搜索: a031177-编号:a031177
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1, 9, 13, 8, 12, 17, 6, 13, 12, 2, 10, 13, 3, 14, 11, 8, 13, 11, 5, 8, 13, 14, 4, 9, 11, 10, 14, 4, 10, 13, 3, 4, 12, 12, 13, 16, 8, 10, 13, 9, 14, 8, 12, 5, 15, 12, 11, 14, 5, 12, 11, 11, 13, 15, 13, 10, 12, 8, 10, 17, 9, 10, 16, 12, 10, 15, 10, 3, 13, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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数字1是唯一一个只需要一个术语就可以确定它是否幸福的术语。尽管b文件显示只有少数数字具有8个术语,请参见A193996号从78999开始了解更多信息。
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链接
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示例
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对于n=2,a(n)=9,因为迭代次数是2、4、16、37、58、89、145、42、20、4、十六,。。。
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数学
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f[n_]:=总数[整数位数[n]^2];表[Length[NestWhileList[f,n,UnnameQ,All]]-1,{n,100}]
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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4, 16, 20, 37, 42, 58, 89, 145, 78999, 79899, 79989, 79998, 87999, 89799, 89979, 89997, 97899, 97989, 97998, 98799, 98979, 98997, 99789, 99798, 99879, 99897, 99978, 99987, 378999, 379899, 379989, 379998, 387999, 389799, 389979, 389997, 389999, 397899, 397989
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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数学
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f[n_]:=总数[整数位数[n]^2];选择[Range[400000],Length[NestWhileList[f,#,UnsameQ,All]]-1==8&]
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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有时被称为友好数字,但这种用法已被弃用。
Gilmer表明,该序列的低密度小于0.1138,高密度大于0.18577-查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月21日
修正了上述评论中的上下密度不等式-内森福克斯2013年3月14日
Grundman通过达到1:0、5、1、2、4、3、3、2、3、4、4、2、5、3、3,2、4。。。(A090425号(n) -1)。例如,对于n=2,7的高度是5,因为它需要5次迭代:7->49->97->130->10->1-R.J.马塔尔2017年7月9日
El-Sedy&Siksek证明了该序列包含任意长的连续项子序列;也就是说,这个序列的上均匀密度是1-查尔斯·格里特豪斯四世2022年9月12日
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参考文献
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L.E.Dickson,《数字理论史》,第一卷:可除性和基本性,AMS Chelsea Publ。,1999
R.K.Guy,未解决问题数论,Sect。E34。
J.N.Kapur,《数学家的反思》,第34章,第319-324页,新德里雅利安书库,1996年。
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链接
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布里安娜·贝克·斯沃特、苏珊·克鲁克、海伦·G·格兰德曼、劳拉·哈尔·塞利格、梅梅和劳丽·扎克,增广广义快乐函数的不动点Ⅱ:绿洲与幻影,arXiv:1908.02194[math.NT],2019年。
蔡先生和周先生,快乐数字的高度《落基山数学》。38 (6) (2008) 1921.
E.El-Sedy和S.Siksek,关于快乐数字《落基山数学杂志》。30 (2000), 565-570.
贾斯汀·吉尔默,关于快乐数的密度,arXiv:1110.3836[math.NT],2011-2015。
H.G.Grundmann,半快乐数字,J.国际顺序。13 (2010), 10.4.8.
郝磐,连续快乐数字,arXiv:math/0607213[math.NT],2006年。
W.施耐德,快乐数字(包括10000以下的术语列表)
Eric Weistein的《数学世界》,快乐数字
Eric Weistein的《数学世界》,数字加法
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公式
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来自Ulrich Krug(leuchtfuer37(AT)gmx.de),2009年4月23日:(开始)
1) 每10 ^k的幂都是序列的一个成员。
2) 如果n是成员,则通过在n中任意位置放置零获得的数字是成员。
3) 如果n是成员,则n的每个数字排列都会给出另一个成员。
4) 如果重复的平方数字求和过程给出了一个已经是序列成员的数字,则起始数字属于序列。
5) 如果n是一个成员,那么由n 1组成的repunit就是一个成员。
6) 如果n是一个成员,删除任意数字d,则由n和d^21的剩余数字组成的新数字就是一个成员。
8) 对于任何起始数,平方数字的重复求和过程以1结束,或给出以(37,58,89145,42,20,4,16,37)结束的“8循环”(End)
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示例
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1正常。2-->4-->16-->37-->…-->4,与句点8重复,因此永远不会达到1,因此2(和4)不高兴。
一位记者表示,98岁的人很幸福,但事实并非如此。它进入一个循环98->145->42->20->4->16->37->58->89->145。。。
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数学
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f[n_]:=总计[整数位数[n]^2];选择[Range[400],NestWhile[f,#,UnsameQ,All]==1&](*T.D.诺伊2011年8月22日*)
选择[Range[1000],FixedPoint[Total[Integer Digits[#]^2]&,#,10]==1&](*哈维·P·戴尔2011年10月9日*)
(*使用递归公式测试数字是否满意的示例*)
a[1]=7;
a[n_]:=总和[(楼层[a[n-1]/10^k]-10*楼层[a[n-1]/10^(k+1)])^(2),{k,0,
楼层[Log[10,a[n-1]]}]
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a007770 n=a007770_列表!!(n-1)
a007770_list=过滤器((==1)。a103369)[1..]
