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Euler-Mascheroni常数

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Euler-Mascheroni常数伽马射线有时也称为“Euler常数”或“Euler常量”（但不要与常量混淆e=2.718281。。。)定义为序列的极限

伽马射线=lim_（n->infty）（sum_（k=1）^（n）1/k-lnn）
(1)
=lim_（n->infty）（H_n-lnn），
(2)

哪里H_n（H_n）是一个谐波数（格雷厄姆等。1994,第278页）。它首先由欧拉（1735）定义，他使用了这个字母C类并表示“值得认真考虑”（哈维尔2003年，第xx和51页）。符号伽马射线最早由Mascheroni使用（1790年）。

伽马射线具有数值

伽马=0.577215664901532860606512090082402431042。。。
(3)

（组织环境信息系统A001620号)，并在中实现Wolfram语言作为欧拉伽马.

不知道该常数是否为不合理的更别说了超越的（Wells 1986，第28页）。英国著名数学家G.H。据称哈迪主动提出把他在牛津大学的萨维利亚主席让给任何证明自己的人伽马射线非理性（Havil 2003，第52页），尽管没有此报价的书面参考似乎是已知的。希尔伯特提到了非理性属于伽马射线作为一个似乎“无法接近”的未解决问题数学家束手无策（哈维尔2003年，第97页）。康威和盖伊（1996）“准备打赌它是超验的”，尽管他们并不期望在他们有生之年要实现的证明。如果伽马射线是一个简单的分数账户，那么就知道了b> 10 ^（万）（布伦特1977；威尔斯1986，第28页），其中随后由T.Papanikolaou改进为b> 10 ^（242080）（哈维尔2003年，第97页）。

TheEuler-Mascheroni常数连分式由[0,1,1,2,1,1,1,4,3,13,5,1,1,8,1给出，2, 4, 1, 1, 40, ...] （组织环境信息系统A002852号).

这个恩格尔膨胀属于伽马射线由2、7、13、19、85、2601、9602、46268、4812284给出，…（OEIS）A053977号).

Euler-Mascheroni常数出现在许多积分中

伽马射线=-int_0^inftye^（-x）lnxdx
(4)
=-整数0^1ln（1/x）dx
(5)
=int_0^infty（1/（1-e^（-x））-1/x）e^（-x）dx
(6)
=int_0^infty1/x（1/（1+x）-e^（-x））dx
(7)

（Whittaker和Watson，1990年，第246页）。给出的积分伽马射线与其他简单常数组合包括

int_0^inftye^（-x^2）lnxdx=-1/4平方（pi）（伽马+2ln2）
(8)
int_0^inftye^（-x）（lnx）^2dx=伽马^2+1/6pi^2。
(9)

二重积分包括

伽马=int_0^1int_0^1（x-1）/（（1-xy）ln（xy））dxdy
(10)

（Sondow 2003年、2005年；Borwein等。2004年，第49页）。一个有趣的模拟方程式的(10)由提供

ln（4/pi）=总和（n=1）^（infty）（-1）^（n-1）[1/n-ln（（n+1）/n）]
(11)
=整数0^1int0^1（x-1）/（（1+xy）ln（xy））dxdy
(12)
=0.241564...
(13)

（组织环境信息系统A094640号; Sondow 2005）。

伽马射线也由以下公式给出梅滕斯定理

e^γ=lim_（n->infty）1/（lnp_n）产品_（i=1）^n1/（1-1/（p_i）），
(14)

产品结束的地方素数 第页通过取两边的对数，可以得到一个显式公式对于伽马射线获得，

γ=lim_（x->infty）[sum_（p<=x）ln（1/（1-1/p））-lnx]。
(15)

它也由级数给出

γ=总和（k=1）^系数[1/k-ln（1+1/k）]
(16)

由于Euler，根据方程式（1），首先替换液化天然气通过ln（n+1），自起生效

lim（n->infty）[ln（n+1）-lnn]=lim（n->infty）ln（1+1/n）=0，
(17)

然后替换伸缩式总和

sum_（k=1）^nln（1+1/k）
(18)

对于ln（n+1）,这是它的总和

ln（1+1/k）=ln（k+1）-lnk，
(19)

获得

伽马射线=lim（n->infty）[sum（k=1）^（n）1/k-sum（k=1）*（n）ln（1+1/k）]
(20)
=lim（n->infty）sum（k=1）^（n）[1/k-ln（1+1/k）]
(21)

它等于等式(◇).

