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先验数


超越数是一个(可能是复杂的)不是属于任何 整数多项式,意思是它不是代数数任何程度的。每个真正的超越数也必须是不合理的,自从有理数根据定义,是代数数一级。

A类复数 z(z)可以使用Wolfram语言命令不是[元素[x个,代数]].

先验数在数学史上很重要,因为他们的调查提供了第一个证据圆圈展平,其中一个几何问题古代的困扰数学家2000多年的是事实,无法解决。具体来说,为了使数字由几何的建设按照古希腊的规则,必须是理性的或者一种非常特殊的代数数已知的作为一个欧几里德数.因为数字圆周率是超越的,结构不能按照希腊的规则来做。

Liouville展示了如何构建特殊案例(例如刘维尔常数)使用刘维尔近似定理特别是,他指出,任何快速收敛的数字有理逼近序列必须是超越的。多年来只有知道如何确定特殊的数类是否超越。这个确定更一般的数字的状态被认为是足够重要的这是一个尚未解决的问题希尔伯特的问题.

随后取得了巨大进展盖尔芬德定理,它给出了确定数字的特殊情况的一般规则表单的 αβ都是超然的。贝克又掀起了一场革命通过证明数字和的超越性形式 α-β对于代数数 阿尔法β.

数字e(电子)被赫米特于1873年证明是超然的,并且圆周率(圆周率)林德曼于1882年创作。Gelfond的常数 e ^π超越了盖尔芬德定理自从

 (-1)^(-i)=(e^(ipi))^。

这个Gelfond-Schneider常数 2^(平方米(2))也是超越的(哈代和Wright 1979,第162页)。

下表总结了已知超越,其中正弦正弦功能,J_0(x)是一个贝塞尔第一类函数,x_k^((n))n个的零点J_k(x),P_1Thue-Morse常数,第2页普适抛物线常数,欧米茄_UChaitin常数,伽马(x)伽马函数,泽塔(n)黎曼-泽塔函数.

超越数参考
Chaitin常数 欧米茄_U
Champernowne常数
e(电子)赫米特(1873)
e^(活塞(d)),Z中的d^+内斯特伦科(1999)
Gelfond的常数 e ^πGelfond公司
Gelfond-Schneider公司常数 2^(平方米(2))哈代和赖特(1979年,第162页)
指数阶乘逆和S公司J.Sondow,pers.comm.,1月10日,2003
伽马(1/3)《狮子座》(1983年,第46页)
伽玛(1/4)丘德诺夫斯基(1984年,第308页),Waldschmidt,Nesterenko(1999)
伽马(1/6)丘德诺夫斯基(1984年,第308页)
伽马(1/4)π^(-1/4)戴维斯(1959)
J_0(1)哈代和赖特(1979年,第162页)
J_0(x)最小的根,2.4048255。。。《狮子座》(1983年,第46页)
Komornik Loreti公司常数Allouche和Cosnard(2000年)
刘维尔常数 我刘维尔(1850)
液化天然气哈代和赖特(1979年,第162页)
液化天然气/液化天然气哈代和赖特(1979年,第162页),
圆周率林德曼(1882)
pi+ln2+sqrt(2)ln3Borwein等人(1989年)
普劳夫的常数 tan^(-1)(1/2)/pi史密斯2003,马戈利斯
正弦1哈代和赖特(1979年,第162页)
(tan ^(-1)x)/pi对于x个理性和x=0,+/-1马戈利斯
Thue-Morse常数0.4124540336...Dekking(1977),Allouche和Shallit
Thue常数
普适抛物线常数 平方码(2)+ln(1+平方码(二))

阿佩里常数 泽塔(3)已经证明是不合理的,但不知道它是否是超越的。至少一个馅饼π+e(可能两者都是)是超越的,但却是超越的这两个数字本身都没有得到证明。不知道是否电子(e),pi^pi,圆周率,伽马射线(该尤勒·马切罗尼常数),I_0(2),I_1(2)(其中I_n(x)是一个修正贝塞尔函数第一类)都是超然的。

超越数论中仍然存在许多基础性和突出的问题,包括不变问题Schanuel猜想.

