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按部件集成


分部积分是一种执行不定积分的技术肠内病毒或定积分内部预算通过扩大函数乘积的微分d(紫外线)并用已知积分表示原始积分intvdu公司。按部件进行的单个集成始于

 d(uv)=udv+vdu,
(1)

整合双方,

 intd(uv)=uv=intudv+intvdu。
(2)

重新安排提供

 intudv=uv-intvdu。
(3)

例如,考虑积分intxcosxdx接口然后让

u=x dv=cosxdx
(4)
du=dx v=sinx,
(5)

所以通过部件集成

intxcosxdx接口=xsinx-intsinxdx
(6)
=xsinx+cosx+C,
(7)

哪里C类是一个积分常数.

该过程并不总是成功的,因为u个可能会导致比原始积分更复杂的积分。例如,再次考虑积分intxcosxdx接口然后让

  u=cosx dv=xdxdu=-sinxdx v=1/2x^2,
(8)

intxcosxdx接口=1/2x^2cosx-1/2intx^2(-sinx)dx
(9)
=1/2x^2cosx+1/2intx^2sinxdx,
(10)

这比原著更难理解(《使徒行传》1967年,第218-219页)。

分部积分也可能失败,因为它会返回到原始积分。例如,考虑整数^(-1)dx然后让

  u=x dv=x ^(-2)dxdu=dx v=-x^(-1),
(11)

然后

 整数^(-1)dx=-1-int(-x^(-1-))dx+C=intx^,
(12)

这与原文的整体性相同(《使徒行传》1967年,第219页)。

类似的程序适用于部分的明确集成,因此

 int_a^budv=[uv]_a^b-int_a^bvdu,
(13)

哪里[f] _a^b=f(b)-f(a).

也可以应用按部件集成n个次到积分f ^((n))(x)g(x)dx以下为:

  u=g(x)dv=f ^(n))(x)d xdu=g^'(x)dx v=f^((n-1))(x)。
(14)

因此,

 intf^((n))(x)g(x)dx=g(x。
(15)

但是

 intf^((n-1))(x)g^'(x)dx=g^'
(16)
 intf^((n-2))(x)g^('')(x,
(17)

所以

 积分f^((n))(x)g(x)dx=g(x+g^(“”)(x)f^((n-3))(x)-+(-1)^nintf(x)g^(n))(x)dx。
(18)

现在以稍微不同的形式考虑一下积分f(x)g(x)dx.首次分部集成

  u=f(x)dv=g(x)dxdu=f^'(x)dx v=整数(x)d x,
(19)

所以

 intf(x)g(x)dx=f(x。
(20)

现在第二次按部分整合,

  u=f^'(x)dv=intg(x)dxdu=f^('')(x)dx v=初始(x)(dx)^2,
(21)

所以

 intf(x)g(x)dx=f。
(22)

第三次重复,

 intf(x)g(x)dx=f。
(23)

因此,在n个应用,

 intf(x)g(x)dx=f+(-1)^(n+1)f^(n))。
(24)

如果f^((n+1))(x)=0(例如,对于n个第个多项式的),最后一项是0,所以总和在以下时间后终止n个条款和

 intf(x)g(x)dx=f+(-1)^(n+1)f^(n))。
(25)

另请参见

达布公式,完整的,集成,反向功能集成,按部分汇总

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。带公式、图形和数学表的数学函数手册,第9版。纽约:多佛,第12页,1972年。阿波斯托·T·M·。“集成按部件。“§5.9微积分,第二版,第1卷:一元微积分,线性代数导论。马萨诸塞州沃尔瑟姆:布莱斯德尔,第217-220页,1967年。I.N.Bronshtein。和塞门德亚耶夫,K.A。手册数学,第三版。纽约:Springer-Verlag,第269页,1997年。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“按部件集成。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.html

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