斐波那契多项式

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斐波那契多项式的[三角]

F类0 (x个)	0
F类1 (x个)	1
F类2 (x个)	1
F类三 (x个)	1 x个+ 1
F类4 (x个)	2 x个+ 1
F类5 (x个)	1 x个 2+   三 x个+ 1
F类6 (x个)	三 x个 2+   4 x个+ 1
F类7 (x个)	1 x个 三+   6 x个 2+   5 x个+ 1
F类8 (x个)	4 x个 三+ 10 x个 2+   6 x个+ 1
F类9 (x个)	1 x个 4+ 10 x个 三+ 15 x个 2+   7 x个+ 1
F类10 (x个)	5 x个 4+ 20 x个 三+21个 x个 2+   8 x个+ 1
F类11 (x个)	1 x个 5+ 15 x个 4+ 35 x个 三+ 28 x个 2+   9 x个+ 1
F类12 (x个)	6 x个 5+ 35 x个 4+ 56 x个 三+ 36 x个 2+ 10 x个+ 1

的顺序斐波那契多项式 

F类n个 (x个)

是一个多项式序列由定义递推关系

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{F_{n}（x）：={\bench{案例}0，&{\mbox{if}}n=0，\\1，&{{案例}0，&{\mbox{if}}n=0，\\1，&{$

哪里

• 的程度 

  F类n个 (x个),n个  ≥   1,

  是 

  ⌈n个 / 2⌉  −  1

  ;
•  

  F类n个=F类n个 (1),n个  ≥   0,

  哪里 

  F类n个

  是 

  n个

  第个 斐波那契数.
  
  

如果你看一下斐波那契多项式三角形，您将看到对应于奇数的上升对角线 

n个

是“(1, 1)-帕斯卡多项式“.以及学位栏 

1

有自然数作为系数，度列 

2

有三角形数作为系数，度列 

三

有四面体数作为系数，依此类推…（参见(1, 1)-帕斯卡三角形，即。帕斯卡三角形.)

这就产生了有限序列的无限序列

 

{{0}, {1}, {1}, {1, 1}, {2, 1}, {1, 3, 1}, {3, 4, 1}, {1, 6, 5, 1}, {4, 10, 6, 1}, {1, 10, 15, 7, 1}, {5, 20, 21, 8, 1}, {1, 15, 35, 28, 9, 1}, {6, 35, 56, 36, 10, 1}, ... },

其串联产生无限序列（参见A102426号)

 

{ 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 10, 6, 1, 1, 10, 15, 7, 1, 5, 20, 21, 8, 1, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 6, 35, 56, 36, 10, 1, ... }.

每代斐波那契兔子

如果我们解释斐波那契数列 

F类n个

作为的数量【雌雄】对斐波那契兔在开始时 

n个

第个月，其中每对至少2个月大的宝宝会生一个【雌雄】一对新生斐波那契兔，然后是系数 

一k个

术语的 

一k个 x个 k个

斐波那契多项式的 

F类n个 (x个)

表示的数量【雌雄】对斐波那契兔属于 

k个

第个生成。

新生树（红色）和成熟树（绿色） “【雄性-雌性】斐波那契兔子对” （节点标签显示生成  k个 ) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 2 1 2 2

例如

$显示样式F_{6}（x）=3x^{2}+4x+1\，}$

意味着在6开头^第个月，我们有

• 属于2的3对^第世代（原始一对后代的后代），
• 属于1的4对^标准世代（原始配对的后代），
• 1对属于0^第个生成（原始对），

总共8个【雌雄】对斐波那契兔.

在开始时 

n个

第个月，我们有 

⌈n个 / 2⌉

代，即代 

0

到 

⌈n个 / 2英寸 −  1

，第页，共页【雌雄】对斐波那契兔.原始对，即0^第个一代，是一个【雌雄】一对新生斐波那契兔即0个月大，在第一个月初落在岛上。（在0的开头^第个月，没有兔子。）

读取生成标签行（行的标签 

n个

是行的标签 

n个 −  1

附加了行的递增标签 

n个 −  2

)从左到右产生无限序列（参见A

 

{0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, ...}.

从右到左读取生成标签的行会产生无限序列（请参见2006年2月50日 

(n个 +  1),n个  ≥   1

)

 

{0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 0, ...}.

公式

$显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{F{n}（x）=\sum_{k=0}^{\lceil{\frac{n}{2}}\rceil-1}T_{（1,1）}\left \rfloor}-k}\right）\，x^{2k+1-（n{\bmod{2}}）}=\sum_{k=0}^{\lceil{\frac{n}{2}{\rceil-1}{\binom{\lfloor{\frac{n}}}\rfloor+k}{\lfloor{\frac{n-1}{2}}\rfloor-k}}\，x^{2k+1-（n{\bmod{2}）}，\quadn\geq1，}\end{array}}}\rfloor+k}{\lfloor{\frac{n-1}{2}}\rfloor-k}}\，x^{2k+1-（n{\bmod{2}）}，\quadn\geq1，}\end{array}}$

哪里 

吨(1, 1) (n个,k个) =(  n个k个  )

是来自列的术语 

k个

第行，共行 

n个

的(1, 1)-帕斯卡三角形（即。帕斯卡三角形)、和 

(  n个k个  )

是一个二项式系数.

正在生成函数

这个普通生成函数对于斐波那契多项式是

${显示样式{开始{数组}{l}\显示样式{G{F{n}（x）}}（t）=\sum_{n=0}^{infty}F{n}（x）\，t^{n}={frac{t}{1-t\，（x+t）}}={frac{t{1-（t）^{1} x个^{1} +吨^{2} x个^{0})}}.}\结束{数组}}{1} x个^{1} +吨^{2} x个^{0})}}.}\结束{数组}}$

我们还可以观察到以下关系

$显示样式{\开始{数组}{l}\显示样式{{\frac{t}{1-t，（x+t）}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\left（{\frac{t}{1-t^{2}}\right）}^{n+1}x^{n}=\sum_{n=0.}^{\ infty{{left（\sum_{k=0}^{\infty}t^{2k+1}右）}^{n+1}x^{n}，}\end{array}}}$

哪里

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{\sum_{k=0}^{\infty}t^{2k+1}={\frac{t}{1-t^{2]}.}\结束{数组}}\结束{数组}}$

另请参见

• (1, 1)-帕斯卡多项式（与相比斐波那契多项式)
• (1, 2)-帕斯卡多项式（与相比卢卡斯多项式)

• A049310美元系数三角形切比雪夫多项式 

  S公司 (n个,x个):=U型 (n个,x个 / 2）

  （指数按递增顺序）。无符号三角形 

  | 一 (n个,米) |

  具有斐波那契多项式（根据MathWorld定义） 

  F类 (n个 +  1,x个)

  作为行多项式。

• 帕斯卡三角形

• 多项式序列（由多项式公式描述的数字序列（不要与多项式序列)