
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作者
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经核准的
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1, 3, 8, 21, 56, 154, 440, 1309, 4048, 12958, 42712, 144210, 496432, 1735764, 6145968, 21986781, 79331232, 288307254, 1054253208, 3875769606, 14315659632, 53097586284, 197677736208, 738415086066
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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总面积：（1-sqrt（1-4*z））/（2*z*（1-2*z）。
a（n）=和{j=0..n}（2^（n-j）*二项式（2*j，j）/（j+1））。（结束）
递归：（n+1）*a（n）=32*（2*n-7）*a-林风2014年3月9日
渐近：a（n）~2^（2n+1）/n^（3/2）/sqrt（Pi）-林风2014年3月21日
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项运算符，箭头：和（2^（n-j）*二项式（2*j，j）/（j+1），j=0..n）结束proc:seq（a（n），n=0..23）#Emeric Deutsch公司2008年10月16日
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数学
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a[n_]：=a[n]=总和[2^（n-j）*加泰罗尼亚数字[j]，{j，0，n}]；
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黄体脂酮素
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（岩浆）
A014318号：=func<n|（&+[2^（n-j）*加泰罗尼亚语（j）：j in[0..n]]）>；
（SageMath）
定义A014318号（n） ：返回范围（n+1）中j的总和（2^（n-j）*catalan_number（j））
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 7, 16, 39, 104, 301, 927, 2983, 9901, 33615, 116115, 406627, 1440039, 5147891, 18550588, 67310955, 245716112, 901759969, 3325067016, 12312494483, 45766188970, 170702447097, 638698318874, 2396598337975, 9016444758528, 34003644251233, 128524394659942, 486793096819011
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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p^2除以所有素数p>3的a（p^2-1）。（结束）
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配方奶粉
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1*C（n）+2*C（n-1）+3*C（n-2）+…+（n+1-k）*C（k）+…+n*C（1）+（n+1）*C（0），其中C（k）=（2k）/（k！*（k+1）！）是加泰罗尼亚数字A000108号（k） ●●●●-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月4日
a（n）=和{m=0..n}和{k=0..m}（2k）/（k！*（k+1）！）。
a（n）=和{k=0..n}（n+1-k）*（2k）/（k！*（k+1）！）。（结束）
总面积：1/（1-x）^2*（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月14日
a（n）~2^（2*n+4）/（9*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月14日
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MAPLE公司
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b： =proc（n）选项记忆`如果`（n<0，[0$2]，（q->（f->
[f[2]+q，q]+f）（b（n-1））（二项式（2*n，n）/（n+1））
结束时间：
a： =n->b（n）[1]：
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数学
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表[Sum[Sum[（2k）！/k！/（k+1）！，{k，0，m}]，{m，0，n}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
sm（v）={my（s=向量（#v））；s[1]=v[1]；对于（n=2，#v，s[n]=v[n]+s[n-1]）；s；}
C（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）；
sm（sm（矢量（66，n，C（n-1）））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A106268号
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| 数字三角形T（n，k）=（-1）^（n-k）*二项式（k-n，n-k）=；Riordan数组（1/（2-C（x）），x），其中C（x）是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. |
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+10
三
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1, 1, 1, 3, 1, 1, 10, 3, 1, 1, 35, 10, 3, 1, 1, 126, 35, 10, 3, 1, 1, 462, 126, 35, 10, 3, 1, 1, 1716, 462, 126, 35, 10, 3, 1, 1, 6435, 1716, 462, 126, 35, 10, 3, 1, 1, 24310, 6435, 1716, 462, 126, 35, 10, 3, 1, 1, 92378, 24310, 6435, 1716, 462, 126, 35, 10, 3, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=（-1）^（n-k）*二项式（k-n，n-k）。
T（n，k）=（1/2）*（0^（n-k）+二项式（2*（n-k，n-k））。
总和{k=0..层（n/2）}T（n-k，k）=A106269号（n） （对角线总和）。
二元g.f.：和{n，k>=0}T（n，k）*x^n*y^k=（1/2）*（1/（1-x*y））*（1+1/sqrt（1-4*x））-佩特罗斯·哈吉科斯塔斯2019年7月15日
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例子
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三角形（行n>=0，列k>=0）的开头如下：
1；
1, 1;
3, 1, 1;
10, 3, 1, 1;
35, 10, 3, 1, 1;
126, 35, 10, 3, 1, 1;
...
生产矩阵开始：
1, 1;
2, 0, 1;
5, 0, 0, 1;
14, 0, 0, 0, 1;
42, 0, 0, 0, 0, 1;
132, 0, 0, 0, 0, 0, 1;
429, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1;
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数学
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T[n，k_]：=（-1）^（n-k）*二项式[k-n，n-k]；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2023年1月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）trg（nn）={对于（n=1，nn，对于（k=1，n，print1（二项式（k-n，n-k）*（-1）^（n-k），“，”）；）；print（）；}\\米歇尔·马库斯2014年10月3日
（岩浆）
A106268号：=func<n，k|k eq n选择1 else（n-k+1）*Catalan（n-k）/2>；
（SageMath）
定义A106268号（n，k）：返回（1/2）*（0^（n-k）+（n-k+1）*catalan_number（n-k））
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交叉参考
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经核准的
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1，-1，1，-1，-1，-1，-2，-1，-1，-1，-5，-2，-1，-1，-14，-5，-2，-1，-1，1，-42，-14，-5，-2，-1，-1，1，-132，-42，-14，-5，-2，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-429，-132，-42，-14，-5，-2，-1，-1，-1，-1430，-429，-132，-422，-14，-5，-2，-1，-1，1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Toeplitz型下三角Riordan矩阵T是Riordan阵（c（x），x）=的逆矩阵|A106270型|，也是Toeplitz型。
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配方奶粉
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下三角矩阵T满足：T=I-L^{tr}*|A106270型|也适用于有限N X N版本，单位矩阵I和下三角矩阵L^{tr}（I，j）=delta{I，j-1}（Kronecker符号δ）的第一个下对角线为1s，否则为0。
T（n，n）=1，对于T（n、m）=-C_{n-1-m}=-|A106270型（n-1，m）|，对于0≤m≤n-1，加泰罗尼亚数字C（n）=A000108号n<m时，T（n，m）=0。
O.g.f.行多项式R（n，x）=和{m=0..n}T（n，m）*x^m，即三角形的O.g.f。G（z，x）=c（z）/（1-x*z）。
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例子
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三角形矩阵T开始于：
n/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
--------------------------------------------------
0: 1
1: -1 1
2: -1 -1 1
3: -2 -1 -1 1
4:-5-2-1-1 1
5: -14 -5 -2 -1 -1 1
6: -42 -14 -5 -2 -1 -1 1
7: -132 -42 -14 -5 -2 -1 -1 1
8: -429 -132 -42 -14 -5 -2 -1 -1 1
9: -1430 -429 -132 -42 -14 -5 -2 -1 -1 1
...
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