搜索： a090199-编号：a090199
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A008550号
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| 表T（n，k），n>=0和k>=0，通过反对偶读取：第k列由第k个Narayana多项式给出。 |
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9
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 14, 11, 4, 1, 1, 1, 42, 45, 19, 5, 1, 1, 1, 132, 197, 100, 29, 6, 1, 1, 1, 429, 903, 562, 185, 41, 7, 1, 1, 1, 1430, 4279, 3304, 1257, 306, 55, 8, 1, 1, 1, 4862, 20793, 20071, 8925, 2426, 469, 71, 9, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=和{j>0}A001263号（k，j）*n^（j-1）；T（n，0）=1。
T（n，k）=Sum_{j，0<=j<=k}A088617号（k，j）*n^j*（1-n）^（k-j）。
第n行的o.g.f.为gf（n）=2/（sqrt（（n-1）^2*x^2-2*（n+1）*x+1）+-彼得·卢什尼2014年11月17日
第n行的G.f:1/（1-x/（1-n*x/（1-1-x/（1-n*x/[1-x/……）））），一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2017年8月10日
T（n，k）=超几何2F1（[k-n，k-n+1]，[2]，k），作为数字三角形-G.C.格鲁贝尔2021年2月15日
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示例
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行n=3:1、1、4、19、100、562、3304。。。看见A007564号.
行n=4:1、1、5、29、185、1257、8925。。。看见A059231号.
第n=5:1、1、6、41、306、2426、20076行。。。看见A078009号.
行n=6:1、1、7、55、469、4237、39907。。。看见A078018号.
行n=7:1、1、8、71、680、6882、72528。。。看见A081178号.
行n=8:1、1、9、89、945、10577、123129。。。看见A082147号.
行n=9:1，1，10，109，1270，15562，198100。。。看见A082181号.
行n=10:1、1、11、131、161、1661、22101。。。看见A082148号.
行n=11:1，1，12，155，2124，30482，453432。。。看见A082173号.
反对角线三角形的前几行是：
1;
1, 1;
1, 1, 1;
1, 2, 1, 1;
1, 5, 3, 1, 1;
1, 14, 11, 4, 1, 1;
1, 42, 45, 19, 5, 1, 1; -G.C.格鲁贝尔2021年2月15日
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MAPLE公司
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gf:=n->2/（平方（（n-1）^2*x^2-2*（n+1）*x+1）+（n-1
对于从0到11的n，做多项式工具：-系数列表（转换（级数（gf（n），x，12），多项式），x）od#彼得·卢什尼2014年11月17日
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数学
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（*第一个程序*）
取消保护[电源]；功率[0|0，0|0]=1；保护[电源]；表[Function[n，Sum[Apply[Binominal[#1+#2，#1]Binominal[#1，#2]/（#2+1）&，{k，j}]*n^j*（1-n）^（k-j），{j，0，k}][m-k+1]/。k_/；k<=0->1，{m，-1，9}，{k，m+1，0，-1}]//扁平(*迈克尔·德弗利格，2017年8月10日注：此代码呈现0^0=1。要恢复正常电源功能：取消保护[电源]；ClearAll[电源]；保护[电源]*）
（*第二个节目*）
表[Hypergeometric2F1[1-n+k，k-n，2，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2021年2月15日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）展平（[[超几何（[k-n，k-n+1]，[2]，k）.simplify_hypergeometric（）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年2月15日
（Magma）[截断（超几何级数（k-n，k-n+1，2，k））：k in[0.n]，n in[0.12]]//G.C.格鲁贝尔2021年2月15日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A243631型
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| Narayana多项式的平方数组N_N在整数A（N，k）=N_N（k），N>=0，k>=0处求值，由反对偶读取。 |
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9
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 1, 4, 11, 14, 1, 1, 1, 5, 19, 45, 42, 1, 1, 1, 6, 29, 100, 197, 132, 1, 1, 1, 7, 41, 185, 562, 903, 429, 1, 1, 1, 8, 55, 306, 1257, 3304, 4279, 1430, 1, 1, 1, 9, 71, 469, 2426, 8925, 20071, 20793, 4862, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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配方奶粉
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T（n，k）=2F1（[1-n，-n]，[2]，k），2F1超几何函数。
T（n，k）=P（n，1，-2*n-1,1-2*k）/（n+1），P雅可比多项式。
T（n，k）=总和（j=0..n-1，二项式（n，j）^2*（n-j）/（n*（j+1））*k^j），对于n>0。
有关重现性，请参阅第二个Maple程序。
第n列的o.g.f.为gf（n）=2/（sqrt（（n-1）^2*x^2-2*（n+1）*x+1）+（n-1-彼得·卢什尼2014年11月17日
T（n，k）~（平方（k）+1）^（2*n+1）/（2*sqrt（Pi）*k^（3/4）*n^（3/2））-彼得·卢什尼2014年11月17日
对于n>=1，第n行可以通过线性递推计算，a（x）=sum（k=1..n，（-1）^（k+1）*二项式（n，k）*a（x-k）），初始值a（k）=p（n，k）（k=0..n），p（n，x）=sum（j=0..n-1，二项式（n-1，j）*二项式（n，j）*x^j/（j+1））（在第四个Maple脚本中实现）-彼得·卢什尼2014年11月19日
