A110813-OEIS公司

A110813号

金字塔形数字的三角形。

1、3、1、5、4、1、7、9、5、1、9、16、14、6、1、11、25、30、20、7、1、13、36、55、50、27、8、1、15、49、91、105、77、35、9、1、17、64、140、196、182、112、44、10、1、19、81、204、336、378、294、156、54、11、1、21、100、285、540、714、672、450、210、65、12、1、23、121、385、825 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,2`
	评论	`三角形A029653号减去第一列。一般来说，乘积（1/（1-x），x/（1-x））（1+mx，x）产生Riordan阵列（（1+（m-1）x）/。这是（1，m）-Pascal三角形的反转，减去它的第一列-保罗·巴里2006年3月1日` `对于k=0..10，列序列给出：A005408号（奇数），A000290型（正方形），A000330号,A002415号,A005585号,A040977号,A050486号,A053347号,A054333号,A054334号,A057788号.` `与切比雪夫多项式相关的事实是，行和列中带有插值零点的三角形是A053120号.` `行总和为A033484号对角线和为A001911年（n+1）或F（n+4）-2。系数为（1/（1-x），x/（1-x，））（1+2x，x）。反向是A110814号或（-1）^（n-k）A104709号.` `这个三角形是[2,1]Pascal三角形的一个子三角形A029653号（此处省略第一列）。` `中三角形的子三角形A029653号,A131084号,2008年10月. -菲利普·德尔汉姆2012年3月2日` `这是的迭代部分和三角形A005408号（奇数）。Narayana Pandit考虑过算术级数序列的这种迭代部分和（参见2015年3月20日关于A000580型其中给出了MacTutor数学史档案链接和Gottwald等人参考，第338页）-沃尔夫迪特·朗2015年3月23日`
	链接	`G.C.格鲁贝尔，前50行的n，a（n）表，扁平`
	配方奶粉	`数字三角形T（n，k）=C（n，k）（2n-k+1）/（k+1）=2C（n+1，k+1）-C（n，C）；Riordan阵列（（1+x）/（1-x）^2，x/（1-x））；作为反对偶读取的数字平方，T（n，k）=C（n+k，k）（2n+k+1）/（k+1）。` `等于A007318号在主对角线上有1个，在次对角线中有2个的无限双对角矩阵-加里·亚当森2007年12月1日` `无限下三角矩阵的二项式变换，所有1都在主对角线中，所有2都在次对角线和其余零中-加里·亚当森2007年12月12日` `T（n，k）=2T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-T（n-2，k）-T-菲利普·德尔汉姆2013年11月30日` `exp（x）例如f.对于行n=例如f.对于对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）（7+9x+5x^2！+x^3/3！）=7+16x+30x^2！+50x^3/3！+77x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍-彼得·巴拉2014年12月21日` `T（n，k）=ps（1,2；k，n-k），其中ps（a，d；k，n）=和（ps（a、d；k-1，j），j=0..n），输入ps（a；d；0，j）=a+dj。请参阅上面2015年3月23日的迭代部分和注释-沃尔夫迪特·朗2015年3月23日` `发件人弗兰克·马米尼里娜·拉马哈罗2018年5月21日：（开始）` `T（n，k）=（（x+2）（x+1）^n-2）/x展开式中的系数。` `T（n，k）=A135278号（n，k）+A135278号（n-1，k）。` `T（n，k）=A097207号（n，n-k）。` `G.f.：（y+1）/（（y-1）（xy+y-1））。` `例如：（（x+2）exp（xy+y）-2-exp（y））/x。` `（结束）`
	例子	`数字三角形T（n，k）开始` `否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11` `0: 1` `1: 3 1` `2: 5 4 1` `3: 7 9 5 1` `4: 9 16 14 6 1` `5: 11 25 30 20 7 1` `6: 13 36 55 50 27 8 1` `7: 15 49 91 105 77 35 9 1` `8: 17 64 140 196 182 112 44 10 1` `9: 19 81 204 336 378 294 156 54 11 1` `10: 21 100 285 540 714 672 450 210 65 12 1` `11: 23 121 385 825 1254 1386 1122 660 275 77 13 1` `…重新格式化者沃尔夫迪特·朗2015年3月23日` `当数平方S（n，k）=T（n+k，k）时，行开始` `1, 1, 1, 1, 1, 1, ...` `3, 4, 5, 6, 7, 8, ...` `5, 9, 14, 20, 27, 35, ...` `7, 16, 30, 50, 77, 112, ...` `9, 25, 55, 105, 182, 294, ...`
	数学	`表[2二项式[n+1，k+1]-二项式[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(G.C.格鲁贝尔2017年10月19日*）`
	黄体脂酮素	`（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（2*二项式（n+1，k+1）-二项式，“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年10月19日`
	交叉参考	`参见。A000290型,A000330号,A002415号,A005408号,A005585号,A029655号,A040977号,A050486号,A053347号,A054333号,A054334号,A057788号.` `上下文中的序列：A117853号 A104734号 A029655号124883英镑 A319278型 1949年2月` `相邻序列：A110810型 A110811号 A110812号A110814号 A110815号 A110816号`
	关键词	`容易的,非n,表`
	作者	`保罗·巴里2005年8月5日`
	状态	`经核准的`