Euler-Mascheroni常数有时也称为“Euler常数”或“Euler常量”(但不要与常量混淆)定义为序列的极限
哪里是一个谐波数(格雷厄姆等。1994,第278页)。它首先由欧拉(1735)定义,他使用了这个字母并表示“值得认真考虑”(哈维尔2003年,第xx和51页)。符号最早由Mascheroni使用(1790年)。
具有数值
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(组织环境信息系统A001620号),并在中实现Wolfram语言作为欧拉伽马.
不知道该常数是否为不合理的更别说了超越的(Wells 1986,第28页)。英国著名数学家G.H。据称哈迪主动提出把他在牛津大学的萨维利亚主席让给任何证明自己的人非理性(Havil 2003,第52页),尽管没有此报价的书面参考似乎是已知的。希尔伯特提到了非理性属于作为一个似乎“无法接近”的未解决问题数学家束手无策(哈维尔2003年,第97页)。康威和盖伊(1996)“准备打赌它是超验的”,尽管他们并不期望在他们有生之年要实现的证明。如果是一个简单的分数,那么就知道了(布伦特1977;威尔斯1986,第28页),其中随后由T.Papanikolaou改进为(哈维尔2003年,第97页)。
TheEuler-Mascheroni常数连分式由[0,1,1,2,1,1,1,4,3,13,5,1,1,8,1给出,2, 4, 1, 1, 40, ...] (组织环境信息系统A002852号).
这个恩格尔膨胀属于由2、7、13、19、85、2601、9602、46268、4812284给出,…(OEIS)A053977号).
Euler-Mascheroni常数出现在许多积分中
(Whittaker和Watson,1990年,第246页)。给出的积分与其他简单常数组合包括
二重积分包括
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(Sondow 2003年、2005年;Borwein等。2004年,第49页)。一个有趣的模拟方程式的(10)由提供
(组织环境信息系统A094640号; Sondow 2005)。
也由以下公式给出梅滕斯定理
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产品结束的地方素数 通过取两边的对数,可以得到一个显式公式对于获得,
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(15)
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它也由级数给出
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由于Euler,根据方程式(1),首先替换通过,自起生效
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(17)
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然后替换伸缩式总和
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对于,这是它的总和
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(19)
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获得
它等于等式(◇).
其他系列包括
(Gourdon和Sebah,2003年,第3页),其中是黎曼泽塔功能,以及
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(24)
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(Vacca 1910,Gerst 1969),其中lg(长度)是对数至底座2和是楼层功能.尼尔森(1897)早些时候给出了一个相当于(24),
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(25)
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查看的等效性(25)带有(24),扩大
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(26)
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并添加
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(27)
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尼尔森方程得到瓦卡公式。
总额
(戈斯珀1972年替换未定义的; Bailey和Crandall 2001)可以从方程中获得(24)通过重写为双系列,然后应用欧拉级数变换对这些序列中的每一个进行加法运算以得到方程(29). 在这里,是一个二项式系数和重新排列允许条件收敛级数,因为正负项首先可以成对分组,由此产生的正数序列重新排列,然后将序列分解为正负项。
双系列(28)等于加泰罗尼亚积分
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要查看等效性,请展开在一个几何级数,乘以,并按术语进行整合(Sondow和Zudilin,2003年)。
其他系列包括
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(31)
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(Flajolet和Vardi,1996年),以及
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(32)
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(Bailey 1988),这是对Sweeney(1963)的改进。
快速收敛的极限由提供
哪里是一个伯努利数(C.Stingley,律师。comm.,2003年7月11日)。
另一个极限公式如下所示
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(35)
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(P.Walker,pers.comm.,2004年3月17日)。一个更令人惊讶的极限是由
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(36)
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(B.Cloitre,pers.comm.,2005年10月4日),其中是黎曼泽塔功能.
与的另一个连接素数Dirichlet在1838年证明了约数 从1到的所有数字渐近于
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(37)
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(Conway和Guy,1996年)。de la Vallée Poussin(1898)证明,如果大量除以所有素数 ,然后是商小于下一个整数为.
优雅的身份由提供
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(38)
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哪里是一个修正贝塞尔函数第一类,是一个被改进的第二类贝塞尔函数,以及
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(39)
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哪里是一个谐波数(博文和博文1987年,第336页;Borwein和Bailey,2003年,第138页)。这提供了一个有效的迭代的算法通过计算
具有,,,和(Borwein和Bailey,2003年,第138-139页)。
重新定义这个恒等式给出了极限
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(44)
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(Brent和McMillan,1980年;Trott,2004年,第21页)。
无限产品涉及也源于巴恩斯G函数具有正整数 .案例和给
Euler-Mascheroni常数也由表达式给出
哪里是地高玛函数(惠塔克和沃森1990年,第236页),
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(49)
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(Whittaker和Watson 1990年,第271页),反对称极限形式
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(50)
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(Sondow 1998),以及
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(51)
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(《狮子座》1983)。
The difference between the方程中第个收敛的(◇)和由提供
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(52)
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哪里是楼层功能,并满足不平等
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(53)
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(Young 1991)。
符号有时也用于
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(54)
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(组织环境信息系统A073004型; Gradshteyn和Ryzhik 2000,第xxvii页)。
这里有一个奇怪的激进表述
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(55)
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这与双系列
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(56)
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和一二项式系数(1926年,索多2003年b,Guillera和Sondow,2005年)。产品的另一个证明(55)以及此产品与沃利斯公式-比如“更快的产品"
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(57)
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(Guillera和Sondow,2005年,Sondow 2005年),见Sondow(2004年)。(这种相似性通过改变变得更加清晰英寸(57).) 这两个公式也类似于由提供
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(58)
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由于Guillera(Sondow 2005)。
价值观包含第一个后获得产品条款如上图所示。
一个奇怪的和极限收敛到由提供
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(59)
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(哈维尔2003年,第113页),其中是天花板函数.