（1,2）-Pascal三角形

这个（1,2）-Pascal三角形（即。卢卡斯三角形)将其最右侧的非零项初始化为2，并将其最左侧的非零条目（除了n个=0）初始化为1。因此（1,2）-Pascal三角形是（2,1）-Pascal三角形，第一行除外（对于n个=0）现在是2而不是1。

这个（1,2）-Pascal三角形是递归生成的数字的几何排列，它生成（在从最右边开始的下降内对角线中）平方gnomonic数（该奇数，）平方数，的平方金字塔数然后是平方超金字塔数尺寸大于3（（2,1）-Pascal三角形，对于矩形版本，将在其列中生成。）原件帕斯卡三角形，因此（1,1）-Pascal三角形，生成（在矩形版本的列中以及从最右边开始的下降内对角线中，因为（1,1）-Pascal三角形对称）三角gnomonic数（该自然数，）三角形数]，的四面体数（该三角金字塔数)然后是超四面体数（该三角超锥数)尺寸大于3。

（1,2）-Pascal三角形的矩形版本
（用数字三角形表示）

n=0	2
1	1	2
2	1	三	2
三	1	4	5	2
4	1	5	9	7	2
5	1	6	14	16	9	2
6	1	7	20	30	25	11	2
7	1	8	27	50	55	36	13	2
8	1	9	35	77	105	91	49	15	2
9	1	10	44	112	182	196	140	64	17	2
10	1	11	54	156	294	378	336	204	81	19	2
11	1	12	65	210	450	672	714	540	285	100	21	2
12	1	13	77	275	660	1122	1386	1254	825	385	121	23	2
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

（1+2x）（1+x）^（n-1）
或
“（1,2）-Pascal多项式三角形的矩形版本”

n=0	2
1	1倍+	2
2	1倍 2+	3倍+	2
三	1倍 三+	4倍 2+	5倍	2
4	1倍 4+	5倍 三+	9倍 2+	7倍+	2
5	1倍 5+	6倍 4+	14倍 三+	16倍 2+	9倍+	2
6	1倍 6+	7倍 5+	20倍 4+	30倍 三+	25倍 2+	11倍+	2
7	1倍 7+	8倍 6+	27倍 5+	50倍 4+	55倍 三+	36倍 2+	13倍+	2
8	1倍 8+	9倍 7+	35倍 6+	77倍 5+	105倍 4+	91倍 三+	49倍 2+	15倍+	2
9	1倍 9+	10倍 8+	44倍 7+	112倍 6+	182倍 5+	196倍 4+	140倍 三+	64倍 2+	17倍+	2
10	1倍 10+	11倍 9+	54倍 8+	156倍 7+	294倍 6+	378倍 5+	336倍 4+	204倍 三+	81倍 2+	19倍+	2
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10

在（1,2）-Pascal三角形的等边形式，我们从初始化为2的单元格（第0行）开始，下面行中所有最左边的非零单元格都初始化为1，位于空单元格（0）的交错数组中。然后，我们将单元格递归计算为上面交错排列的两个单元格的总和。这样三角形就长成了等边三角形。

在（1,2）-Pascal三角形的矩形形式，我们从一个空（0）单元格的常规数组中初始化为2的单元格（第0行）开始，其下的所有单元格都初始化为1。然后，我们递归地将单元格计算为左上方单元格和正上方单元格的总和。这样三角形就长成了矩形三角形。

因此，每行最右边的非零单元格设置为2+0=2。除第一行（对于n个=0）初始化为1。所有内部单元必须大于2。行0到行中的单元格数n个等于1是n个（参见。A001477号(n个)，）从第0行到第0行的单元格数n个等于2的是n个+1（参见。A001477号(n个+1） ，）和从第0行到第0行的单元格数n个大于或等于3的是${\显示样式\脚本样式P_{3}^{（2）}（n-1）\，}$，的(n个-1)^第个 三角形数.

