Riemann-Zeta函数

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Riemann-zeta函数是一个非常重要的函数特殊功能数学和物理学中产生于定积分的与围绕首要的数论. 虽然已经研究了这个函数的许多性质,还有一些重要的基本假设(最显著的是黎曼假设)至今仍未得到证实。用Riemann-zeta函数表示齐塔人并在上面绘制(使用两个不同的比例)沿着真实的轴。

黎曼泽塔雷马
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一般来说,齐塔人定义在复杂平面上对于一个复变量,通常表示为s(而不是通常的z)根据Riemann在他1859年的论文中创立了对这个函数的研究(Riemann 1859)。

齐塔人在中实现语言作为齐塔人[s].

黎曼泽塔里吉斯

上图显示的是|泽塔(x+y)|对于0<x<11<y<100. 这个脊线似乎单调减少0<=x<=1/2不是巧合,因为单调递减意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak,2003年;Borwein和Bailey 2003年,pp。 95-96年)。

实线具有x> 1,黎曼zeta函数可以用积分来定义

 zeta(x)=1/(伽马(x))int iu 0^infty(u^(x-1))/(e^u-1)du,
(一)

哪里伽马射线(x)伽马射线功能. 如果十是一个整数 n,那么我们就有了身份

(u^(n-1))/(e^u-1)=(e^(-u)u^(n-1))/(1-e^(-u))
(二)
=e^(-u)u^(n-1)和(k=0)^(infty)e^(-ku)
(三)
=和(k=1)^(infty)e^(-ku)u^(n-1),
(四)

所以

 整数0^infty(u^(n-1))/(e^u-1)du=和(k=1)^infty0^infty^(-ku)u^(n-1)du。
(五)

评估泽塔(n),让y=ku以便dy=kdu并插入上述身份以获得

泽塔(n)=1/(伽马(n))和(k=1)^(infty)int_0^infty^(-ku)u^(n-1)du
(六)
=1/(伽马(n))和(k=1)^(infty)int_0^infty^(-y)(y/k)^(n-1)(dy)/k
(七)
=1/(伽马(n))和(k=1)^(infty)1/(k^n)int_0^infty^(-y)y^(n-1)dy。
(八)

在中集成最终表达式(8)给予伽马(n),哪个取消因子1/伽马(n)并给予Riemann-zeta函数的最常见形式,

 zeta(n)=和(k=1)^infty1/(k^n),
(九)

有时被称为p-系列.

Riemann-zeta函数也可以定义为倍数积分通过

 zeta(n)=int_0^1…int_0^1_U()U(n)(乘积_U(i=1)^(n)dx_i)/(1-乘积_U(i=1)^(n)x_i),
(十)

作为一个梅林变换通过

 内部分形(1/t)t^(s-1)dt=-(zeta(s))/s
(十一)

对于0<R[s]<1,其中压裂(x)分数部分(2000年)。

它出现在单位平方积分

 int 0^1int 0^1([-ln(xy)]^s)/(1-xy)dxdy=伽马(s+2)zeta(s+2),
(十二)

有效期R[s]>1(Guillera和Sondow,2005年)。s一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),以及特殊情况s=0s=1都是给贝克尔的(1979年)。

注意zeta函数齐塔人有一个奇点s=1,在这里它减少到发散调和级数.

Riemann-zeta函数满足反射 函数方程

 zeta(1-s)=2(2pi)^(-s)cos(1/2spi)伽马(s)zeta(s)
(十三)

(Hardy 1999年,第。 十四;“将军”1999,p。 160),一个类似的形式是由欧拉推测为真实的s(欧拉,1749年阅读,1768年出版;阿尤布1974年;哈维尔2003,p。 193年)。这个函数方程的对称形式是由

 伽马(s/2)π^(-s/2)zeta(s)=伽马((1-s)/2)π(-(1-s)/2)zeta(1-s)
(十四)