和{k=0..n}T（k，n-k）=和{k=0..n}2F1（[-k，1-k]，[2]，n-k=A132745型（n） ●●●●-G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
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示例
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[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
[0] 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
[1] 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
[3] 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71 ..A028387号
[4] 1, 14, 45, 100, 185, 306, 469, 680 ..A090197号
[5] 1、42、197、562、1257、2426、4237、6882。。A090198号
[6] 1, 132, 903, 3304, 8925, 20076, 39907, 72528 ..A090199号
[7] 1, 429, 4279, 20071, 65445, 171481, 387739, 788019 ..A090200型
反对角线三角形的前几行是：
1;
1, 1;
1, 1, 1;
1, 1, 2, 1;
1, 1, 3, 5, 1;
1, 1, 4, 11, 14, 1;
1, 1, 5, 19, 45, 42, 1; -G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
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MAPLE公司
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#用Narayana多项式计算：
N:=（N，k）->二项式（N，k）^2*（N-k）/（N*（k+1））；
A:=（n，x）->`如果'（n=0，1，加（n（n，k）*x^k，k=0..n-1））；
seq（打印（seq（A（n，k），k=0..7）），n=0..7）；
#按递归计算：
Prec:=proc（n，n，k）选项记住；局部A、B、C、h；
如果n=0，则1 elif n=1，然后1+n+（1-n）*（1-2*k）
否则h:=2*N-N；A:=n*h*（1+n-n）；C:=n*（h+2）*（n-n）；
B:=（1+h-n）*（n*（1-2*k）*（1+h）+2*k*n*（1+n））；
（B*Prec（n-1，n，k）-C*Prec
T:=（n，k）->预处理（n，n，k，）/（n+1）；
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..7）），n=0..7）；
#按列的o.g.f.排列：
gf:=n->2/（平方（（n-1）^2*x^2-2*（n+1）*x+1）+（n-1
对于从0到11的n，做多项式工具：-系数列表（转换（级数（gf（n），x，12），多项式），x）od#彼得·卢什尼2014年11月17日
#按线性递归排列的第n行：
rec:=n->a（x）=加（（-1）^（k+1）*二项式（n，k）*a（x-k），k=1..n）：
ini:=n->seq（a（k）=a（n，k），k=0..n）：#关于a，见上文
行：=n->gfun:-rectproc（{记录（n），ini（n）}，a（x），列表）：
对于从1到7的n，做第（n）（8）行od#彼得·卢什尼2014年11月19日
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数学
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矩阵形式[表[JacobiP[n，1，-2*n-1，1-2*x]/（n+1），{n，0，7}，{x，0，7}]]
表[Hypergeometric2F1[1-k，-k，2，n-k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2021年2月16日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
定义Narayana多项式（）：
R=多项式环（ZZ，'x'）
D=[1]
h=0
b=正确
为True时：
如果b：
对于范围（h，0，-1）内的k：
D[k]+=x*D[k-1]
h+=1
收益率R（展开（D[0]））
D.追加（0）
其他：
对于范围（0，h，1）中的k：
D[k]+=D[k+1]
b=非b
NP=纳拉亚纳多项式（）
对于范围（8）中的_：
p=下一个（NP）
[范围（8）中k的p（k）]
（鼠尾草）
定义A243631型（n，k）：如果n==0，则返回1（[0..n-1]中j的二项式（n，j）^2*k^j*（n-j）/（n*（j+1））
（岩浆）
A243631型：=func<n，k|n eq 0选择1 else（&+[二项式（n，j）^2*k^j*（n-j）/（n*（j+1））：[0..n-1]]中的j）>；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A090200型
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| a（n）=n（7，n），其中n（7、x）是第7个Narayana多项式。 |
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+10
7
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1, 429, 4279, 20071, 65445, 171481, 387739, 788019, 1476841, 2596645, 4335711, 6936799, 10706509, 16025361, 23358595, 33267691, 46422609, 63614749, 85770631, 113966295, 149442421, 193620169, 248117739, 314767651
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n（7，n）=Sum_{k>0}A001263号（7，k）*n^（k-1）=n^6+21*n^5+105*n^4+175*n^3+105*n^2+21*n+1。
通用编号：（1+422*x+1297*x^2-908*x^3-173*x^4+86*x^5-5*x^6）/（1-x）^7-菲利普·德尔汉姆2013年4月3日；已由更正乔治·菲舍尔2019年5月2日
例如：（1+428*x+1711*x^2+1420*x^3+380*x^4+36*x^5+x^6）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{7，-21，35，-35，21，-7，1}，{1，429，4279，20071，65445，171481，387739}，30](*哈维·P·戴尔2019年2月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^6+21*n^5+105*n^4+175*n^3+105*n^2+21*n+1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月17日