递归规则

（1,2）-Pascal三角形递归规则为：

${\显示样式T_{（1,2）}（n，n）=2，\n\geq 0，\，}$

${\显示样式T_{（1,2）}（n，0）=1，\n\geq 1，\，}$

$显示样式T_{（1,2）}（n，j）=T_{$

公式

${\显示样式T_{（1,2）}（0,0）=2，\，}$

${\显示样式T_{（1,2）}（n，j）=2{\binom{n-1}{j-1}}+{\binom{n-1{j}}=2T_{$

哪里${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{r}}\\equiv\0\，}$什么时候n个< 0,第页<0或n个-第页< 0,和${\显示样式\脚本样式T_{（1,1）}（n，j）\，}$是单元格(n个,j个)第页，共页帕斯卡三角形.

（1,2）-Pascal三角形行

n=0	2
1	1	2
2	1	三	2
三	1	4	5	2
4	1	5	9	7	2
5	1	6	14	16	9	2
6	1	7	20	30	25	11	2
7	1	8	27	50	55	36	13	2
8	1	9	35	77	105	91	49	15	2
9	1	10	44	112	182	196	140	64	17	2
10	1	11	54	156	294	378	336	204	81	19	2
11	1	12	65	210	450	672	714	540	285	100	21	2
12	1	13	77	275	660	1122	1386	1254	825	385	121	23	2
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

（1,2）-Pascal三角形行给出了有限序列的无限序列：

｛｛2｝，｛1，2｝，｛1，3，2｝，｛1，4，5，2｝，｛1，5，9，7，2｝，｛1，6，14，16，9，2｝，｛1，7，20，30，25，11，2｝，｛1，8，27，50，55，36，13，2｝，｛1，9，35，77，105，91，49，15，2｝，…｝

的生成函数j个^第个,j个≥0，成员n个^第个,n个≥1，子序列为：

$显示样式G_{T_{（1,2）}（n，j）}$

有限序列的无限序列的串联给出了无限序列（Cf。A029635号(n个)a（0）修正为2）：

｛2，1，2，1，3，2，1，4，5，2，1，5，9，7，2，1，6，14，16，9，2，1，7，20，30，25，11，2，1，8，27，50，55，36，13，2，1，9，35，77，105，91，49，15，2，…｝

的生成函数我^第个,我≥0，成员为：

$显示样式G_{T_{（1,2）}（i={frac{n（n+1）}{2}+j）}$

（1,2）-Pascal三角形行和

相应有限序列的和给出了无限序列（Cf。A042950号(n个)):

{2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, 6144, 12288, 24576, 49152, 98304, 196608, 393216, 786432, 1572864, 3145728, 6291456, 12582912, ...}

其成员由公式给出：

${\显示样式\sum_{j=0}^{n} T型_{（1,2）}（n，j）={\tfrac{1}{2}}（3\cdot2^{n}+0^{n{），\，}{n} T型_{（1,2）}（n，j）={\tfrac{1}{2}}（3\cdot2^{n}+0^{n{），\，}$

哪里：

${\显示样式0^{0}=1，\，}$

${\显示样式0^{n}=0，\n\geq 1.\，}$

生成函数为：

$显示样式G_{{sum_{j=0}^{n} 吨_{（1,2）}（n，j）}}={\tfrac{1}{2}}（3\G{2^{n}}+G{0^{n{}}）={\trac{1}}{2{}（3 \{frac{1}{1-2x}}+1）={\frac{2-x}{1-2-x}}，}{n} 吨_{（1,2）}（n，j）}}={\tfrac{1}{2}}（3\G{2^{n}}+G{0^{n{}}）={\trac{1}}{2{}（3 \{frac{1}{1-2x}}+1）={\frac{2-x}{1-2-x}}，}$

（1,2）-Pascal三角形行交替符号和

相应有限序列的交替符号和给出了无限序列（Cf。A？？？？？？):