而任何代数数是一个代数周期和一个不是代数的周期是一个超越数(Waldschmidt 2006),有一个“缺口”在这两种说法之间代数的时期可能是代数的或超越。


另请参见

代数数,代数周期,代数无关,代数,常量问题,四指数猜想,指数阶乘,Gelfond的定理,无理数,非理性测量,Lindeman-Weierstrass定理,罗斯定理,Schanuel的猜想,六指数定理 探索这个数学世界课堂上的主题

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Allouche,J.P。和Shallit,J.正在准备。Allouche,J.-P.和Cosnard,M.“Komornik-Loreti常数是超越的。”阿默尔。数学。每月 107, 448-449, 2000.D.H.贝利。和克兰德尔·R·E。“随机生成器和正常数。”专家。数学。 11, 527-546, 2002.Baker,A.“近似值某些有理数的对数。"《阿里斯学报》。 10, 315-323,1964Baker,A.“代数数对数的线性形式I.“马塞马提卡 13, 204-216, 1966.Baker,A.“线性代数数对数的形式2。"马塞马提卡 14,102-107, 1966.Baker,A.“代数对数中的线性形式数字III“马塞马提卡 14, 220-228, 1966.贝克,A.“代数数对数的线性形式IV”马塞马提卡 15,204-216, 1966.Borwein,J.M。;Borwein,P.B。;和贝利,D.H.博士。“Ramanujan,模方程,Pi或How to近似计算十亿位数的Pi。"阿默尔。数学。每月 96, 201-219,1989楚德诺夫斯基。贡献先验数论。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.公司。,1984Courant,R.和Robbins,H.“代数和超越数字。“§2.6英寸什么数学吗思想和方法的基本方法,第2版。牛津,英国:牛津大学出版社,第103-107页,1996年。P.J.戴维斯。“Leonhard Euler积分:伽马函数的历史简介。”阿默尔。数学。每月 66, 849-869, 1959.F.M.德金。“Thue-Morse的超越。”C.R.学院。科学。巴黎 285,157-160, 1977.Gourdon,X.和Sebah,P.《超越数》“数字分类:概述”中的§3http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellance/classification.html.灰色,R.“乔治·坎托和超越数”阿默尔。数学。每月 101,819-8321994年。G.H.哈代。和Wright,E.M。“代数和超越数字,“超越数字的存在,”和“刘维尔定理和先验数的构造”§11.5-11.6英寸数字理论导论,第5版。英国牛津:牛津大学出版社,第159-1641979页。Hermite,C.“功能指数”C.R.公司。阿卡德。科学。巴黎 77第18-24、74-79和226-233页,1873年。Lionnais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第46页,1979年。林德曼,F.“Uber die Zahl圆周率."数学。安。 20, 213-225, 1882.刘维尔,J.“数量的本质瓦勒尔·恩埃斯特·尼亚尔盖布里克,我是伊尔罗伦群岛的居民阿尔盖布里克斯。"数学杂志。苹果泥。 15, 133-142, 1850.马戈利斯,B.H.公司。“普劳夫常数是先验的。”网址:http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/plouffe.pdf.纳格尔,T。介绍数字理论。纽约:Wiley,第35页,1951年。内斯特伦科,于。五、。“关于系统解的组成部分的代数独立性线性微分方程。"伊兹夫。阿卡德。Nauk SSSR,序列号。材料。 38,495-512, 1974. 英语翻译数学。苏联 8, 501-518, 1974.内斯特伦科,于。五、。“模块功能和超越问题”【俄语】Mat.Sbornik公司 187, 65-96, 1996. 英语翻译斯博尼克数学。 187,1319-1348, 1996.于内斯特伦科。五、。代数独立性课程:1999年国际水文计划讲座。未发表的手稿。1999皮科弗,C.A。“十五个最著名的超越数字。”J.重建。数学。 25,12, 1993.拉马钱德拉,K。讲座关于超越数字。印度马德拉斯:拉马努扬研究所,1969年。希德洛夫斯基,答:B。先验的数字。纽约:de Gruyter,1989年。西格尔,C.L。先验的数字。纽约:切尔西,1965年。史密斯,W.D。“毕达哥拉斯三元组、有理角度和空间填充单纯形。" 2003.http://math.temple.edu/~wds/homepage/diophant.pdf.蒂德曼,R.“先验数理论的一个辅助结果”J。麻木的。第。 5, 80-94, 1973.Waldschmidt,M.“超越时代:最先进的。”纯应用程序。数学。夸脱。 2,435-463, 2006.

参考Wolfram | Alpha

先验数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“先验数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

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