其他系列包括

伽马射线=sum_（n=2）^（infty）（-1）^n（zeta（n））/n
(22)
=ln（4/pi）+sum（n=1）^（infty）（（-1）^
(23)

（Gourdon和Sebah，2003年，第3页），其中泽塔（z）是黎曼泽塔功能，以及

伽马=总和（n=1）^infty（-1）^n（|_lgn_|）/n
(24)

（Vacca 1910，Gerst 1969），其中lg（长度）是对数至底座2和|_x个_|是楼层功能.尼尔森（1897）早些时候给出了一个相当于(24),

γ=1-sum_（n=1）^inftysum_（k=2^（n-1））^（2^n-1）n/（2k+1）（2k+2））。
(25)

查看的等效性(25)带有(24),扩大

1/（（2k+1）（2k+2））=1/（2k/1）-1/（2k+2）
(26)

并添加

0=-1/2+1/4+1/8+1/(16)+...
(27)

尼尔森方程得到瓦卡公式。

总额

伽马射线=sum_（n=1）^（infty）sum_
(28)
=sum_（k=1）^（infty）1/（2^（k+1））sum_（j=0）^（k-1）（2^（k-j）+j；j） ^（-1）
(29)

（戈斯珀1972年k-j公司替换未定义的我; Bailey和Crandall 2001）可以从方程中获得(24)通过重写为双系列,然后应用欧拉级数变换对这些序列中的每一个进行加法运算以得到方程(29). 在这里，（n；k）是一个二项式系数和重新排列允许条件收敛级数，因为正负项首先可以成对分组，由此产生的正数序列重新排列，然后将序列分解为正负项。

双系列(28)等于加泰罗尼亚积分

γ=int_0^11/（1+x）sum_（n=1）^inftyx^（2^n-1）dx。
(30)

要查看等效性，请展开1/（1+x）在一个几何级数,乘以x^（2^n-1）,并按术语进行整合（Sondow和Zudilin，2003年）。

其他系列伽马射线包括

伽马=3/2-ln2-sum_（m=2）^infty（-1）^m（m-1）/m[泽塔（m）-1]
(31)

（Flajolet和Vardi，1996年），以及

伽马=（2^n）/（e^（2^n））总和_（m=0）^系数（2^（mn））/（（m+1）！）sum_（t=0）^m1/（t+1）-nln2+O（1/（2^ne^（2*n））），
(32)

（Bailey 1988），这是对Sweeney（1963）的改进。

快速收敛的极限伽马射线由提供

伽马射线=lim（n->infty）[（2n-1）/（2n）-lnn+sum（k=2）^（n）（1/k-（zeta（1-k））/（n^k））]
(33)
=lim_（n->infty）[（2n-1）/（2n）-lnn+sum_（k=2）^（n）1/k（1+（B_k）/（n^k））]，
(34)

哪里B_ k（_k）是一个伯努利数（C.Stingley，律师。comm.，2003年7月11日）。

另一个极限公式如下所示

γ=-lim_（n->infty）[（γ（1/n）γ（n+1）n^（1+1/n））/（γ（2+n+1/n））-（n^2）/（n+1）]
(35)

（P.Walker，pers.comm.，2004年3月17日）。一个更令人惊讶的极限是由

γ=lim_（x->infty）zeta（zeta（z））-2^x+（4/3）^x+1
(36)

（B.Cloitre，pers.comm.，2005年10月4日），其中ζ（z）是黎曼泽塔功能.

与的另一个连接素数Dirichlet在1838年证明了约数 d（n）=σ0（n）从1到的所有数字n个渐近于

（总和（k=1）^（n）d（k））/n～lnn+2gamma-1
(37)

（Conway和Guy，1996年）。de la Vallée Poussin（1898）证明，如果大量n个除以所有素数 <=n，然后是商小于下一个整数为伽马射线.

优雅的身份伽马射线由提供

γ=（S_0（z）-K_0（z））/（I_0（z））-ln（1/2z），
(38)

哪里I_0（z）是一个修正贝塞尔函数第一类,K_0（z）是一个被改进的第二类贝塞尔函数，以及

S_0（z）=sum_（k=0）^infty（（1/2z）^（2k）H_k）/（（k！）^2），
(39)

哪里H_n（H_n）是一个谐波数（博文和博文1987年，第336页；Borwein和Bailey，2003年，第138页）。这提供了一个有效的迭代的算法伽马射线通过计算

B_ k（_k）=（B_（k-1）n^2）/（k^2）
(40)
确认（_k）=1/k（（A_（k-1）n^2）/k+B_k）
(41)
确定（_k）=U_（k-1）+A_k
(42)
V_k（V）=V_（k-1）+B_k
(43)