{2, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

其成员由公式给出：

${\显示样式\sum_{j=0}^{n}（-1）^{j}\T_{（1,2）}（n，j）=2\0^{|n|}-0^{|n-1|}，\，}$

哪里：

${\显示样式0^{0}=1，\，}$

$｛\displaystyle 0^｛n｝=0，\n\geq 1.\，｝$

生成函数为：

${\显示样式G_{\{\sum_{j=0}^{n}（-1）^{j}\T_{（1,2）}（n，j）}}=2\G_{0^{|n|}}-G{0^}|n-1|}}=2（1）-（x）=2-x\，}$

（1,2）-Pascal（矩形）三角形柱（和Chebyshev多项式？）

n=0	2
1	1	2
2	1	三	2
三	1	4	5	2
4	1	5	9	7	2
5	1	6	14	16	9	2
6	1	7	20	30	25	11	2
7	1	8	27	50	55	36	13	2
8	1	9	35	77	105	91	49	15	2
9	1	10	44	112	182	196	140	64	17	2
10	1	11	54	156	294	378	336	204	81	19	2
11	1	12	65	210	450	672	714	540	285	100	21	2
12	1	13	77	275	660	1122	1386	1254	825	385	121	23	2
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

第一列（用于j个=0）给出了序列（参考。A054977号(n个)):

{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

其成员由公式给出：

${\显示样式T_{（1,2）}（n，0）=1^{n}+0^{n{=1+0^{n}，\，}$

哪里：

${\显示样式0^{0}=1，\，}$

${\显示样式0^{n}=0，\n\geq 1.\，}$

生成函数为：

$显示样式G_{T_{（1,2）}（n，0）}=G_{1}（x）+G_{0^{n}}（x）={压裂{1}{1-x}}+1={裂缝{2-x}{1-x}}，}$

这恰好是${\displaystyle\scriptstyle\phi^{2}=\phi+1\={\frac{3+{\sqrt{5}}}{2}}，\，}$哪里${\displaystyle\scriptstyle\phi\，}$是黄金比例.

第二列（用于j个=1）给出非一致正整数（Cf。A000027号(n个+1),n个≥ 1).

列序列表

这个我 ^第个,我≥0，柱构件j个出现在行中j个+我.

（1,2）-Pascal三角形列序列

j个	$｛\displaystyle T_｛（1,2）｝（j+i，j），\i\geq 0\，｝$序列	A编号
0	{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}	A054977号(我)
1	{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, ...}	A000027号(我+2)
2	{2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189, 209, 230, 252, 275, 299, 324, 350, 377, 405, 434, 464, 495, 527, 560, 594, 629, 665, ...}	A000096号(我+1)
三	{2, 7, 16, 30, 50, 77, 112, 156, 210, 275, 352, 442, 546, 665, 800, 952, 1122, 1311, 1520, 1750, 2002, 2277, 2576, 2900, 3250, 3627, 4032, 4466, 4930, 5425, ...}	A005581号(我+2)
4	{2, 9, 25, 55, 105, 182, 294, 450, 660, 935, 1287, 1729, 2275, 2940, 3740, 4692, 5814, 7125, 8645, 10395, 12397, 14674, 17250, 20150, 23400, 27027, 31059, ...}	A005582号(我+1)
5	{2, 11, 36, 91, 196, 378, 672, 1122, 1782, 2717, 4004, 5733, 8008, 10948, 14688, 19380, 25194, 32319, 40964, 51359, 63756, 78430, 95680, 115830, 139230, ...}	A005583号(我+1)
6	{2, 13, 49, 140, 336, 714, 1386, 2508, 4290, 7007, 11011, 16744, 24752, 35700, 50388, 69768, 94962, 127281, 168245, 219604, 283360, 361790, 457470, ...}	A005584号(我+1)
7	{2, 15, 64, 204, 540, 1254, 2640, 5148, 9438, 16445, 27456, 44200, 68952, 104652, 155040, 224808, 319770, 447051, 615296, 834900, 1118260, 1480050, ...}	A？？？？？？
8	{2, 17, 81, 285, 825, 2079, 4719, 9867, 19305, 35750, 63206, 107406, 176358, 281010, 436050, 660858, 980628, 1427679, 2042975, 2877875, 3996135, ...}	A？？？？？？
9	{2, 19, 100, 385, 1210, 3289, 8008, 17875, 37180, 72930, 136136, 243542, 419900, 700910, 1136960, 1797818, 2778446, 4206125, 6249100, 9126975, ...}	A？？？？？？
10	{2, 21, 121, 506, 1716, 5005, 13013, 30888, 68068, 140998, 277134, 520676, 940576, 1641486, 2778446, 4576264, 7354710, 11560835, 17809935, 26936910, ...}	A？？？？？？
11	｛2、23、144、650、2366、7371、20384、51272、119340、260338、537472、1058148、1998724、3640210、6418656、10994920、18349630、29910465、47720400…｝	A？？？？？？
12	{2, 25, 169, 819, 3185, 10556, 30940, 82212, 201552, 461890, 999362, 2057510, 4056234, 7696444, 14115100, 25110020, 43459650, 73370115, 121090515, ...}	A？？？？？？