(PARI)ssd(n)=n=数字(n);总和(i=1,#n,n[i]^2)
(Python)
def-ssd(n):返回和(int(d)**2,用于str(n)中的d)
定义正常(n):
当n不在[1,4]中时:n=ssd(n)#迭代到定点或循环
返回n==1
def aupto(n):return[k表示范围(1,n+1)中的k,如果ok(k)]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A003132号(底层地图),A001273号,A035497号(快乐素数),A046519号,A031177号,A002025号,A050972号,A050973号,A074902美元,A103369号,A035502号,A068571号,A072494号,A124095型,A219667型,A239320型(基数3),A240849型(以5为基数)。
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关键词
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非n,基础,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A056527号
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| 平方位的迭代和确定为循环模式的数字(实际上是13、16、13、16…)。 |
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+10 4
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2, 4, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 20, 22, 23, 25, 29, 31, 32, 34, 38, 40, 41, 43, 47, 49, 50, 52, 56, 58, 59, 61, 65, 67, 68, 70, 74, 76, 77, 79, 83, 85, 86, 88, 92, 94, 95, 97, 101, 103, 104, 106, 110, 112, 113, 115, 119, 121, 122, 124, 128, 130, 131, 133, 137, 139, 140
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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数字==2、4、5或7模9,即n^4与n^2模9不一致。
与{2,4,5,7}模9同余的数字。
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链接
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公式
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当n>5时,a(n)=a(n-1)+a(n-4)-a(n-5)-哈维·P·戴尔2015年4月5日
通用格式:x*(2+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4)/((1-x)^2*(1+x)*(1+x^2))。
a(n)=(-9+(-1)^(1+n)-(3-3*i)*(-i)^n-(3+3*i,i^n+18*n)/8,其中i=sqrt(-1)。
(结束)
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示例
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a(1)=2,因为迭代开始于2,4,7,13,16,13。。。。
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数学
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扁平[表[9n+{2,4,5,7},{n,0,20}]](*或*)线性递归[{1,0,0,1,-1},},[2,4,5,7,11},100](*哈维·P·戴尔2015年4月5日*)
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黄体脂酮素
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(巴黎)Vec(x*(2+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4)/((1-x)^2(1+x)*(1+x^2))+O(x^80)\\科林·巴克2017年12月19日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 37, 4, 89, 89, 1, 89, 37, 1, 4, 89, 1, 89, 16, 16, 89, 37, 1, 20, 89, 89, 1, 20, 89, 16, 89, 1, 89, 37, 1, 1, 37, 89, 89, 89, 37, 58, 37, 16, 89, 42, 89, 1, 89, 89, 37, 89, 1, 89, 16, 89, 89, 89, 89, 37, 37, 58, 37, 89, 37, 16, 89, 89, 37, 89, 89, 1, 16, 1, 89, 89, 58
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》,数字格式
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示例
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n=3的2位数条件序列是{3,9,81,65,61,37,58,89,145,42,20,4,16,37,…},因此a(3)=37。
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a103369=直到(`elem`a039943_list)a003132
a103369_list=映射a103369[1..]