具有A_0=-lnn,B_0=1,U_0=A_0,和V_0=1（Borwein和Bailey，2003年，第138-139页）。

重新定义这个恒等式给出了极限

lim_（n->infty）[sum_（k=0）^infty（（n^k）/（k！））^2H_k）/
(44)

（Brent和McMillan，1980年；Trott，2004年，第21页）。

无限产品涉及伽马射线也源于巴恩斯G函数具有正整数 n个.案例G（2）和G（3）给

产品_（n=1）^（infty）e^（-1+1/（2n））（1+1/n）^n=（e^（1+伽马/2））/（平方（2pi））
(45)
产品_（n=1）^（infty）e^（-2+2/n）（1+2/n）^n=（e^（3+2gamma））/（2pi）。
(46)

Euler-Mascheroni常数也由表达式给出

伽马射线=-伽马射线^'（1）
(47)
=-psi0（1），
(48)

哪里psi0（x）是地高玛函数（惠塔克和沃森1990年，第236页），

伽马=lim_（s->1）[zeta（s）-1/（s-1）]
(49)

（Whittaker和Watson 1990年，第271页），反对称极限形式

γ=lim_（s->1^+）sum_（n=1）^infty（1/（n^s）-1/（s^n））
（50）

（Sondow 1998），以及

gamma=lim_（x->infty）[x-gamma（1/x）]
(51)

（《狮子座》1983）。

The difference between then个方程中第个收敛的(◇）和伽马射线由提供

sum_（k=1）^n1/k-lnn-gamma=int_n^infty（x-|x_|）/（x^2）dx，
(52)

哪里|_x个_|是楼层功能，并满足不平等

1/（2（n+1））<sum_（k=1）^n1/k-lnn-gamma<1/（2n）
(53)

（Young 1991）。

符号伽马射线有时也用于

伽马射线=伽马射线约1.781072
(54)

（组织环境信息系统A073004型; Gradshteyn和Ryzhik 2000，第xxvii页）。

这里有一个奇怪的激进表述

e^γ=（2/1）^（1/2）（（2^2）/（1.3））^。。。，
(55)

这与双系列

γ=sum_（n=1）^infty1/nsum_（k=0）^（n-1）（-1）^[k+1]（n-1；k）ln（k+1）
(56)

和（n；k）一二项式系数（1926年，索多2003年b，Guillera和Sondow，2005年）。产品的另一个证明(55)以及此产品与沃利斯公式-比如“更快的产品圆周率"

pi/2=（2/1）^（1/2）（（2^2）/（1.3））^。。。
(57)

（Guillera和Sondow，2005年，Sondow 2005年），见Sondow（2004年）。（这种相似性通过改变变得更加清晰n->n+1英寸(57).) 这两个公式也类似于e（电子）由提供

e=（2/1）^（1/1）（（2^2）/（1.3））^。。。
(58)

由于Guillera（Sondow 2005）。

尤勒·马斯切罗尼·松多

价值观r（n）包含第一个后获得n个产品条款e^伽马如上图所示。

一个奇怪的和极限收敛到伽马射线由提供

lim（n->infty）1/nsum（k=1）^（n-1）（[n/k]-n/k）=γ
(59)

（哈维尔2003年，第113页），其中【x】是天花板函数.

另请参见

Euler Mascheroni常数近似,尤勒·马切罗尼常数连分式,尤勒·马切罗尼常量数字,欧拉产品,哈吉科斯塔斯的公式,吉普车问题,梅滕斯定理,斯蒂尔特杰斯常数 在数学世界课堂上探索这个主题