(Ayoub 1974),这是由黎曼证明的所有复杂s(里曼1859)。

如上所述,zeta函数齐塔人具有s=西格玛+信息技术复杂的定义为R[s]>1. 然而,齐塔人拥有独一无二的分析的继续对整个复平面,不包括重点s=1,对应于简单的具有复合残留物1(《将军》1999年,p。 160页)。尤其是s->1,齐塔人服从

 lim_u(s->1)[zeta(s)-1/(s-1)]=伽马,
(十五)

哪里伽马射线欧拉·马斯切罗尼常数(惠特克和沃森1990年,p。 271页)。

执行解析延拓对于R[s]>0,写入

和(n=1)^(infty)(-1)^n)/(n^s)+和(n=1)^(infty)1/(n^s)=2sum_u(n=2,4,…)^(infty)1/(n^s)
(十六)
=2μm(k=1)^(infty)1/((2k)^s)
(十七)
=2^(1-s)和(k=1)^(infty)1/(k^s),
(十八)

所以重写齐塔人立即给予

 和(n=1)^infty((-1)^n)/(n^s)+zeta(s)=2^(1-s)zeta(s)。
(十九)

因此,

 zeta(s)=1/(1-2^(1-s))和(n=1)infty((-1)^(n-1))/(n^s)。
(二十)

在这里,右边的和就是Dirichlet-eta函数 预计到达时间有时也叫交替zeta函数)。而这个公式定义齐塔人仅供这个右半平面 R[s]>0,方程式(◇) 可以用来分析它继续到复杂的飞机.解析延拓也可以使用汉克尔函数. A全球Riemann-zeta函数的收敛级数(它提供了分析的继续属于齐塔人对整个复平面除了s=1)是由

 zeta(s)=1/(1-2^(1-s))和(n=0)^infty1/(2^(n+1))和(k=0)^n(-1)^k(n;k) (k+1)^(-s)
(二十一)

(Havil 2003,第。 206),其中(n;k)是一个二项式系数这是克诺普在1930年左右提出的,哈斯(1930)证明了这一点,并被Sondow(1994)重新发现。该方程与重整化和随机变量(Biane等等。2001年),可以通过应用欧拉氏级数变换具有n=0到方程式(20).

Hasse(1930)也证明了相关的全局收敛级数(但速度较慢)

 zeta(s)=1/(s-1)和(n=0)^infty1/(n+1)和(k=0)^n(-1)^k(n;k) (k+1)^(1-s)
(二十二)

那,不像(21),也可以推广到Riemann-zeta函数的推广赫维茨zeta函数 齐塔(s,a).齐塔(s,a)定义了就这样

 zeta(s)=zeta(s,1)。
(二十三)

(如果单数项不包括在齐塔(s,a),那么zeta(s)=zeta(s,0)以及)扩展齐塔人关于s=1给予

 zeta(s)=1/(s-1)+和(n=0)^infty((-1)^n)/(n!)伽马射线(s-1)^n,
(二十四)

哪里伽马射线就是所谓的斯蒂尔切斯常量.

黎曼齐塔函数伽马

Riemann-zeta函数也可以通过轮廓完整的

 zeta(z)=(伽马(1-z))/(2pii)∮_伽马(u^(z-1))/(e^(-u)-1)du
(二十五)

对所有人z=1,其中轮廓如上图所示(Havil 2003,pp。 193和249-252)。

齐塔人进来(至少)两个不同的类型。所谓的“平凡零”出现在全部的负偶数整数s=-2,-四,-六还有当然是“零”

 s=西格玛+信息技术
(二十六)

对于s批评的"0<西格玛<1. 这个黎曼假设断言黎曼zeta函数零点属于齐塔人都有实部 西格玛=R[s]=1/2,一条线叫做临界线“这个现在知道第一次是真的250×10^9年根。

黎曼泽塔克斯脱

上面的图显示了泽塔(1/2+iy)(即。,价值观泽塔(z)沿着批评的线)作为是的从0到35(Derbyshire 2004,p。 221页)。

Riemann-zeta函数可以分为

 zeta(1/2+it)=Z(t)e^(-itheta(t)),
(二十七)

哪里Z(吨)θ(t)Riemann-Siegel函数.

