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Log Gamma函数

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上面的曲线图显示了通过取自然对数的伽马函数,英伽马（z）。请注意，这会带来复杂性分支切结构继承自对数函数。

伽马ReImAbs对数
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因此，伽马函数的对数有时被视为一个特殊函数，其定义与英伽马（z）。实现了这个特殊的“log gamma”功能在中Wolfram语言作为对数伽马[z（z）],在上面绘制。可以看出，这两个定义具有相同的实部，但它们的假想成分明显不同。最重要的是，尽管日志伽马函数和英伽马（z）等同于分析多值函数,它们具有不同的分支结构和不同的主分支，并且对数伽马函数在整个复数中是解析的z（z）-除单个外的平面分支切沿负向不连续实轴.特别是，对数伽马函数允许许多恒等式的简明公式与黎曼-泽塔函数 泽塔（z）.

对数伽马函数可以定义为

lnGamma（z）=-gammaz-lnz+sum_（k=1）^infty[z/k-ln（1+z/k）]。
（1）

（Boros和Moll，2004年，第204页）。另一笔金额为

lnGamma（z）=（z-1/2）lnz+1/2ln（2pi）+1/2sum_（n=2）^infty（n-1））/（n（n+1））zeta（n，z+1）
（2）

（Whittaker和Watson，1990年，第261页），其中泽塔（s，a）是一个赫尔维茨泽塔功能.

第二个比奈对数伽玛公式是

lnGamma（a）=（a-1/2）lna-a+1/2ln（2pi）+2int_0^infty（tan^（-1）（z/a））/（e^（2piz）-1）dz
(3)

对于R[a]>0（Whittaker和Watson，1990年，第251页）。另一个公式英伽马（z）由提供马尔姆斯特恩的公式.

的积分英伽马（x）包括

int_0^1lnGamma（x）dx=1/2英寸（2pi）
(4)
=-ζ^'（0）
(5)
=0.91893...
(6)

（组织环境信息系统A075700型; 贝利等。2007年，第179页），这是Euler知道的，并且

int_0^1[lnGamma（x）]^2dx=1/（12）gamma^2+1/（48）pi^2+1/6gammaln（2pi）+1/3[ln（2π）]^2-[γ+ln（2pi）]（zeta^'（2））/（pi^2）+，
(7)

（组织环境信息系统A102887号; Espinosa和Moll 2002年、2004年；Boros和Moll，2004年，第203页；贝利等。2007年，第179页），其中伽马射线是Euler-Mascheroni常数和泽塔^'（z）是黎曼-泽塔函数.

整数_0^1[lnGamma（x）]^3dx被Espinosa和Moll（2006）考虑，但他们无法确定封闭形式（贝利等。2006年，第181页）。

另一个积分由下式给出

int_0^（1/2）ln[γ（x+1）]dx=-1/2-7/（24）ln2+1/4lnpi+3/2lnA，
(8)

哪里A类是Glaisher-Kinkelin常数（上光器1878).

另请参阅

巴恩斯G函数,比奈对数伽马公式,Digamma函数,Gamma函数,日志正弦函数,对数,马尔姆斯特恩的公式,斯特林近似,斯特林系列

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogGamma/

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工具书类

Bailey，D.H。；Borwein，J.M。；新泽西州卡尔金。；Girgensohn，R。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2007年。波罗斯，G.和Moll，V.《对数伽马函数的展开》第10.6节不可抗拒的积分：积分评估中的符号学、分析和实验。英国剑桥：剑桥大学出版社，第201-203页，2004年。埃斯皮诺萨，O.和Moll，V.“关于涉及Hurwitz Zeta函数的某些定积分”。第一部分“拉马努扬J。 6, 159-188, 2002.埃斯皮诺萨，O.和Moll，V.“广义多伽马函数”积分变换特殊功能。 15, 101-115, 2004.Espinosa，O.和Moll，V。“Tornheim双和的评估I.”J.编号Th。 116,200-229, 2006.Glaisher，J.W。L。“关于产品1 ^1.2 ^2.3 ^3…n ^n."信息员数学。 71878年3月47日。新泽西州斯隆。答：。序列A075700型和A102887号在“整数序列在线百科全书”中惠塔克，E.T.公司。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。

参考Wolfram | Alpha

Log Gamma函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“对数伽马函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LogGammaFunction.html

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