列序列相关公式表

这个我 ^第个,我≥0，柱构件j个出现在行中j个+我.

（1,2）-Pascal三角形列序列的相关公式

j个	公式 ${\显示样式T_{（1,2）}（j+i，j）=\，}$ $显示样式{\binom{i+j-1}{j-1}}{\frac{（i+2j）}{j}}\，}$	正在生成 功能 对于我 第个(我≥ 0) 立柱构件 $显示样式G_{T_{（1,2）}}（x，j）=\，}$ ${\显示样式{\压裂{（2-x）}{（1-x）^{j+1}}}\，}$	订单 的基础 $显示样式g_{T_{（1,2）}}（j）=\，}$	差异 ${\显示样式T_{（1,2）}（j+i，j）-\，}$ ${\显示样式T_{（1,2）}（j+i-1，j）=\，}$	部分金额 ${\显示样式\sum_{i=0}^{m} T型_{（1,2）}（j+i，j）=\，}{m} T型_{（1,2）}（j+i，j）=\，}$	部分倒数和 ${\显示样式\sum_{i=0}^{m}{1\over{T_{（1,2）}（j+i，j）}}=}$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{1\over{T_{（1,2）}（j+i，j）}}=}$
0	${\显示样式1+0^{i}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）}}\，}$	${\显示样式\infty\，}$	${\显示样式2\0^{i} -0^｛i-1｝\，｝{i} -0^｛i-1｝\，｝$	${\显示样式m+2\，}$	${\显示样式m+{\压裂{1}{2}}\，}$	$｛\displaystyle\infty\，｝$
1	${\显示样式\显示样式{\binom{i+0}{0}}{\frac{（i+2）}{1}}\，}$ ${\显示样式\显示样式{\ frac{（i+2）}{1}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{2}}}\，}$	$｛\displaystyle1\，｝$ （用于${\显示样式\mathbb{N}_{\geq2}\，}$)	$｛\displaystyle1\，｝$	${\显示样式\显示样式T_{m}+2（m+1）\，}$ $显示样式$ ${\显示样式{\binom{m+1}{1}}{\frac{m+4}{2}}\，}$	${\显示样式H_{m+2}-1\，}$	${\显示样式\infty\，}$
2	${\显示样式\显示样式{\binom{i+1}{1}}{\frac{（i+4）}{2}}\，}$ $｛\displaystyle\displaystyle｛\frac｛（i+1）（i+4）｝｛2｝｝\，｝$	${\显示样式\显示样式{\压裂{（2-x）}{（1-x）^{3}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
三	${\显示样式\显示样式{\binom{i+2}{2}}{\frac{（i+6）}{3}}\，}$ ${\显示样式\显示样式{\ frac{（i+1）（i+2）（i+6）}{6}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{4}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
4	${\显示样式\显示样式{\binom{i+3}{3}}{\frac{（i+8）}{4}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{5}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
5	${\显示样式\显示样式{\binom{i+4}{4}}{\frac{（i+10）}{5}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{6}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
6	${\显示样式{\binom{i+5}{5}}{\frac{（i+12）}{6}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{7}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
7	${\显示样式{\binom{i+6}{6}}{\frac{（i+14）}{7}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{8}}}\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
8	${\显示样式\显示样式{\binom{i+7}{7}}{\frac{（i+16）}{8}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{9}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
9	${\显示样式{\binom{i+8}{8}}{\frac{（i+18）}{9}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{10}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
10	$｛\displaystyle\displaystyle｛\binom｛i+9｝｛9｝｝｛\frac｛（i+20）｝｛10｝｝\，｝$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{11}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
11	${\显示样式{\binom{i+10}{10}}{\frac{（i+22）}{11}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{12}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
12	${\显示样式\显示样式{\binom{i+11}{11}}{\frac{（i+24）}{12}}\，}$	${\显示样式\显示样式{\frac{（2-x）}{（1-x）^{13}}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$