Riemann-zeta函数与Dirichlet-lambda函数 lambda(努)Dirichlet-eta函数 预计到达时间(nu)通过

 (zeta(nu))/(2^nu)=(λ(nu))/(2^nu-1)=(eta(nu))/(2^nu-2)
(二十八)

 zeta(nu)+eta(nu)=2lambda(nu)
(二十九)

(Spanier和Oldham 1987年)。

它与刘维尔函数 λ(n)通过

 (zeta(2s))/(zeta(s))=总和(n=1)^infty(λ(n))/(n^s)
(三十)

(雷曼1960年,哈代和赖特1979年)。此外,

 (zeta^2(s))/(zeta(2s))=总和(n=1)^infty(2^(Ω(n))/(n^s),
(三十一)

哪里欧米茄(n)不同的主要因素属于n(哈代和赖特1979年,第。 254页)。

-2号正偶数-二,-四, ...,

 zeta^'(-2n)=((-1)^nzeta(2n+1)(2n)!)/(2^(2n+1)π^(2n)),
(三十二)

给前几个

泽塔^'(-2)=-(zeta(3))/(4pi^2)
(三十三)
泽塔^'(-4)=(3泽塔(5))/(4便士)
(三十四)
泽塔^'(-6)=-(45泽塔(7))/(8pi^6)
(三十五)
泽塔^'(-8)=(315泽塔(9))/(4pi^8)
(三十六)

(OEIS)A117972号A117973号). n=-1个,

 zeta^'(-1)=1/(12)-lnA,
(三十七)

哪里A葛兰素常数. 使用公式(◇) 给出导数

 zeta^'(0)=-1/2ln(2pi),
(三十八)

可以直接从沃利斯公式(Sondow 1994年)。zeta^'(0)/zeta(0)=ln(2pi)也可以是直接从Euler-Maclaurin求和公式(Edwards 2001,pp。 134-135页)。一般来说,zeta^((n))(0)可以解析地表达依据圆周率,泽塔(n),的欧拉-马斯切罗尼常数 伽马射线,以及Stieltjes常数 伽马射线i,带有前几个例子是

泽塔('')(0)=伽马1+1/2伽马^2-1/(24)π^2-1/2[ln(2pi)]^2
(三十九)
zeta^('')(0)=3ln(2pi)伽马射线1+3gammagamma 1+3/2gamma_2-zeta(3)-1/2[ln(2pi)]^3-1/8pi^2ln(2pi)+3/2gamma^2ln(2pi)+gamma^3。
(四十)

衍生工具zeta^((n))(1/2)也可以是封闭的比如说,

泽塔(1/2)=1/4[(pi+2gamma+6ln2+2lnpi)zeta(1/2)]
(四十一)
=-3.92264613。。。
(四十二)

(OEIS)A114875号).

这个导数的Riemann-zeta函数R[s]>1定义为

齐塔人=-和(k=1)^(infty)(lnk)/(k^s)
(四十三)
=-和(k=2)^(infty)(lnk)/(k^s)。
(44个)

泽塔(2)可以用封闭形式给出作为

泽塔(2)=1/6pi^2[伽马+ln(2pi)-12lnA]
(四十五)
=-0.93754825431。。。
(四十六)

(OEIS)A073002号),其中A金克林常数(Glaisher 1894以系列形式给出)。

系列齐塔人关于s=1

 zeta^'(s)=-1/((s-1)^2)-伽马1+伽马2(s-1)-1/2伽马3(s-1)^2+。。。,
(四十七)

哪里伽马射线i斯蒂尔切斯常量.