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工具书类

阿纳斯塔索，T。Die Mascheroni’sche Konstante:Eine historicsch-analytisch zusammenfassende Studie（《马斯切罗尼的谢·康斯坦特》）。论文。德国波恩：波恩大学。韦兹肯：J.Wirz，1914年。D.H.贝利。“关于涉及常数的超越圆周率,e（电子）和欧拉常数。"数学。计算。 50,275-281, 1988.贝利，D.H。和克兰德尔·R·E。“”随机“发电机和正常数。"专家。数学。 11, 527-546, 2002.博温，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。Borwein，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R。实验数学：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2004Borwein，J.和Borweing，P.B。圆周率&AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，1987年。布伦特，R.P。“规则的计算欧拉常数的连分式。"数学。计算。 31，771-777中，1977布伦特，R.P。和McMillan，E.M。“一些新算法用于欧拉常数的高精度计算。"数学。计算。 34,305-312, 1980.Castellanos，D.“无处不在的Pi.第一部分”数学。美格。 61, 67-98, 1988.康威，J.H。还有盖伊，R.K.公司。“Euler-Mascheroni数字”这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第260-261页，1996年。判定元件la Vallée Poussin，C.-J.无标题通信。社会科学年鉴。布鲁塞尔 22, 84-90, 1898.德坦普尔，D.W。“更快收敛到欧拉常数。"阿默尔。数学。每月 100, 468-470,1993Dirichlet，G.L。“Sur l'usage deséries infinies公司丹斯·拉塞奥里·德·诺布雷斯（dans la théorie des nombres）。"J.reine angew。数学。 18,259-274, 1838.埃尔德莱伊，A。；马格纳斯，W。；Oberhettinger，F。；和F.G.特里科米。更高先验函数，第1卷。纽约：克里格，第1页，1981年。欧拉，L.“De Progressionibus和谐观察”Commentarii学院科学帝国主义石油政治 7-1734年, 150-161, 1735.芬奇，S.R.公司。“Euler-Mascheroni常数”第1.5节数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第28-40页，2003Flajolet，P.和Vardi，I.“经典的齐塔函数展开常量。“未出版手稿，1996年。http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.格斯特，I.“欧拉常数的一些级数”阿默尔。数学。每月 76,273-275, 1969.Glaisher，J.W。L。“论欧拉的历史恒定。"Messenger数学。 1, 25-30, 1872.高斯珀，相对湿度。Beeler，M.中的第120项。；Gosper，R.W。；和Schroeppel，R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院人工智能实验室，备忘录AIM-239，第55页，1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item120.古尔登，X.和Sebah，P.“欧拉常数：伽马射线."http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/Gamma.html.古尔登，X.和Sebah，P.《欧拉常数公式汇编》，2月12日，2003http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.pdf.古尔登，X.和Sebah，P.“计算常数和记录”http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellones/Records.html.Gradshteyn，I.S.公司。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik。混凝土数学：计算机科学基金会，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994Guillera，J.和Sondow，J.“二重积分与无穷大一些经典常数的乘积是通过Lerch超越的分析延续得到的。"2005年6月16日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2003年。近藤，S.“欧拉常数的值”http://ja0hxv.calico.jp/pai/egamma.html.克努特，D.E.博士。“欧拉常数为1271位。”数学。计算。 16,275-281, 1962.S.G.将军。“Euler-Mascheroni常数。”§13.1.7英寸手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第156-157页，1999年。勒Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，第28页，1983年。马斯切罗尼，L。《欧拉里积分注记与计算》，第1卷和第2卷。蒂奇诺，意大利，1790年和1792年。转载于Euler，L。Leonhardi Euleri Opera Omnia，爵士。 1,第12卷。德国莱比锡：Teubner，第415-5421915页。尼尔森，N.“Een Raekke代表Euler的Konstant。”纽约州。潮汐。数学。 8B类,10-12, 1897.Plouffe，S.“计算电流记录表常数。"http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.序列，J.“功能的表面表达泽塔德里曼。"C.R.学院。科学。巴黎Sér。I数学。 182, 1075-1077, 1926.新泽西州斯隆。答：。序列A001620号/M3755，A033149号,A053977号,A073004型,和A094640号在线百科全书整数序列的。"Sondow，J.“反对称公式欧拉常数。"数学。美格。 71, 219-220, 1998.索多，J.“欧拉常数非理性的标准”程序。阿默尔。数学。Soc公司。 131，3335-33442003a。Sondow，J.“无限乘积对于e^伽马射线通过欧拉常数的超几何公式，伽马射线2003年5月31日。http://arxiv.org/abs/math.CA/0306008.索多，J.“欧拉常数和ln（4/pi）和哈吉科斯塔斯公式的模拟。"阿默尔。数学。每月 1122005年5月61日至65日。J.Sondow，“更快的产品圆周率和一个新的积分ln（pi/2）."阿默尔。数学。每月 112, 729-734,2005年b月。Sondow，J.和Zudilin，W.“欧拉常数，q个-Ramanujan和Gosper的对数和公式。"拉马努詹J。 12, 225-244, 2006.斯威尼，D.W。“关于计算欧拉常数。"数学。计算。 17, 170-178, 1963.特洛特，M。The编程数学指南。纽约：Springer-Verlag，2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.瓦卡，G.“欧拉常数的新级数。”夸脱。J.纯应用。数学。 41,363-368, 1910.威尔斯，D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅图书，第28页，1986年。E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第235-236、246和271页，1990年。Young，R.M。“欧拉的恒定。"数学。加兹。 75, 187-190, 1991.

引用关于Wolfram | Alpha

Euler-Mascheroni常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Euler-Mascheroni常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

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