（1,2）-Pascal（矩形）三角形下降对角线和方形（超）金字塔数

（正方形超金字塔）数字三角形

n=0	2
1	1	2
2	1	三	2
三	1	4	5	2
4	1	5	9	7	2
5	1	6	14	16	9	2
6	1	7	20	30	25	11	2
7	1	8	27	50	55	36	13	2
8	1	9	35	77	105	91	49	15	2
9	1	10	44	112	182	196	140	64	17	2
10	1	11	54	156	294	378	336	204	81	19	2
11	1	12	65	210	450	672	714	540	285	100	21	2
12	1	13	77	275	660	1122	1386	1254	825	385	121	23	2
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

的部分和d日^第个（从右边开始d日=0给出2的对角线）下降对角线，d日≥1，构建(d日+1)^第个（从右边开始）对角线下降，从而产生(d日+1） -来自d日-尺寸尺寸：

${\显示样式\sum_{i=0}^{n} T型_{（1,2）}（i，i-d）=\和{i=d}^{n} T型_{（1,2）}（i，i-d）=T_{（1，2）}（n+1，n+1-（d+1））\，}{n} T型_{（1,2）}（i，i-d）=\和{i=d}^{n} T型_{（1,2）}（i，i-d）=T_{（1，2）}（n+1，n+1-（d+1））\，}$

这个d日^第个下降对角线，d日≥1，给出d日-维度的平方超金字塔数，形成方形（超）金字塔，例如：

d日=1	一维平方超锥数	方形gnomon数字	（2个0D-cells刻面）	（方形gnomons）
d日=2	二维平方超锥数	平方数字	（4个1D-cells镶嵌面）	（平方）
d日=3	三维正方形超锥数	平方金字塔数	（5个2D-cells镶嵌面）	（方形金字塔）
d日=4	四维平方超锥数	方形4D-超金字塔数	（？三维单元刻面）	（方形4D-超金字塔）
d日=5	5维平方超锥数	方形5D-超金字塔数	（？4D-cells镶嵌面）	（方形5D-超金字塔）
d日=6	6维平方超锥数	平方6D-超金字塔数	（？5D-cells刻面）	（方形6D-超金字塔）
d日=7	7维平方超锥数	平方7D-超金字塔数	（？6D-cells刻面）	（方形7D-超金字塔）
d日=8	8维平方超锥数	方形8D-超金字塔数	（？7D-cells刻面）	（方形8D-超金字塔）

其中，（-1D）-单元格对应于空集，0D-单元格是顶点，1D-细胞是边，2D-细胞是面，依此类推。。。

下降对角线序列表

（1,2）-Pascal三角形的下降对角线序列对应于（2,1）-Pascal三角形的列序列，除了顶点为2，0^第个0的成员^第个下降对角线是2（而不是0的1^第个0的成员^第个的列（2,1）-Pascal三角形.)

