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不完整Gamma函数

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“完成”伽马函数 伽马（a）可以推广到不完全伽马函数伽马（a，x）这样的话γ（a）=γ（a，0）.这个“上”不完全伽马函数由下式给出

伽马（a，x）=int_x^inftyt^（a-1）e^（-t）dt。
(1)

对于一一个整数 n个

伽马（n，x）=（n-1）！e^（-x）总和_（k=0）^（n-1）（x^k）/（k！）
(2)
=（n-1）！e^（-x）e_（n-1）（x），
(3)

哪里e_n（x）是指数和函数。它是实现为伽马射线[一,z（z）]在Wolfram语言.

特殊情况x=-1可以用次级因子 !n个作为

伽马（n，-1）=e！（n-1）。
(4)

不完全伽马函数伽马（0，x）有连分数

伽马（0，x）=（e^（-x））/（x+1-1/（x+3-4/（x+5-9/（x+7+…）））
（5）

（Wall 1948，第358页）。

下不完全伽马函数由下式给出

γ（a，x）=int_0^xt^（a-1）e^（-t）dt
(6)
=a^（-1）x^ae^（-x）_1F_1（1；1+a；x）
(7)
=a^（-1）x^a_1F_1（a；1+a；-x），
(8)

哪里_1F_1（a；b；x）是合流超几何第一类函数。对于一一个整数 n个,

γ（n，x）=（n-1）！（1-e^（-x）总和_（k=0）^（n-1）（x^k）/（k！））
(9)
=（n-1）！[1-e^（-x）e_（n-1）（x）]。
(10)

它的实现方式是伽马射线[一,0,z（z）]在Wolfram语言.

根据定义，上下不完全伽马函数满足

伽马（a，x）+伽马（α，x）=伽玛（a）。
(11)

这个指数积分 Ei（z）与不完全伽马函数密切相关伽马（0，z）通过

伽马射线（0，z）=-Ei（-z）+1/2[ln（-z）-ln（-1/z）]-lnz。
(12)

因此，实际上x个,

伽马（0，x）={-Ei（-x）-ipi表示x<0；-Ei（-x）表示x>0。
（13）

另请参见

指数积分,Gamma函数,正规化Gamma函数

Wolfram相关网站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma2/,http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma3网站/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第260页，1972年。Arfken，G.“不完全伽马功能和相关功能。“§10.5英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第565-572页，1985墙体，H.S。分析连分式理论。纽约：切尔西，1948年。

引用的关于Wolfram | Alpha

不完整Gamma函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“伽马函数不完整。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html

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