%I#125 2023年4月11日15:59:56

%序号1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97100103109，

%电话1291301331391671761881901921932082192262302339，

%电话：2622632802912933013023103133193203263293333338

%N个快乐数：数字平方和迭代下的轨迹映射（见A0003132）包括1的数。

%C有时也称为友好数字，但这种用法已被弃用。

%C Gilmer表示，该序列的低密度小于0.1138，高密度大于0.18577_Charles R Greathouse IV_，2011年12月21日

%C修正了上述评论中的上下密度不等式_Nathan Fox，2013年3月14日

%C Grundman通过达到1:0、5、1、2、4、3、3、2、3、4、4、2、5、3、3,2、4。。。（A090425（n）-1）。例如，对于n=2，7的高度是5，因为它需要5次迭代：7->49->97->130->10->1_R.J.Mathar，2017年7月9日

%C El-Sedy&Siksek证明了该序列包含任意长的连续项子序列；也就是说，这个序列的上均匀密度是1_Charles R Greathouse IV，2022年9月12日

%D L.E.Dickson，《数字理论史》，第一卷：可除性和基本性，AMS Chelsea Publ。，1999

%D R.K.Guy，未解决问题数论，第。E34。

%D J.N.Kapur，《数学家的反思》，第34章，第319-324页，新德里Arya书店，1996年。

%H Jud McCranie，n的表，n的a（n）=1.143071</a>

%H Breeanne Baker Swart、Susan Crook、Helen G.Grundman、Laura Hall-Seelig、May Mei和Laurie Zack，<a href=“https://arxiv.org/abs/1908.02194“>增广广义快乐函数的不动点II:绿洲与幻影，arXiv:1908.02194[math.NT]，2019。

%蔡洪涛（H T.Cai）和周晓霞（X.Zhou），<a href=“https://doi.org/10.1216/RMJ-2008-38-6-1921“>关于快乐数字的高度，《洛基山数学》38（6）（2008）1921。

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%H贾斯汀·吉尔默，<a href=“http://arxiv.org/abs/1110.3836“>关于快乐数字的密度，arXiv:1110.3836[math.NT]，2011-2015。

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%H Luca Onnis，<a href=“https://arxiv.org/abs/2203.03381“>关于快乐数的一个变体及其推广</a>，arXiv:2203.03381[math.GM]，2022。

%H Hao Pan，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0607213“>连续快乐数字</a>，arXiv:math/0607213[math.NT]，2006。

%H W.Schneider，<a href=“http://web.archive.org/web/2004/www.wschnei.de/digit-related-numbers/happy-numbers.html“>快乐数字（包括10000以下的术语列表）

%H R.Styer，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Styer/styer5.html“>连续快乐数字串的最小示例，J.Int.Seq.13（2010），10.6.3。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/HappyNumber.html“>快乐数字</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Digitaladdition.html“>数字加法</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Happy_number“>快乐数字</a>

%F来自Ulrich Krug（leuchtfeuer37（AT）gmx.de），2009年4月23日：（开始）

%F 1）每一次幂10^k都是序列的一个成员。

%F 2）如果n是成员，则通过在n中任意位置放置零而获得的数字是成员。

%F 3）如果n是成员，则n的每个数字排列都会给出另一个成员。

%F 4）如果重复的平方数字求和过程给出了一个已经是序列成员的数字，则起始数字属于序列。

%F 5）如果n是一个成员，那么由n 1组成的repunit就是一个成员。

%F 6）如果n是一个成员，删除任意数字d，则由n和d^2 1的剩余数字组成的新数字就是一个成员。

%F7）推测序列包含无穷多个素数（参见A035497）。

%F 8）对于任何起始数字，平方数字的重复求和过程以1结束，或给出以（37,58,89145,42,20,4,16,37）结束的“8循环”（End）

%e 1正常。2-->4-->16-->37-->…-->4，与句点8重复，因此永远不会达到1，因此2（和4）不高兴。

%e一位记者暗示98很高兴，但事实并非如此。它进入一个循环98->145->42->20->4->16->37->58->89->145。。。

%t f[n_]：=总数[整数位数[n]^2]；选择[Range[400]，NestWhile[f，#，UnnameQ，All]==1&]（*_T.D.Noe_，2011年8月22日*）

%t选择[Range[1000]，FixedPoint[Total[Integer Digits[#]^2]&，#，10]==1&]（*哈维·P·戴尔，2011年10月9日*）

%t（*使用递归公式测试数字是否满意的示例*）

%ta[1]=7；

%t a[n_]：=总和[（Floor[a[n-1]/10^k]-10*Floor[a[n-1]/10^（k+1）]）^（2），{k，0，

%t层[Log[10，a[n-1]]}]

%t表[a[n]，{n，1,10}]（*Joséde Jesüs Camacho Medina_，2014年3月29日*）

%o（哈斯克尔）

%o a007770 n=a007770_列表！！（n-1）

%o a007770_list=过滤器（==1）。a103369）[1..]

%o--_Reinhard Zumkeller，2011年8月24日

%o（PARI）ssd（n）=n=数字（n）；总和（i=1，#n，n[i]^2）

%o为（n）=而（n>6，n=ssd（n））；2012年11月20日，n==1\\_查尔斯·格里特豪斯四世

%o（Python）

%o def ssd（n）：返回和（int（d）**2代表str（n）中的d）

%o定义正常（n）：

%o while n not in[1，4]：n=ssd（n）#迭代到定点或循环

%o返回n==1

%o定义aupto（n）：返回[k代表范围（1，n+1）中的k，如果确定（k）]

%o打印（aupto（338））#_Michael S.Branicky_，2021年1月7日

%Y参见A003132（底层地图）、A001273、A035497（快乐素数）、A046519、A031177、A002025、A050972、A05097、A074902、A103369、A035502、A068571、A072494、A124095、A219667、A239320（基数3）、A240849（基数5）。

%Y参考A090425（所需迭代，包括开始和结束）。

%K nonn，基础，好，容易

%O 1,2号机组

%A.N.J.A.Sloane_，A.R.McKenzie（美国电话公司）bnr.co.uk