1739年,欧拉发现了有理系数C在里面zeta(2n)=消费者物价指数^(2n)伯努利数. 什么时候结合1882年林德曼的证据圆周率是超自然的,事实证明泽塔(2n)是超然的。研究泽塔(2n+1)是非常困难的。美联社éry(1979)最终证明泽塔(3)成为不合理的但没有类似的结果其他古怪的 n. 由于美联社é瑞的重要发现,泽塔(3)有时候打电话美联社é瑞常数. Rivoal(2000年)Ball和Rivoal(2001)证明了存在无穷多个整数n就这样泽塔(2n+1)是不合理的,然后至少一个泽塔(5),泽塔(7), ...,齐塔人(21)不合理的(Rivoal 2001年)。这一结果随后被祖迪林(2001年)收紧,他指出至少有一个泽塔(5),泽塔(7),泽塔(9),或泽塔(11)不合理的.

一些有趣的数字泽塔(n),与n正整数,可以用二项式系数写成二项式总数

泽塔(2)=3平方米(k=1)^(infty)1/(k^2(2k;k) )
(四十八)
泽塔(3)=5/2μm(k=1)^(infty)((-1)^(k-1))/(k^3(2k;k) )
(四十九)
齐塔人(4)=(36)/(17)和(k=1)^(infty)1/(k^4(2k;k) )
(五十)

(盖伊1994,p。 257个;贝利等等。2007年,第。 70页)。美联社ék^(-3)求和公式以上。关系形式的

 zeta(5)=Zμ5和(k=1)^infty((-1)^(k-1))/(k^5(2k;k) )
(五十一)

已经用Zˉ5理性的代数数,但如果Zˉ5是一个多项式的25度或更低,然后是欧几里得系数的范数必须大于1.24×10^(383),如果泽塔(5)如果代数的次数小于等于25,那么系数的范数必须超过1.98×10^(380)(贝利)等等。2007年,pp。 70-71,更新贝利和普劳夫)。因此,没有这样的金额泽塔(n)n> =5.

身份

和(k=1)^(infty)1/(k^2-x^2)=和(n=0)^(infty)zeta(2n+2)x^(2n)
(五十二)
=(1-pixcot(像素))/(2x^2)
(五十三)
=(1)英寸(2);k) (1-(x^2)/(k^2)))乘积_u(m=1)^(k-1)(1-(4x^2)/(m^2))/(1-(x^2)/(m^2))
(54个)
=(3×4×3(1,2,1-2x,1+2x;3/2,2-x,2+x;1/4))/(2(1-x^2))
(五十五)

对于十复数不等于非零吗整数表示Apé偶正的类ry公式n(贝利)等等。2006年,pp。 72-77页)。

Riemann-zeta函数泽塔(2n)可能是分析计算即使 n使用等高线积分帕塞瓦尔的定理用适当的傅里叶级数.一个意料之外的重要公式素数1737年由欧拉首次发现,

齐塔(1-2^(-s))=(1+1/(2^s)+1/(3^s)+…)(1-1/(2^s))
(56个)
=(1+1/(2^s)+1/(3^s)+…)—(1/(2^s)+1/(4^s)+1/(6^s)+…)
(57个)
齐塔(1-2^(-s))(1-3^(-s))=(1+1/(3^s)+1/(5^s)+1/(7^s)+…)—(1/(3^s)+1/(9^s)+1/(15^s)+…)
(58)
zeta(s)(1-2^(-s))(1-3^(-s))…(1-p\n^(-s))。。。=zeta(s)乘积(n=1)^(infty)(1-p_n^(-s))
(59)
=1
(六十)

在这里,每个后续的乘法n首要的 pˉ只留下权力属于p^(-s). 因此,

 zeta(s)=[产品(n=1)^infty(1-p\u n^(-s))]^(-1),
(61)

被称为欧拉积公式(Hardy 1999,p。 十八;“将军”1999,p。 159),被称为“金钥匙”作者:德比郡(2004年,pp。 104-106页)。公式也可以写出来

 zeta(s)=(1-2^(-s))^(-1)乘积(q=1(mod 4))(1-q^(-s))^(-1)乘积(r=3(mod 4))(1-r^(-s))^(-1),
(62个)

哪里问r是质数吗分别等于1和3的模4。

即使 n> =2个,

 zeta(n)=(2^(n-1)| B|n | pi^n)/(n!),
(63个)