这个我 ^第个,我≥0，落斜杆件d日出现在一行中d日+我.

（1,2）-Pascal三角下降对角线序列

d日	顺序	A编号
0	{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...}	A007395号(我+1)

下降对角线序列相关公式表

（1,2）-Pascal三角形的下降对角线序列相关公式对应于（2,1）-Pascal三角形的列序列相关公式，除了顶点为2，0^第个0的成员^第个下降对角线是2（而不是0的1^第个0的成员^第个的列（2,1）-Pascal三角形.)

这个我 ^第个,我≥0，落斜杆件d日出现在行中d日+我.

（1,2）-Pascal三角形下降对角线序列的相关公式

d日	公式 ${\显示样式T_{（1,2）}（d+i，d）=\，}$ ${\显示样式{\binom{i+d-1}{d-1}}{\frac{（2i+d）}{d}}，\，}$ ${\显示样式d\geq 1\，}$	正在生成 功能 对于我 第个(我≥ 0) 柱构件 $显示样式G_{T_{（1,2）}}（x，d）=\，}$ ${\显示样式{\frac{1+x}{（1-x）^{d+1}}}，\，}$ ${\显示样式d\geq 1\，}$	订单 第页，共页	差异 ${\显示样式T_{（1,2）}（d+i+1，d）-\，}$ ${\显示样式T_{（1,2）}（d+i，d）\，}$	部分金额 ${\显示样式\sum_{i=0}^{m} 吨_{（1,2）}（d+i，d）\，}{m} 吨_{（1,2）}（d+i，d）\，}$	部分倒数和 ${\显示样式\sum_{i=0}^{m}{1\over{T_{（1,2）}（d+i，d）}}}}$	倒数总和 $｛\displaystyle\sum_｛i=0｝^｛infty｝｛1\over｛T_｛（1,2）｝（d+i，d）｝｝$
0	${\显示样式2\，}$	${\显示样式{\frac{2}{（1-x）}}\，}$	${\显示样式0\，}$	${\显示样式0\，}$	${\显示样式2T_{m+1}\，}$	${\显示样式{\frac{m+1}{2}}\，}$	${\显示样式\infty\，}$

（1,2）-Pascal（矩形）三角形上升对角线

卢卡斯三角形

n=0	2
1	1	2
2	1	三	2
三	1	4	5	2
4	1	5	9	7	2
5	1	6	14	16	9	2
6	1	7	20	30	25	11	2
7	1	8	27	50	55	36	13	2
8	1	9	35	77	105	91	49	15	2
9	1	10	44	112	182	196	140	64	17	2
10	1	11	54	156	294	378	336	204	81	19	2
11	1	12	65	210	450	672	714	540	285	100	21	2
12	1	13	77	275	660	1122	1386	1254	825	385	121	23	2
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

上升对角线（从0开始^第个对角线）给出有限序列的无限序列（它们是卢卡斯多项式（或卡丹多项式):)

{{2}, {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4, 2}, {1, 5, 5}, {1, 6, 9, 2}, {1, 7, 14, 7}, {1, 8, 20, 16, 2}, {1, 9, 27, 30, 9}, {1, 10, 35, 50, 25, 2}, ...}

Lucas多项式（或Cardan多项式）的级联系数给出了无限序列（参见。A034807号(n个)):

{2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 1, 5, 5, 1, 6, 9, 2, 1, 7, 14, 7, 1, 8, 20, 16, 2, 1, 9, 27, 30, 9, 1, 10, 35, 50, 25, 2, ...}

