椭圆积分奇异值

当椭圆模量 具有奇异值时，完整的椭圆积分可以以解析形式计算伽马函数.Abel（引用于Whittaker and Watson 1990，p.525）证明

(1)

哪里,,,,和是整数,是一个完成第一类椭圆积分、和是互补的完成第一类椭圆积分，然后是椭圆形模数，模量 是根代数方程的具有整数 系数.

A类椭圆模量 这样的话

(2)

称为椭圆积分的奇异值。这个椭圆lambda函数 给出的值为.

Selberg和Chowla（1967）表明和可以用有限数量的伽马函数.完整椭圆形第二类积分 和可以用和在椭圆形α函数 .

的值对于小整数就伽马函数 总结如下。

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哪里是伽马函数和是一个代数数（Borwein和Borwein1987，第298页）。

Borwein和Zucker（1992）给出了完备奇异值的惊人表达式椭圆积分中心β函数

(21)

此外，它们表明是总是可以用这些函数表示对于.在这种情况下表达式中出现的函数有属于表格 哪里和。分子中的项取决于克罗内克符号 。前几个值是

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哪里是真实的 根属于

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和是一个代数数（Borwein和Zucker 1992）。请注意是上述列表中唯一不能表示为中心β函数.

使用椭圆α函数，的第二类的椭圆积分友善的也可以从中找到

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并且根据定义，

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