哪里布恩是一个伯努利(马修斯和沃克1970年,pp。 50-53岁;哈维尔2003,p。 194年)。另一个伯努利数由提供

 n=(-1)^(n+1)nzeta(1-n)
(64个)

对于n> =1,可以写

 B_n=-nzeta(1-n)
(六十五)

对于n> =2个. (在这两种情况下,只有偶数案件引起了人们的兴趣B_n=0微不足道的对于奇数n)重写(65),

 zeta(-n)=-(B_(n+1))/(n+1)
(66个)

对于n=1个,3(哈维尔2003,p。 194年),哪里布恩是一个伯努利,其中的前几个值是-12月1日,1/120,-1/252页,1/240(OEISA001067A006953号).

虽然没有泽塔(n)是已知的对于古怪的 n,

 zeta(3)=1/2sumΜ(k=1)^infty(hu k)/(k^2),
(六十七)

哪里胡克是一个谐波(斯塔克1974)。此外,泽塔(n)可以表达作为总数限制

 zeta(n)=lim_u(x->infty)1/((2x+1)^n)和(k=1)^x[cot(k/(2x+1))]^n
(68个)

对于n=3个,5(1973年,错误地给出在斯塔克1974年)。

亩(n)这个ö比尤斯功能,

 1/(zeta(s))=总和(n=1)^infty(mu(n))/(n^s)
(六十九)

(Havil 2003,第。 209页)。

价值观泽塔(n)对于小的正整数值属于n

齐塔人(1)=infty公司
(七十)
泽塔(2)=(π2)/6
(71个)
泽塔(3)=1.2020569032。。。
(72)
齐塔人(4)=(π4)/(90)
(73个)
泽塔(5)=1.0369277551。。。
(74个)
齐塔人(6)=(π6)/(945)
(75个)
泽塔(7)=1.0083492774。。。
(七十六)
齐塔人(8)=(π8)/(9450)
(77个)
泽塔(9)=1.0020083928。。。
(78个)
泽塔(10)=(π(10))/(93555)。
(79个)

欧拉给了泽塔(2)泽塔(26)对于即使 n(威尔斯1986,p。 54年),Stieltjes(1993)确定了泽塔(2), ...,泽塔人(70)1887年精确到30位数。分母属于泽塔(2n)对于n=1,2。。。6,90,945,9450,93555,638512875(OEISA002432号).分母的小数位数泽塔(10^n)对于n=0,1。。。分别是1,5,133,2277,32660,426486,5264705,... (OEISA114474号).

正偶数整数的积分由

 zeta(2n)=((-1)^(n+1)2^(2n-3)pi^(2n))/((2^(2n)-1)(2n-2)!)整数0^1E(2(n-1))(x)dx,
(八十)

正奇整数的积分由

泽塔(2n+1)=((-1)^n2^(2n-1)pi^(2n+1))/((2^(2n+1)-1)(2n)!)内切0^1E_u(2n)(x)tan(1/2pix)dx
(81)
=((-1)^n2^(2n-1)pi^(2n+1))/((2^(2n+1)-1)(2n)!)内景0^1E(2n)(x)cot(1/2pix)dx
(八十二)
=(-1)^n2^(2n)π^(2n+1))/((2n+1)!)内景0^1B_(2n+1)(x)棕褐色(1/2pix)dx
(83个)
=((-1)^(n+1)2^(2n)π^(2n+1))/((2n+1)!)内景0^1B(2n+1)(x)cot(1/2pix)dx,
(84个)

哪里埃文(x)是一个欧拉多项式的蓝(x)是一个伯努利多项式的(科维霍维ć 克林诺夫斯基2002年;J。 克里普斯,珀斯。通讯,4月。2002年)。

价值泽塔(0)可以通过执行方程中的内和(◇) 具有s=0,

 zeta(0)=-和(n=0)^infty1/(2^(n+1))和(k=0)^n(-1)^k(n;k) 你说,
(八十五)

获得

 zeta(0)=-和(n=0)^infty(δ0,n))/(2^(n+1))=-1/(2^(0+1))=-1/2,
(86人)

哪里δ(0,n)克罗内克三角洲.

