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第一类完全椭圆积分

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椭圆曲线K
椭圆KReIm
椭圆K轮廓

第一类完全椭圆积分K（K），如上所示，它是椭圆形模数，模量 k个，由定义

K（K）=F（1/2π，k）
(1)
=pi/2sum_（n=0）^（infty）[（2n-1）！！）/（2n）
(2)
=1/2pi_2F_1（1/2，1/2；1；k^2）
(3)

哪里F（φ，k）是不完整的吗椭圆形第一类积分和_2F_1（a，b；c；x）是超几何的功能.

它在Wolfram语言作为椭圆K[米],哪里m=k^2是参数.

它满足了身份

pi/（2sqrt（1-k^2））P_（-1/2）（（1+k^2，
(4)

哪里P_n（x）是一个勒让德多项式.这简化为

pi/（2sqrt（1-k^2））P_（-1/2）（（1+k^2
(5)

对于的所有复杂值k个除了可能是真的k个具有|k |>1.

此外，K（K）满足身份

[K（平方米（1/2（1平方米（1-2k^2）^2）））]^2=（pi^2）/4sum_（n=0）^infty[（2n-1），
(6)

哪里k^'=平方（1-k^2）是互补的模数，模量令人惊讶的是，这变成了美丽的形式

[K（K）]^2=（pi^2）/4sum_（n=0）^infty[（2n-1）！！）/（2n）
(7)

对于0<k<=1/sqrt（2）（沃森19081939）。

K（K）可以以闭合形式计算特殊值k=kN,哪里kN（千牛顿）被称为椭圆形积分奇异值。其他特殊值包括

K（-infty）=0
(8)
K（-infty）=0
(9)
K（0）=1/2π
(10)
K（输入）=0
(11)
K（英菲提）=0
(12)

K（ik）（克）满足

K（ik）=1/（平方（K^2+1））K（平方（（K^2）/（K^2+）））
(13)

可能的模问题平方米（k^2），可从阿布拉莫维茨的方程式17.4.17中导出和Stegun（1972年，第593页）。

K（K）与雅各比椭圆函数通过

K（K）=1/2皮塔_3^2（q），
(14)

其中诺姆由定义

q=e^（-piK^'（k）/k（k）），
(15)

具有K^'（K）=K（K^'），其中k^'=平方（1-k^2）是互补的模数.

K（K）满足勒让德关系

E（k）k^'（k）+E^'（k）k（k）-k（k，
(16)

哪里K（K）和E（k）是第一个和第二种类分别为和K^'（K）和E ^’（k）是互补积分。模量k个通常为了简洁而被抑制，因此K（K）和E（k）通常写得很简单K（K）和E类分别是。

积分K（K^'）对于互补模量，由下式给出

K（K^'）=整数_0^1（dt）/（平方（（1-t^2）（1-K^（'2）t^2
(17)

（Whittaker和Watson，1990年，第501页），以及

（dK）/（dK）=（E（k））/（k（1-k^2））-（k（k）
(18)
d/（dk）（kk^（'2）（dk）/=千卡（k）
(19)

（惠特克和沃森1990年，第521页），所以

E（k）=k（1-k^2）[（dK）/（dK）+（k（k））/k]
(20)
=（1-k^2）[k（dK）/（dK）+k（k）]
(21)

（参见Whittaker和Watson 1990年，第521页）。

椭圆KODE

微分方程的解

d/（dk）[k（1-k^2）（dy）/（dk）]-ky=0
(22)

（Zwillinger，1997年，第122页；Gradshteyn和Ryzhik，2000年，第907页）

y=C_1K（k）+C_2K^'（k），
(23)

其中上述两种解决方案以及K^'（K）=K（平方码（1-K^2））.

的定积分K（K）包括

整数_0^1K（k）dk=2千卡
(24)
整数_0^1K（平方（k））dk=2
(25)
整数_0^1K（k^（1/4））dk=(20)/9
(26)
整数_0^1（K（K^（1/4）））=4,
(27)

哪里K（K）（不要混淆K（K）)是加泰罗尼亚常数.

另请参见

第三类完全椭圆积分,完成第二类椭圆积分,椭圆形第一类积分,椭圆形积分奇异值

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/ElliptiK/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，1972年。I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000沃森G.N。“超几何乘积的扩展功能。"夸脱。J.纯应用。数学。 39, 27-51, 1907.沃森G.编号。“超几何函数平方的级数。”夸脱。J.纯应用。数学。 40, 46-57, 1908.G.N.沃森。“三个三重积分。"夸脱。J.数学。牛津大学。2 10, 266-276,1939E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第122页，1997

参考Wolfram | Alpha

完全椭圆第一类积分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《第一类完全椭圆积分》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html

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