（鼠尾草）[n^6+21*n^5+105*n^4+175*n^3+105*n^2+21*n+1代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
（岩浆）[0..30]]中的[n^6+21*n^5+105*n^4+175*n^3+105*n^2+21*n+1：n//G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A090198号
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| a（n）=n（5，n），其中n（5，x）是第五个Narayana多项式。 |
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6
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1, 42, 197, 562, 1257, 2426, 4237, 6882, 10577, 15562, 22101, 30482, 41017, 54042, 69917, 89026, 111777, 138602, 169957, 206322, 248201, 296122, 350637, 412322, 481777, 559626, 646517, 743122, 850137, 968282, 1098301, 1240962, 1397057
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n（5，n）=Sum_{k>0}A001263号（5，k）*n^（k-1）=n^4+10*n^3+20*n^2+10*n+1。
总尺寸：（1+37*x-3*x^2-13*x^3+2*x^4）/（1-x）^5-菲利普·德尔汉姆2013年4月3日
例如：（1+41*x+57*x^2+16*x^3+x^4）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归〔｛5，-10，10，-5，1｝，｛1，42，197，562，1257｝，40〕(*哈维·P·戴尔2020年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^4+10*n^3+20*n^2+10*n+1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月17日
（鼠尾草）[n^4+10*n^3+20*n^2+10*n+1代表n in（0..40）]#G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
（岩浆）[n^4+10*n^3+20*n^2+10*n+1:n英寸[0..40]]//G.C.格鲁贝尔2021年2月16日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A204057号
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| 由f（x），Narayana多项式数组导出的三角形。 |
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+10
5
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 4, 11, 14, 1, 1, 5, 19, 45, 42, 1, 1, 6, 29, 100, 197, 132, 1, 1, 7, 41, 185, 562, 903, 429, 1, 1, 8, 55, 306, 1257, 3304, 4279, 1430, 1, 1, 9, 71, 469, 2426, 8925, 20071, 20793, 4862, 1, 1, 10, 89, 680, 4237, 20076, 65445, 124996, 103049, 16796, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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行总和=（1、2、4、10、31、113、466、2129、10641、138628、335379、2702364，…）
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链接
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配方奶粉
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行数组是根据表单的生产矩阵生成的：
1，（N-1）
1，1，（N-1）
1、1、1（N-1）
1、1、1和1（N-1）
…（剩余零的无限方阵）；这样，如果矩阵是M，第n行的第n项是M^n的左上项。
T（n，k）=超几何2F1（[1-k，-k]，[2]，n-k）。
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示例
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数组的前几行=
1,....1,....1,.....1，。。。。。1,...; =A000012号
1.....2,....5、，。。。。14,....42,...; =A000108号
1,....三，。。。11,....45,...197,...; =A001003号
1,....4,...19,...100,...562,...; =A007564号
1，。。。。5,...29,...185,..1257,...; =A059231号
1,....6,...41,...306,..2426,...; =A078009号
...
三角形的前几行=
1;
1, 1;
1, 2, 1;
1, 3, 5, 1;
1, 4, 11, 14, 1;
1, 5, 19, 45, 42, 1;
1, 6, 29, 100, 197, 132, 1;
1, 7, 41, 185, 562, 903, 429, 1;
1, 8, 55, 306, 1257, 3304, 4279, 1430, 1;
1、9、71、469、2426、8952、20071、20793、4862、1；
...
示例：数组的第4列=A090197号：（1，14，45，100，…）=N（4，N），其中N（4、x）是第四个Narayana多项式。
项（5,3）=29是M^3的左上项，其中M=无限平方生产矩阵：
1, 4, 0, 0, 0,...
1, 1, 4, 0, 0,...
1, 1, 1, 4, 0,...
1, 1, 1, 1, 4,...
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数学
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表[超几何2F1[1-k，-k，2，n-k]，{n，12}，{k，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2021年2月16日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
定义2007年4月2日（n，k）：如果n==0，则返回1（[0..n-1]中j的二项式（n，j）^2*k^j*（n-j）/（n*（j+1））
（岩浆）
A204057号：=func<n，k|n eq 0选择1 else（&+[二项式（n，j）^2*k^j*（n-j）/（n*（j+1））：[0..n-1]]中的j）>；
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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