同样泽塔(-1)可以是通过计算方程中的内和来计算(◇) 具有s=-1,

 zeta(-1)=-1/3sum_1(n=0)^infty1/(2^(n+1))和(k=0)^n(-1)^k(n;k) (k+1),
(87)

这给了

泽塔(-1)=-1/3sum_u(n=0)^(infty)(delta_(0,n)-ndelta_(1,n))/(2^(n+1))
(88个)
=-1/3(1/(2^(0+1))-1/(2^(1+1)))
(89个)
=-1/(12)。
(90)

这个值与重整化理论(Elizalde)的一个深层次的结果有关et公司艾尔。1994年、1995年、Bloch 1996年、Lepowski 1999年)。

显然不知道

 zeta(1/2)=-1.46035450880。。。
(九十一)

(OEIS)A059750型)可以用已知的数学常数来表示。例如,此常数出现在克努斯的系列.

快速收敛级数泽塔(n)对于n奇数最早是由拉马努詹(Zucker)发现的1979年、1984年、伯恩特1988年、贝利等等。1997年,科恩2000年)。n> 1n=3(模式4),

 zeta(n)=(2^(n-1)π^n)/((n+1)!)和(k=0)^((n+1)/2)(-1)^(k-1)(n+1;2k)B(n+1-2k)B(2k)-2sum_U1(k=1)^infty1/(k^n(e^(2pik)-1)),
(92个)

哪里布克又是一个伯努利(n;k)是一个二项式系数. 左和的值(除以圆周率)在(92)对于n=3个,7,11。。。分别是7/180、19/56700、1453/425675250,68617,7,737,7,7,7,7,7,8,8,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7(OEISA057866号A057867号). n> =5n=1(模式4),相应的公式为梅西耶,

 zeta(n)=((2pi)^n)/((n+1)(n-1)和(k=0)^((n+1)/4)(-1)^k(n+1-4k)(n+1;2k)B(n+1-2k)B(2k)-2sum_u(k=1)^infty(e^(2pik)(1+(4pik)/(n-1))/(k^n(e^(2pik)-1)^2)
(93)

(科恩,2000年)。

定义

 S_+/-(n)=和(k=1)^infty1/(k^n(e^(2pik)+/-1)),
(94)

然后可以写入前几个值

泽塔(3)=7/(180)圆周率
(95个)
泽塔(5)=1/(294)π^ 5-(72)/(35)硫-(5)-2/(35)硫+(5)
(96个)
泽塔(7)=(19) /(56700)圆周率
(97个)
泽塔(9)=(125)/(3704778)π^ 9-(992)/(495)硫-(9)-2/(495)硫+(9)
(98)
泽塔(11)=(1453)/(425675250)圆周率(11)-2S-(11)
(99个)
泽塔(13)=(89)/(257432175)π^(13)-(16512)/(8255)S_-(13)-2/(8255)S_+(13)
(100)
泽塔(15)=(13687)/(390769879500)圆周率(15)-2S-(15)
(101个)
泽塔(17)=(397549)/(112024529867250)圆周率
(102个)
泽塔(19)=(7708537)/(21438612514068750)圆周率(19)-2S
(103)
齐塔人(21)=(68529640373)/(1881063815762259253125)圆周率(21)-(4196352)/(2098175)S_-(21)-2/(2098175)S_+(21)
(104)