（1,2）-Pascal（矩形）三角形上升对角线和和和Lucas数

各上升对角线的总和给出：

{2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, ...}

哪些是米^第个 卢卡斯数字（参见。A000032号(米)，），可以使用比奈公式:

${\displaystyle\sum_{n+d=m}^{}T_{（1,2）}（n，d）=L_{m}={big（}{\tfrac{1+{\sqrt{5}}}{2}}{big）}^{m}+{big{-}）^{m}，\m\geq 0，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\phi{+}={\frac{1+{\sqrt{5}}}{2}}$和${\displaystyle\scriptstyle\phi{-}={\frac{1-{\sqrt{5}}}{2}}$是的根${\显示样式\脚本样式1+x-x^{2}=0，\，}$以及在哪里${\displaystyle\scriptstyle\phi\\equiv\\phi_{+}\，}$是黄金比例.

生成函数为：

$显示样式G_{{sum_{n+d=m}^{}T_{（1,2）}（n，d）}}（x）=G_{L_{m}}={frac{2-x}{1-x-x^{2}}}，}$

与（2,1）-Pascal三角形的上升对角线和，这使斐波那契数.

（1,2）-Pascal三角形中心元素

中心元素（第2行米,米≥0）的（1,2）-Pascal三角形给出序列（Cf。A029651号(米)，除了米=0，其中我们现在有2（而不是1表示（2,1）-Pascal三角形中心元素):

{2, 3, 9, 30, 105, 378, 1386, 5148, 19305, 72930, 277134, 1058148, 4056234, 15600900, 60174900, 232676280, 901620585, 3500409330, 13612702950, 53017895700, ...}

由公式得出：

${\显示样式T_{（1,2）}（0,0）=2，\，}$

$｛\displaystyleT_｛（1,2）｝（2m，m）=3\｛\binom｛2m-1｝｛m｝｝=3\｛\frac｛（2m-1）！｝｛m！（m-1）！｝｝，\ m\ geq 1，\，｝$

或：

${\显示样式T_{（1,2）}（2m，m）={\压裂{3}{2}}（m+1）C_{m}+{\压裂}{1}{2{}0^{m}，\m\geq0，\，}$

哪里：

${\显示样式C_{m}={\压裂{T_{（1,1）}（2m，m）}{m+1}={\压裂{\binom{2m}{m}}{m+1}}={压裂{（2m）！}{m！（m+1）！}}\，}$

是米^第个 加泰罗尼亚数字（也称为塞格纳数)（参见。A000108号(米).)

生成函数为：

$显示样式G_{{T_{（1,2）}（2m，m）}}（x$

哪里${\显示样式\脚本样式C（x）\，}$是的生成函数加泰罗尼亚数字:

${\显示样式C（x）={\ frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2x}}\，}$

另请参见

• A029635号（1,2）-Pascal三角形（或卢卡斯三角形)按行读取（其中a（0）已更正为2。）
• A123558号（1,2）-Pascal三角形（或Lucas三角形）的乘法编码A029635号.
• A114525号卢卡斯（w-）多项式系数的三角形。

• （1,1）-Pascal三角形或帕斯卡三角形
• （1,2）-Pascal三角形或卢卡斯三角形
• （1，k）-Pascal三角形
• （2,1）-Pascal三角形
• （k，1）-Pascal三角形
• （a，b）-帕斯卡三角形
• （a（n），b（n））-帕斯卡三角形

• （1,1）-Pascal多项式与相比斐波那契多项式
• （1,2）-Pascal多项式与相比卢卡斯多项式

外部链接

• 亚瑟·T·本杰明，LUCAS三角形.
• S.Plouffe，Séries Génératrices et Quelques猜想的近似《魁北克大学博士论文》，1992年。
• S.Plouffe，1031生成函数和猜想魁北克蒙特利尔大学，1992年。
• 赫伯特·S·威尔夫，生成功能学, 2^第1994年编辑。