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A161872号
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| 以n为基数的最小不愉快数字(如果基数中没有不愉快数字,则为0)。 |
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+10 4
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0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 7, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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所有正整数都是以2和4为基数的快乐数;他们被称为“快乐基地”。没有其他幸福基础<500000000。
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链接
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迪诺·洛伦齐尼(Dino Lorenzini)、曼泽洛斯·梅利斯塔斯(Mentzelos Melistas)、阿文德·苏雷什(Arvind Suresh)、马科托·苏瓦马(Makoto Suwama)和王海阳(Haiyang Wang),整数动力学,arXiv:2105.14361[math.NT],2021。
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数学
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表[If[MemberQ[{2,4},n],0,Block[{k=2},While[NestWhile[Cotal[IntegerDigits[#,n]^2]&,k,UnsameQ,All]==1,k++];k] ],{n,2105}](*迈克尔·德弗利格2018年11月6日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)A161872号(n) =if((2==n)||(4==n),0,对于(k=2,oo,my(visited=Map(),t=k));while(t!=1,if(mapisdefined(visited,t),return(k),mapput(visiteed,t,t));t=vecsum(应用(d->(d*d),数字(t,n)))\\安蒂·卡图恩2018年11月6日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, 3, 5, 11, 17, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89, 101, 107, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 163, 173, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 241, 251, 257, 269, 271, 277, 281, 283, 307, 311, 317, 337, 347, 349, 353, 359, 373, 389
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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16, 18, 20, 30, 130, 256, 1042, 4710, 7202, 10082, 47274, 65536, 65600, 351634, 426530, 431730, 764930, 5921514, 26639560, 32435910, 88605010, 97025190, 99562110
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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a(18)>1.5*10^6(如果存在)。与基数a(1)-a(17)相对应的最小不愉快数字是3、7、3、5、20、3、12、3、3、14、3、三、3、3,3、3和23-乔瓦尼·雷斯塔2020年6月25日
以基数(a(18)。。。,a(23))是(3,23,3,261,6,12)-卢卡斯·A·布朗2023年4月25日
a(24)>10^8(如果存在)-卢卡斯·布朗2023年4月25日
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链接
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示例
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在基数16中,2是高兴的,因为它生成的序列是2->4->(1,0)->1,而3是不高兴的,原因是它生成的顺序是3->9->(5,1)->(1,10)->(6,5)->(3,13)->(11,2)->(7,13)->>(0,13)->(10,9)->。。。,以句点6重复。
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数学
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happyQ[n_,b_]:=NestWhile[Total[Integer Digits[#,b]^2]&,n,UnsameQ,All]==1;选择[范围[2256]!成员Q[{2,4},#]&&happyQ[2,#]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月16日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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8, 1, 18, 1, 45, 52, 50, 1, 72, 125, 160, 1, 128, 1, 261, 260, 200, 1, 425, 405, 490, 1, 338, 1, 657, 628, 450, 848, 936, 845, 1000, 832, 648, 1, 1233, 1377, 800, 1, 1450, 1445, 1813, 1341, 1058, 1856, 2125, 1844, 1250, 1525, 1352, 2205, 2560, 1, 2873, 1, 3200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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3.1个
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评论
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以B为基数的固定值的数目(A193583号)小于(1+B^2)的除数(Beardon,1998,定理3.1)。
以B为基数的不动点不超过2位,两位数字a+bB必须满足(2a-1)^2+(2b-B)^2=1+B^2的条件(Beardon,1998,定理2.5)。因为将1+B^2表示为两个平方和的方法是有限的(A002654号),这限制了搜索空间。
因为不动点在基数B中的最大值为B^2-1,所以在完美平方x^2附近有大量的解。令人惊讶的是,在“半正方形”(x+.5)^2附近也有大量的点。请参阅链接中的“乌拉姆螺旋”。
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链接
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克里斯蒂安·安德森,所有固定值以n为基数,n=3..10000
阿兰·比尔登,数字平方和《数学公报》,82(1998),379-388。
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示例
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a(7)=45,因为在基数7中,45是63,6^2+3^2=45。以7为基数的其他固定值为32、25、10和(一如既往)1。
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黄体脂酮素
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(R) #ya=固定点数量,yb=这些固定点的值
图书馆(gmp);ya=代表(0200);yb=矢量(“列表”,200)
for(3:200中的B){
w=1+作为.bigz(B)^2
ya[B]=prod(表(以数字形式(因数分解(w)))+1)-1
x=1;y=0;修正值=c()
如果(ya[B]>1){
while(2*x^2<w){
if(issquare((y=作为数字(w-x^2))){
y=平方(y)
av=(1+代表(c(-1,-1,1,1),2)*代表(c,x,y),e=4))/2
bv=(B+代表(c(-1,1),4)*rep(c(y,x),e=4))/2
ix=av>=0&av<B&bv>=0&bv<B&!(av==0&bv==0)和isint(av)
固定点=c(固定点,(av+B*bv)[ix])
}
x=x+1
}
}else fixpt=1
yb[[B]]=排序(唯一(fixpt))
}
蓝宝石(yb,最大值)
(Python)
从sympy.theory.digits导入数字
def-ssd(n,b):返回和(d**2代表数字d(n,b)[1:])
定义a(n):
m=n**2-1
而m!=ssd(m,n):m-=1
返回m
打印([a(n)代表范围(3,58)中的n)]#迈克尔·布拉尼基2021年8月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3、9、15、21、25、33、37、43、51、63、67、69、73、75、87、93、99、105、111、115、127、135、141、151、159、163、169、171、189、195、201、205、211、223、231、235、237、241、259、261、267、273、283、285、289、297、303、307、321、327、339、349、357、361、385、393
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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一个不快乐的数字是一个不愉快的数字(A007770号)也就是说,数字n使得以n开头的平方和-数字映射的迭代永远不会到达数字1。素数的许多渐近性质被幸运数所共享。
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链接
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公式
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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