(普劳夫1998年)。

另一组相关公式是

泽塔(3)=(pi^3)/(28)+(16)/7sum_u(n=1)^(infty)1/(n^3(e^(npi)+1))-2/7和(n=1)^(infty)1/(n^3(e^(2pin)+1))
(105)
泽塔(5)=24和(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(npi)-1))-(259)/(10)和(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(2pin)-1))-1/(10)和(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(4pin)-1)
(106)
泽塔(5)=-(7pi^5)/(1840)+(328)/(115)sum U(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(pin)-1))—(419)/(460)sum U(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(2pin)-1)1/(n^5(e^(2pin)-1)))-9/(115)总和(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(3pin)-1))))(261)/(1840)加(1840)加(n=1)的)加(infty)1/(n^5(e^(e^(e^(e^(e^(e^(e^(e(6针-1))-9/(1840)和(n=1)^(infty)1/(n^5(e^(12针)-1))
(107个)
泽塔(7)=(304)/(13)和(n=1)^(infty)1/(n^7(e^(pin)-1))-(103)/4sum_u(n=1)^(infty)1/(n^7(e^(2pin)-1))-(19)/(52)和(n=1)^(infty)1/(n^7(e^(4pin)-1))
(108个)
泽塔(9)=(64)/3sum U(n=1)的^(infty)1/(n^9(e ^(pin)-1))+(441)/(20)总和(n=1)^(infty)1/(n^9(e ^(2pin)-1))—32总和(n=1)^(infty)1/(n^9(e ^(3pin)-1)1)—(4763)/(60)sum(n=1)^(infty)1/(n^9(e ^(4pin)1)1)))(529)/8和(n=1)的1)1/(n^9(e ^(4pin)1)1))+(529)/8)8)和(n=1)的(infty)1/(n^9(e^(6针)-1))-1/8和(n=1)^(infty)1/(n^9(e^(12针)-1))
(109)

(普劳夫,2006年)。

奇数项和泽塔(n)包括

泽塔(5)=2μm(k=1)^(infty)((-1)^(k+1))/(k^5(2k;k) )-5/2sum∗(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)H_(k-1)^((2))/(k^3(2k;k) )
(110)
泽塔(7)=5/2μm(k=1)^(infty)(-1)^(k+1))/(k^7(2k;k) )+(25)/2sum_(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)H_(k-1)^((4))/(k^3(2k;k) )
(111)
泽塔(9)=9/4和(k=1)^(infty)(-1)^(k+1))/(k^9(2k;k) )-5/4和(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)H(k-1)^((2))/(k^7(2k;k) )+5和(k=1)^(infty)((-1)^(k+1)H_u(k-1)^((4))/(k^5(2k;k) )+(45)/4和(k=1)^(infty)((-1)^(k+1)H_(k-1)^((6)))/(k^3(2k;k) )—(25)/4和(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)H(k-1)^((2))H(k-1)^((4))/(k^3(2k;k) )
(112个)
泽塔(11)=5/2μm(k=1)^(infty)(-1)^(k+1))/(k^(11)(2k;k) )+(25)/2sum_(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)H_(k-1)^((4))/(k^7(2k;k) )—(75)/4和(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)H_(k-1)^((8))/(k^3(2k;k) )+(125)/4和(k=1)^(infty)(-1)^(k+1)[H(k-1)^((4))]^2)/(k^3(2k;k) )
(113个)

博韦利和布拉德利(1997;贝利等等。2007年,第。 71),其中(右)是一个广义的谐波.

G。 Huvent(2002)发现了美丽的公式

 zeta(5)=-(16)/(11)和(n=1)^infty([2(-1)^n+1]H_n)/(n^4)。
(114)

一系列和恒等式泽塔(n)包括

和(n=2)^(infty)[zeta(n)-1]=1
(115个)
和(n=2,4,…)^(infty)[zeta(n)-1]=3/4页
(116)
和(n=3,5,…)^(infty)[zeta(n)-1]=1/4页
(117个)
和(n=2)^(infty)(-1)^n[zeta(n)-1]=1/2。
(118个)

包含参数整数倍数的和包括

和(n=1)^(infty)[zeta(2n)-1]=3/4页
(119)
和(n=1)^(infty)[zeta(3n)-1]=1/3[-(-1)^(2/3)H_((3-isqrt(3))/2)+(-1)^(1/3)H(3+isqrt(3))/2]
(120个)
和(n=1)^(infty)[zeta(4n)-1]=1/8(7-2其他),
(121个)

哪里胡恩是一个谐波.

