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第一类完全椭圆积分


椭圆K椭圆KReIm椭圆K轮廓

第一类完全椭圆积分K(K),如上所示,它是椭圆形模数,模量 k个,由定义

K(K)=F(1/2π,k)
(1)
=pi/2sum_(n=0)^(infty)[(2n-1)!!)/(2n)
(2)
=1/2pi_2F_1(1/2,1/2;1;k^2)
(3)

哪里F(φ,k)是不完整的吗椭圆形第一类积分_2F_1(a,b;c;x)超几何的功能.

它在Wolfram语言作为椭圆K[],哪里m=k^2参数.

它满足身份

 π/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2)/(1-k^2))=1/(sqrt(1-k^2))k(sqrt((k^2)/(k^2-1))),
(4)

哪里P_n(x)是一个勒让德多项式.这简化为

 pi/(2sqrt(1-k^2))P_(-1/2)((1+k^2
(5)

对于的所有复杂值k个除了可能是真的k个具有|k |>1.

此外,K(K)满足身份

 [K(平方米(1/2(1平方米(1-2k^2)^2)))]^2=(pi^2)/4sum_(n=0)^infty[(2n-1),
(6)

哪里k^'=平方(1-k^2)互补的模数,模量令人惊讶的是,这简化为美丽的形式

 [K(K)]^2=(pi^2)/4sum_(n=0)^infty[(2n-1)!!)/(2n)
(7)

对于0<k<=1/sqrt(2)(沃森19081939)。

K(K)可以以闭合形式计算特殊值k=kN,哪里kN(千牛顿)被称为椭圆形积分奇异值。其他特殊值包括

K(-infty)=0
(8)
K(-infty)=0
(9)
K(0)=1/2π
(10)
K(输入)=0
(11)
K(英菲提)=0
(12)

K(ik)(克)满足

 K(ik)=1/(平方(K^2+1))K(平方((K^2)/(K^2+)))
(13)

可能的模问题平方米(k^2),可从阿布拉莫维茨的方程式17.4.17中导出和Stegun(1972年,第593页)。

K(K)雅各比椭圆函数通过

 K(K)=1/2皮塔_3^2(q),
(14)

其中诺姆由定义

 q=e^(-piK^'(k)/k(k)),
(15)

具有K^'(K)=K(K^'),其中k^'=平方英尺(1-k^2)互补的模数,模量.

K(K)满足勒让德关系

 E(k)k^'(k)+E^'(k)k(k)-k(k)k^'(k)=1/2pi,
(16)

哪里K(K)E(k)是第一个和第二种类分别为和K^'(K)E ^’(k)是互补积分。模量k个通常为了简洁而被抑制,因此K(K)E(k)通常写得很简单K(K)E类分别是。

积分K(K^')对于互补模量,由下式给出

 K(K^')=整数_0^1(dt)/(平方((1-t^2)(1-K^('2)t^2
(17)

(Whittaker和Watson,1990年,第501页),以及

(dK)/(dK)=(E(k))/(k(1-k^2))-(k(k)
(18)
d/(dk)(kk^('2)(dk)/=千卡(k)
(19)

(惠特克和沃森1990年,第521页),所以

E(k)=k(1-k^2)[(dK)/(dK)+(k(k))/k]
(20)
=(1-k^2)[k(dK)/(dK)+k(k)]
(21)

(参见Whittaker和Watson 1990年,第521页)。

椭圆KODE

微分方程的解

 d/(dk)[k(1-k^2)(dy)/(dk)]-ky=0
(22)

(Zwillinger 1997年,第122页;Gradshteyn和Ryzhik 2000年,第907页)是

 y=C_1K(k)+C_2K^'(k),
(23)

其中这两种解决方案如上所示K^'(K)=K(平方码(1-K^2)).

的定积分K(K)包括

整数_0^1K(k)dk=2千卡
(24)
整数_0^1K(平方(k))dk=2
(25)
整数_0^1K(k^(1/4))dk=(20)/9
(26)
整数_0^1(K(K^(1/4)))=4,
(27)

哪里K(K)(不要混淆K(K))是加泰罗尼亚常数.


另请参见

第三类完全椭圆积分,完成第二类椭圆积分,椭圆形第一类积分,椭圆形积分奇异值

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/ElliptiK/

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。带公式、图形和数学表的数学函数手册,第9版。纽约:多佛,1972年。I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积,第6版。加州圣地亚哥:学术出版社,2000沃森G.N。“超几何乘积的扩展功能。"夸脱。J.纯应用。数学。 39, 27-51, 1907.沃森G.编号。“超几何函数平方的级数。”夸脱。J.纯应用。数学。 40, 46-57, 1908.G.N.沃森。“三个三重积分。"夸脱。数学杂志。,牛津大学。2 10, 266-276,1939E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程,第四版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1990年。D.茨威林格。手册微分方程,第3版。马萨诸塞州波士顿:学术出版社,第122页,1997

参考Wolfram | Alpha

完全椭圆第一类积分

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。《第一类完全椭圆积分》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html

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