两个惊人的数目泽塔(x)被给予通过

和(k=2)^(infty)(-1)^kzeta(k))/k=伽马射线
(122个)
和(k=2)^(infty)(zeta(k)-1)/k=1-伽马,
(123个)

哪里伽马射线欧拉·马斯切罗尼常数(Havil 2003年,第。 109和111-112)。方程式(122)可以概括为

 和(k=2)^infty((-x)^kzeta(k))/k=xgamma+ln(x!)
(124个)

(T。 德兰,佩斯。通信,7月。 2006年7月7日)-1<x<=1.

其他意外金额包括

 和(n=1)^infty(zeta(2n))/(n(2n+1)2^(2n))=lnpi-1
(125个)

(泰勒和切尔霍夫1985年;Boros和Moll 2004,第。 248)和

 和(n=1)^infty(zeta(2n))/(n(2n+1))=ln(2pi)-1。
(126个)

(125)是

 和(k=1)^infty(zeta(2k,z))/(k(2k+1)2^(2k))=(2z-1)ln(z-1/2)-2z+1+ln(2pi)-2lnGamma(z),
(127个)

哪里齐塔(s,a)是一个赫维茨zeta函数(丹麦1967年;Boros和Moll 2004,第。 248页)。

考虑到总数

 S_n=和(k=2)^(n-2)(zeta(k)zeta(n-k))/(2^k),
(128个)

然后

 lim_u(n->infty)S_n=ln2,
(129个)

哪里液氮自然的2的对数,这是

 极限(n->infty)和(k=2)^(n-2)zeta(k)zeta(n-k)x^(k-1)=x^(-1)-psi_0(-x)-伽马,
(130个)

哪里磅/平方英寸(z)迪伽玛功能伽马射线欧拉·马斯切罗尼常数,可以从

 和(k=2)^inftyzeta(k)x^(k-1)=-psi_0(1-x)-伽马
(131个)

(B。 克劳特,佩斯。通信,12月。 2005年11月11日;参考Borwein等等。2000年,等式。27条)。

Ramanujan(谁给出了m=1案例)给出通过

 和(k=1)^infty1/([k(k+1)]^(2m+1))=-2sum Uu(k=0)^mzeta(2k)(4m-2k+1;2米),
(132)

哪里(n;k)是一个二项式系数(B。 克劳特,佩斯。通信,9月。 2005年12月20日)。

一组额外的和泽塔(n)被给予通过

断路器1=和(n=2)^(infty)(zeta(n))/(n!)
(133个)
=内部0^infty(I_1(2sqrt(u))-sqrt(u))/((e^u-1)sqrt(u))du
(134个)
=国际机场;二;u) -1)/(e^u-1)杜
(135个)
 大约 1.078189
(136个)
断路器2=和(n=1)^(infty)(zeta(2n))/(n!)
(137个)
=和(n=1)^(infty)e^(1/n^2)-1
(138个)
=整数0^1(u_0F_2(;3/2,2;1/4u^4))/(e^u-1)度
(139)
 大约 2.407447
(140个)
3号机组=和(n=1)^(infty)(zeta(2n))/((2n)!)
(141个)
=国际机场;二-u) -第1页(;二;u) )/(2(1-e^u))单位
(142个)
 大约 0.869002。
(143个)

(OEIS)A093720,A076813号,和A093721号),其中I\n(z)是一个被改进的第一类贝塞尔函数,_pF^ ~\u q是一个正则超几何函数.这些数目还不得而知封闭形式表达式。

里曼泽塔诺夫

Riemann-zeta函数的逆1/泽塔(p),绘制上面是pth无功数(即。,无平方数字,立方英尺数字等)。下表给出了数字质量p(n)属于pth无功数<=n对于多个值n.

p1/泽塔(p)问题(10)100盎司质量(10^3)问题(10^4)问题(10^5)问题(10^6)
20.607927761608608360794607926
0.831907985833831983190831910
40.9239381093925924092395923939
50.9643871097965964596440964388
60.9829531099984983198297982954

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